第十七課: 旋轉 · opengl

# 第十七課: 旋轉 # 第十七課：旋轉雖然本課有些超出OpenGL的范圍，但是解決了一個常見問題：怎樣表示旋轉？《第三課：矩陣》中，我們了解到矩陣可以讓點繞某個軸旋轉。矩陣可以簡潔地表示頂點的變換，但使用難度較大：例如，從最終結果中獲取旋轉軸就很麻煩。本課將展示兩種最常見的表示旋轉的方法：歐拉角（Euler angles）和四元數（Quaternion）。最重要的是，本課將詳細解釋為何要盡量使用四元數。 ![](https://box.kancloud.cn/2015-11-02_5636f30af1552.png) ## 旋轉與朝向（orientation）閱讀有關旋轉的文獻時，你可能會為其中的術語感到困惑。本課中： - “朝向”是狀態：該物體的朝向為…… - “旋轉”是操作：旋轉該物體也就是說，當實施旋轉操作時，就改變了物體的朝向。兩者形式相同，因此容易混淆。閑話少敘，開始進入正題…… ## 歐拉角歐拉角是表示朝向的最簡方法，只需存儲繞X、Y、Z軸旋轉的角度，非常容易理解。你可以用vec3來存儲一個歐拉角： ``` <pre class="calibre16">``` vec3 EulerAngles( RotationAroundXInRadians, RotationAroundYInRadians, RotationAroundZInRadians); ``` ``` 這三個旋轉是依次施加的，通常的順序是：Y-Z-X（但并非一定要按照這種順序）。順序不同，產生的結果也不同。一個歐拉角的簡單應用就是用于設置角色的朝向。通常，游戲角色不會繞X和Z軸旋轉，僅僅繞豎直的Y軸旋轉。因此，無需處理三個朝向，只需用一個float型變量表示方向即可。另外一個使用歐拉角的例子是FPS相機：用一個角度表示頭部朝向（繞Y軸），一個角度表示俯仰（繞X軸）。參見`common/controls.cpp`的示例。不過，面對更加復雜的情況時，歐拉角就顯得力不從心了。例如： - 對兩個朝向進行插值比較困難。簡單地對X、Y、Z角度進行插值得到的結果不太理想。 - 實施多次旋轉很復雜且不精確：必須計算出最終的旋轉矩陣，然后據此推測書歐拉角。 - “臭名昭著”的“萬向節死鎖”(Gimbal Lock)問題有時會讓旋轉“卡死”。其他一些奇異狀態還會導致模型方向翻轉。 - 不同的角度可產生同樣的旋轉（例如-180°和180°） - 容易出錯——如上所述，一般的旋轉順序是YZX，如果用了非YZX順序的庫，就有麻煩了。 - 某些操作很復雜：如繞指定的軸旋轉N角度。四元數是表示旋轉的好工具，可解決上述問題。 ## 四元數四元數由4個數\[x y z w\]構成，表示了如下的旋轉： ``` <pre class="calibre16">``` // RotationAngle is in radians x = RotationAxis.x * sin(RotationAngle / 2) y = RotationAxis.y * sin(RotationAngle / 2) z = RotationAxis.z * sin(RotationAngle / 2) w = cos(RotationAngle / 2) ``` ``` `RotationAxis`，顧名思義即旋轉軸。`RotationAngle`是旋轉的角度。 ![](https://box.kancloud.cn/2015-11-02_5636f30b242c1.png) 因此，四元數實際上存儲了一個旋轉軸和一個旋轉角度。這讓旋轉的組合變簡單了。 ## 解讀四元數四元數的形式當然不如歐拉角直觀，不過還是能看懂的：xyz分量大致代表了各個軸上的旋轉分量，而w=acos(旋轉角度/2)。舉個例子，假設你在調試器中看到了這樣的值\[ 0.7 0 0 0.7 \]。x=0.7，比y、z的大，因此主要是在繞X軸旋轉；而2\*acos(0.7) = 1.59弧度，所以旋轉角度應該是90°。同理，\[0 0 0 1\] (w=1)表示旋轉角度 = 2*acos(1) = 0，因此這是一個*單位四元數\*（unit quaternion），表示沒有旋轉。 ## 基本操作不必理解四元數的數學原理：這種表示方式太晦澀了，因此我們一般通過一些工具函數進行計算。如果對這些數學原理感興趣，可以參考[實用工具和鏈接](http://www.opengl-tutorial.org/miscellaneous/useful-tools-links/)中的數學書籍。 ### 怎樣用C++創建四元數？ ``` <pre class="calibre16">``` // Don't forget to #include <glm/gtc/quaternion.hpp> and <glm/gtx/quaternion.hpp> // Creates an identity quaternion (no rotation) quat MyQuaternion; // Direct specification of the 4 components // You almost never use this directly MyQuaternion = quat(w,x,y,z); // Conversion from Euler angles (in radians) to Quaternion vec3 EulerAngles(90, 45, 0); MyQuaternion = quat(EulerAngles); // Conversion from axis-angle // In GLM the angle must be in degrees here, so convert it. MyQuaternion = gtx::quaternion::angleAxis(degrees(RotationAngle), RotationAxis); ``` ``` ### 怎樣用GLSL創建四元數？不要在shader中創建四元數。應該把四元數轉換為旋轉矩陣，用于模型矩陣中。頂點會一如既往地隨著MVP矩陣的變化而旋轉。某些情況下，你可能確實需要在shader中使用四元數。例如，GPU骨骼動畫。GLSL中沒有四元數類型，但是可以將四元數存在vec4變量中，然后在shader中計算。 ### 怎樣把四元數轉換為矩陣？ ``` <pre class="calibre16">``` mat4 RotationMatrix = quaternion::toMat4(quaternion); ``` ``` 這下可以像往常一樣建立模型矩陣了: ``` <pre class="calibre16">``` mat4 RotationMatrix = quaternion::toMat4(quaternion); ... mat4 ModelMatrix = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix; // You can now use ModelMatrix to build the MVP matrix ``` ``` ## 那究竟該用哪一個呢？在歐拉角和四元數之間作選擇還真不容易。歐拉角對于美工來說顯得很直觀，因此如果要做一款3D編輯器，請選用歐拉角。但對程序員來說，四元數卻是最方便的。所以在寫3D引擎內核時應該選用四元數。一個普遍的共識是：在程序內部使用四元數，在需要和用戶交互的地方就用歐拉角。這樣，在處理各種問題時，你才能得心應手（至少會輕松一點）。如果確有必要（如上文所述的FPS相機，設置角色朝向等情況），不妨就用歐拉角，附加一些轉換工作。 ## 其他資源 1. [實用工具和鏈接](http://www.opengl-tutorial.org/miscellaneous/useful-tools-links/)中的書籍 2. 老是老了點，《游戲編程精粹1》（Game Programming Gems I）有幾篇關于四元數的好文章。也許網絡上就有這份資料。 1. 一個關于旋轉的\[GDC報告\][http://www.essentialmath.com/GDC2012/GDC2012\_JMV\_Rotations.pdf](http://www.essentialmath.com/GDC2012/GDC2012_JMV_Rotations.pdf) 1. The Game Programing Wiki [Quaternion tutorial](http://content.gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation) 2. Ogre3D [FAQ on quaternions](http://www.ogre3d.org/tikiwiki/Quaternion+and+Rotation+Primer)。第二部分大多是針對OGRE的。 3. Ogre3D [Vector3D.h](https://bitbucket.org/sinbad/ogre/src/3cbd67467fab3fef44d1b32bc42ccf4fb1ccfdd0/OgreMain/include/OgreVector3.h?at=default)和[Quaternion.cpp](https://bitbucket.org/sinbad/ogre/src/3cbd67467fab3fef44d1b32bc42ccf4fb1ccfdd0/OgreMain/src/OgreQuaternion.cpp?at=default) ## 速查手冊 ## 怎樣判斷兩個四元數是否相同？向量點積是兩向量夾角的余弦值。若該值為1，那么這兩個向量同向。判斷兩個四元數是否相同的方法與之十分相似： ``` <pre class="calibre16">``` float matching = quaternion::dot(q1, q2); if ( abs(matching-1.0) < 0.001 ){ // q1 and q2 are similar } ``` ``` 由點積的acos值還可以得到q1和q2間的夾角。 ## 怎樣旋轉一個點？方法如下： ``` <pre class="calibre16">``` rotated_point = orientation_quaternion * point; ``` ``` ……但如果想計算模型矩陣，你得先將其轉換為矩陣。注意，旋轉的中心始終是原點。如果想繞別的點旋轉： ``` <pre class="calibre16">``` rotated_point = origin + (orientation_quaternion * (point-origin)); ``` ``` ## 怎樣對兩個四元數插值？ SLERP意為球面線性插值（Spherical Linear intERPolation）、可以用GLM中的`mix`函數進行SLERP： ``` <pre class="calibre16">``` glm::quat interpolatedquat = quaternion::mix(quat1, quat2, 0.5f); // or whatever factor ``` ``` ## 怎樣累積兩個旋轉？只需將兩個四元數相乘即可。順序和矩陣乘法一致。亦即逆序相乘： ``` <pre class="calibre16">``` quat combined_rotation = second_rotation * first_rotation; ``` ``` ## 怎樣計算兩向量之間的旋轉？（也就是說，四元數得把v1旋轉到v2）基本思路很簡單： - 兩向量間的夾角很好找：由點積可知其cos值。 - 旋轉軸很好找：兩向量的叉乘積。如下的算法就是依照上述思路實現的，此外還處理了一些特例： ``` <pre class="calibre16">``` quat RotationBetweenVectors(vec3 start, vec3 dest){ start = normalize(start); dest = normalize(dest); float cosTheta = dot(start, dest); vec3 rotationAxis; if (cosTheta < -1 + 0.001f){ // special case when vectors in opposite directions: // there is no "ideal" rotation axis // So guess one; any will do as long as it's perpendicular to start rotationAxis = cross(vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), start); if (gtx::norm::length2(rotationAxis) < 0.01 ) // bad luck, they were parallel, try again! rotationAxis = cross(vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f), start); rotationAxis = normalize(rotationAxis); return gtx::quaternion::angleAxis(180.0f, rotationAxis); } rotationAxis = cross(start, dest); float s = sqrt( (1+cosTheta)*2 ); float invs = 1 / s; return quat( s * 0.5f, rotationAxis.x * invs, rotationAxis.y * invs, rotationAxis.z * invs ); } ``` ``` （可在`common/quaternion_utils.cpp`中找到該函數） ## 我需要一個類似gluLookAt的函數。怎樣旋轉物體使之朝向某點？調用`RotationBetweenVectors`函數！ ``` <pre class="calibre16">``` // Find the rotation between the front of the object (that we assume towards +Z, // but this depends on your model) and the desired direction quat rot1 = RotationBetweenVectors(vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), direction); ``` ``` 現在，你也許想讓物體保持豎直： ``` <pre class="calibre16">``` // Recompute desiredUp so that it's perpendicular to the direction // You can skip that part if you really want to force desiredUp vec3 right = cross(direction, desiredUp); desiredUp = cross(right, direction); // Because of the 1rst rotation, the up is probably completely screwed up. // Find the rotation between the "up" of the rotated object, and the desired up vec3 newUp = rot1 * vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f); quat rot2 = RotationBetweenVectors(newUp, desiredUp); ``` ``` 組合到一起： ``` <pre class="calibre16">``` quat targetOrientation = rot2 * rot1; // remember, in reverse order. ``` ``` 注意，“direction”僅僅是方向，并非目標位置！你可以輕松計算出方向：`targetPos – currentPos`。得到目標朝向后，你很可能想對`startOrientation`和`targetOrientation`進行插值（可在`common/quaternion_utils.cpp`中找到此函數。） ## 怎樣使用LookAt且限制旋轉速度？基本思想是采用SLERP（用`glm::mix`函數），但要控制插值的幅度，避免角度偏大。 ``` <pre class="calibre16">``` float mixFactor = maxAllowedAngle / angleBetweenQuaternions; quat result = glm::gtc::quaternion::mix(q1, q2, mixFactor); ``` ``` 如下是更為復雜的實現。該實現處理了許多特例。注意，出于優化的目的，代碼中并未使用`mix`函數。 ``` <pre class="calibre16">``` quat RotateTowards(quat q1, quat q2, float maxAngle){ if( maxAngle < 0.001f ){ // No rotation allowed. Prevent dividing by 0 later. return q1; } float cosTheta = dot(q1, q2); // q1 and q2 are already equal. // Force q2 just to be sure if(cosTheta > 0.9999f){ return q2; } // Avoid taking the long path around the sphere if (cosTheta < 0){ q1 = q1*-1.0f; cosTheta *= -1.0f; } float angle = acos(cosTheta); // If there is only a 2° difference, and we are allowed 5°, // then we arrived. if (angle < maxAngle){ return q2; } float fT = maxAngle / angle; angle = maxAngle; quat res = (sin((1.0f - fT) * angle) * q1 + sin(fT * angle) * q2) / sin(angle); res = normalize(res); return res; } ``` ``` 可以這樣用`RotateTowards`函數： ``` <pre class="calibre16">``` CurrentOrientation = RotateTowards(CurrentOrientation, TargetOrientation, 3.14f * deltaTime ); ``` ``` （可在`common/quaternion_utils.cpp`中找到此函數） ## 怎樣……