## 層次分析法（Analytic Hierarchy Process ，簡稱 AHP ）
AHP (Analytic Hierarchy Process)層次分析法是美國運籌學家Saaty教授于二十世紀80年代提出的一種實用的多方案或多目標的決策方法。其主要特征是，它合理地將定性與定量的決策結合起來，按照思維、心理的規律把決策過程層次化、數量化。
該方法自1982年被介紹到我國以來，以其定性與定量相結合地處理各種決策因素的特點，以及其系統靈活簡潔的優點，迅速地在我國社會經濟各個領域內，如能源系統分析、城市規劃、經濟管理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應用。
### 層次分析法的基本思路：先分解后綜合
首先將所要分析的問題層次化，根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關系及隸屬關系，將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層分析結構模型，最終歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優劣次序的問題。
運用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進行：
1. 建立遞階層次結構模型；
2. 構造出各層次中的所有判斷矩陣；
3. 層次單排序及一致性檢驗；
4. 層次總排序及一致性檢驗。
### 實例
人們在日常生活中經常會碰到多目標決策問題，例如假期某人想要出去旅游，現有三個目的地（方案）：風光綺麗的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林（P3）。假如選擇的標準和依據（行動方案準則）有5個：景色，費用，飲食，居住和旅途。
則常規思維的方式如下：
常規思維過程=?????確定這些準則在你心目中各占的比重多大就每一準則將三個地點進行對比將這兩個層次的比較判斷進行綜合，作出選擇???
### (1)建立層次結構模型
### （2）構造判斷矩陣
通過相互比較確定各準則對于目標的權重，即構造判斷矩陣。在層次分析法中，為使矩陣中的各要素的重要性能夠進行定量顯示，引進了矩陣判斷標度（1～9標度法） :
| 標度 | 含義 |
|-----|-----|
| 1 | 表示兩個元素相比，具有同樣的重要性 |
| 3 | 表示兩個元素相比，前者比后者稍重要 |
| 5 | 表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要 |
| 7 | 表示兩個元素相比，前者比后者極其重要 |
| 9 | 表示兩個元素相比，前者比后者強烈重要 |
| 2,4,6,8 | 表示上述相鄰判斷的中間值 |
| 倒數：若元素i和元素j的重要性之比為aij,那么元素j與元素i的重要性之比為aji=1aij |
|-----|
對于要比較的因子而言，你認為一樣重要就是1:1，強烈重要就是9:1，也可以取中間數值6:1等，兩兩比較，把數值填入，并排列成判斷矩陣（判斷矩陣是對角線積是1的正反矩陣即可）]
設準則層包含5個準則，景色：C1，費用：C2，居住：C3，飲食：C4，旅途：C5。相對于目標層：選擇旅游地，進行兩兩比較打分。
構造所有相對于不同準則的方案層判斷矩陣
### （3）層次單排序
所謂層次單排序是指，對于上一層某因素而言，本層次各因素的重要性的排序。
具體計算是：對于判斷矩陣B，計算滿足BW=λmaxW的特征根與特征向量。
式中λmax為矩陣B的最大特征根，W為對應于λmax的正規化的特征向量，W的分量ωi即是相應元素單排序的權值。
#### 利用判斷矩陣計算各因素C對目標層Z的權重（權系數）
1. 將A的每一列向量歸一化得：ω?ij=aij∑ni=1aij
1. 對ω?ij按行求和得ω?i=∑nj=1ω?ij
1. 將ω?j歸一化ωi=ω?i∑ni=1ω?i，ω=（ω1,ω2,…,ωn）T，即為近似特征根（權向量）
1. 計算λ=1n∑ni=1(Aω)iωi，作為最大特征根的近似值。
得到排序結果：ω=(0.588,0.322,0.090)T,λmax=3.009
矩陣與向量的乘積計算
#### 判斷矩陣的一致性檢驗
判斷矩陣通常是不一致的，但是為了能用它的對應于特征根的特征向量作為被比較因素的權向量，其不一致程度應在容許的范圍內.如何確定這個范圍？
1. 一致性指標：CI=λ?nn?1,CI=0時A一致，CI越大，A的不一致性程度越嚴重
2. 隨機一致性指標RI：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| RI | 0.00 | 0.00 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 | 1.49 | 1.51 |
3. 一致性比率（用于確定A的不一致性的容許范圍）
CR=CIRI
當CR<0.1時，A的不一致性程度在容許范圍內，此時可用A的特征向量作為權向量。
### 例題 解：
### 第一步：自上而下，先求判斷矩陣A的最大特征根與特征向量。
A=????????????????1214131312117151547123351211351311????????????????
λmax=5.073對應于λmax的正規化的特征向量為：
ω(2)=(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T
### 第二步：計算與準則層各準則相關的判斷矩陣最大特征跟及權向量：
### 第三步，算出B2,B3,B4,B5的最大特征值分別為：
λmax(2)=3.002,λmax(3)=3,λmax(4)=3.009,λmax(5)=3
所對應的特征向量分別為：
### 第四步，一致性檢驗
A=????????????????1214131312117151547123351211351311????????????????a14=3,a43=2?a13=a14a43=3×2=6
前述計算得到了最大特征根：λmax=5.073
CI=λmax?nn?1=5.073?55?1=0.01825
經過查表可以得到平均隨機一致性指標RI，從而可檢驗矩陣一致性：
CR=CIRI=0.018251.12=0.016295<0.1
同理，對于第二層的景色、費用、居住、飲食、旅途五個判斷矩陣的一致性檢測均通過。
以W(3)k為列向量構成矩陣：
ps:這一次就不附贈代碼啦~
