# 第 2 章 數學基礎
## 標量、向量、矩陣和張量
(1) 標量（Scalar）：標量其實就是一個獨立存在的數，比如在線性代數中一個實數 5 就可以被看作一個標量，所以標量的運算相對簡單，與我們平常做的數學算術運算類似。
(2) 向量（Vector）：向量指一列按順序排列的元素，我們通常習慣用括號將這一列元素括起來，其中的每個元素都由一個索引值來唯一地確定其在向量中的位置，假設向量中的第 1 個元素是`$ x_1 $`，它的索引值就是 1，第 2 個元素索引值是 2，依次類推。
如下所示就是一個由三個元素組成的向量，這個向量的索引值從 1 到 3 分別對應了從`$ x_1 $`到`$ x_3 $`的這三個元素：
```[tex]
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
```
(3) 矩陣（Matrix）：矩陣就是一個二維數組結構，我們會用括號將其中的全部元素括起來。向量的索引值是一維的，而矩陣的索引值是二維的。比如如下的矩陣：
```[tex]
X = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{12}\\
x_{21} & x_{22}\\
x_{31} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
`$ x_{11} $`的索引值就是 11。
(4) 張量（Tensor）：若數組的維度超過了二維，我們就可以用張量來表示，所以我們可以將張量理解為高維數組。同理，張量的索引值用兩個維度的數字來表示已經不夠了，其中的元素的索引值會隨著張量維度的改變而改變。
## 矩陣的轉置及基本運算
矩陣`$ X $`的轉置矩陣表示為：`$ X^T $`
我們對原矩陣`$ X $`中的元素在經過變換后得到的相應的轉置矩陣做如下定義：`$ (X^T)_{i,j}=X_{j,i} $`
舉例如下：
```[tex]
X = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{12}\\
x_{21} & x_{22}\\
x_{31} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
轉置后的矩陣如下：
```[tex]
X^T = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{21} & x_{31}\\
x_{12} & x_{22} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
<span style="font-size: 18px;">矩陣的基本運算</span>
*****
假設有矩陣 A、B，我們定義它們的算術運算后的結果都存儲在矩陣 C 中，如下所示：
```[tex]
A = \begin{bmatrix}
a_ {11}& a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
,
B = \begin{bmatrix}
b_ {11}& b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
,
C = \begin{bmatrix}
c_ {11}& c_{12}\\
c_{21} & c_{22}
\end{bmatrix}
```
矩陣的加法運算公式如下：
```[tex]
C=A+B
```
```[tex]
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
```
矩陣的減法運算公式如下：
```[tex]
C=A-B
```
```[tex]
c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}
```
矩陣的乘法運算公式如下：
```[tex]
C=A \times B
```
```[tex]
c_{ij}=\sum\limits_{k}a_{ik} \times b_{kj}
```
