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                # 第 2 章 數學基礎 ## 標量、向量、矩陣和張量 (1) 標量(Scalar):標量其實就是一個獨立存在的數,比如在線性代數中一個實數 5 就可以被看作一個標量,所以標量的運算相對簡單,與我們平常做的數學算術運算類似。 (2) 向量(Vector):向量指一列按順序排列的元素,我們通常習慣用括號將這一列元素括起來,其中的每個元素都由一個索引值來唯一地確定其在向量中的位置,假設向量中的第 1 個元素是`$ x_1 $`,它的索引值就是 1,第 2 個元素索引值是 2,依次類推。 如下所示就是一個由三個元素組成的向量,這個向量的索引值從 1 到 3 分別對應了從`$ x_1 $`到`$ x_3 $`的這三個元素: ```[tex] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} ``` (3) 矩陣(Matrix):矩陣就是一個二維數組結構,我們會用括號將其中的全部元素括起來。向量的索引值是一維的,而矩陣的索引值是二維的。比如如下的矩陣: ```[tex] X = \begin{bmatrix} x_ {11}& x_{12}\\ x_{21} & x_{22}\\ x_{31} & x_{32} \end{bmatrix} ``` `$ x_{11} $`的索引值就是 11。 (4) 張量(Tensor):若數組的維度超過了二維,我們就可以用張量來表示,所以我們可以將張量理解為高維數組。同理,張量的索引值用兩個維度的數字來表示已經不夠了,其中的元素的索引值會隨著張量維度的改變而改變。 ## 矩陣的轉置及基本運算 矩陣`$ X $`的轉置矩陣表示為:`$ X^T $` 我們對原矩陣`$ X $`中的元素在經過變換后得到的相應的轉置矩陣做如下定義:`$ (X^T)_{i,j}=X_{j,i} $` 舉例如下: ```[tex] X = \begin{bmatrix} x_ {11}& x_{12}\\ x_{21} & x_{22}\\ x_{31} & x_{32} \end{bmatrix} ``` 轉置后的矩陣如下: ```[tex] X^T = \begin{bmatrix} x_ {11}& x_{21} & x_{31}\\ x_{12} & x_{22} & x_{32} \end{bmatrix} ``` <span style="font-size: 18px;">矩陣的基本運算</span> ***** 假設有矩陣 A、B,我們定義它們的算術運算后的結果都存儲在矩陣 C 中,如下所示: ```[tex] A = \begin{bmatrix} a_ {11}& a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} b_ {11}& b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} c_ {11}& c_{12}\\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} ``` 矩陣的加法運算公式如下: ```[tex] C=A+B ``` ```[tex] c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} ``` 矩陣的減法運算公式如下: ```[tex] C=A-B ``` ```[tex] c_{ij}=a_{ij}-b_{ij} ``` 矩陣的乘法運算公式如下: ```[tex] C=A \times B ``` ```[tex] c_{ij}=\sum\limits_{k}a_{ik} \times b_{kj} ```
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