## 區間估計 用點估計θ^(X1,X2,…,Xn)來估計總體的未知參數 θ，一旦我們獲得了樣本觀察值 (x1,x2,…,xn)，將它代入θ^(X1,X2,…,Xn)，即可得到θ的一個估計值。這很直觀，也很便于使用。但是，點估計值只提供了θ的一個近似值，并沒有反映這種近似的精確度。同時，由于θ本身是未知的，我們也無從知道這種估計的誤差大小。因此，我們希望估計出一個真實參數所在的范圍，并希望知道這個范圍以多大的概率包含參數真值，這就是參數的區間估計問題。 ### 定義 設θ為總體ξ的未知參數,ξ1,ξ2,…,ξn為ξ的一個子樣，T1(ξ1,ξ2,…,ξn),T2(ξ1,ξ2,…,ξn) 為兩個統計量。對于任意給定的α(0<α<1)，若T1,T2滿足 P{T1≤θ≤T2}=1?α ——(4) 則稱隨機區間[T1,T2]為θ的置信水平為1?α的區間估計，α為顯著性水平，T1,T2分別稱為置信下限和置信上限. 注意：也稱T2?T1為該區間估計的精度。 值得注意的是，置信區間(θ^1,θ^2)是一個隨機區間，對于給定的樣本(X1,X2,…,Xn)， 可能包含未知參數(θ^1,θ^2)，也可能不包含θ。但（4）表明，在重復取樣下，將得到許多不同的區間θ^1(x1,x2,…,xn)、θ^2(x1,x2,…,xn)，根據貝努利大數定律，這些區間中大約有100(1?α) 的區間包含未知參數θ 。 置信度表示區間估計的可靠度，置信度1?α越接近于1越好。區間長度則表示估計的范圍，即估計的精度，區間長度越短越好。當然，置信度和區間長度是相互矛盾的。在實際問題中，我們總是在保證可靠度的前提下，盡可能地提高精度。因此區間估計的問題，就是在給定α值的情況下，利用樣本(X1,X2,…,Xn)去求兩個估計量θ^1和θ^2 的問題。 ### 置信區間的含義 以α=0.01為例，此時置信度為99。假設反復抽取樣本1000次，則得到1000個隨機區間[T1,T2]，在這1000個區間中，包含值的大約有990個，而不包含θ值的大約有10個。 ### 構造區間估計的步驟 1.構造一個與θ有關的函數 {U不含其它未知參數已知U的分布 2.對給定的 α(0<α<1) ，求 a,b 使得 P{a≤U≤b}=1?α 3.解不等式 a≤U≤b?T1≤θ≤T2 ,得到區間 [T1,T2] ### 正態總體均值與方差的區間估計 設ξ～N(a,σ2),ξ1,…,ξn為ξ的一子樣 ### 單個總體ξ～N(a,σ2)的情形 #### σ2=σ20已知時，求a的區間估計 因為ξˉ是a的最優無偏估計，因此在求a的區間估計時，自然從ξˉ出發來構造一個適合的函數。因為 ξ～N(a,σ20)?ξˉ～N(a,σ20n) 令U=ξˉ?aσ0/n√，則U～N(0,1) 對給定的α(0<α<1)，求uα，使得 P{|U|≤uα}=1?α——(?) 臨界值uα可由P{U≤uα}=1?α2，查N(0，1)分布表得到 （*）式變為 P{|ξˉ?aσ/n√|≤uα}=1?α 亦是 P{ξˉ?uασ0n√≤a≤ξˉ+uασ0n√}=1?α 因此a的置信水平為1?α的區間估計為 [ξˉ?uασ0n√,ξˉ+uασ0n√] 不同置信水平1?α下，a的區間估計為  ##### 例題 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間(以小時計)分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 , 設干燥時間總體服從正態分布N(a,0.62)，求a的置信 水平為0.95的置信區間。 解： σ2=0.62已知，n=9,α=1?0.95=0.05 取U=ξˉ?aσ0/n√～N(0,1) 由P{|U|≤uα}=1?α可得P{U≤uα}=1?α2=0.975 查標準正態分布表得到uα=1.96，故所求的置信水平為0.95的置信區間為 [Xˉˉˉ?uασ0n√,Xˉˉˉ+uασ0n√]=[5.0608，6.392] #### σ2未知時，求a的區間估計 取T=n?1?????√ξˉ?aS～t(n?1) 對給定的α(0<α<1)，求一個t(n?1)(α)，使得 P{|T|≥tn?1(α)}=α 查t分布表可求得tn?1(α) P{|n?1?????√ξˉ?aS|≥tn?1(α)}=α 即 P{ξˉ?tn?1(α)Sn?1?????√≤a≤ξˉ+tn?1(α)Sn?1?????√}=α 得到a的置信度為1?α的置信區間為 [ξˉ?tn?1(α)Sn?1?????√,ξˉ+tn?1(α)Sn?1?????√] ##### 例題 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間(以小時計)分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 , 設干燥時間總體服從正態分布N(a,σ2)，σ2>0未知，求a的置信 水平為0.95的置信區間。 解： σ2>0未知，n=9,α=1?0.95=0.05 取T=n?1?????√ξˉ?aS～t(n?1)=t(8) 由P{|T|≥t8(α)}=α=0.05 查t(8)分布表可以得到t8(α)=2.306，故所求的區間估計為 [ξˉ?tn?1(α)Sn?1?????√,ξˉ+tn?1(α)Sn?1?????√] 計算得ξˉ=6.0?S2=0.29 故所求a的區間估計為[5.558,6.442] #### （總體均值未知時）σ2的區間估計 取χ2=nS2σ2～χ2(n?1) 給定的α(0<α<1)，求一個λ1，一個λ2，使得 P{λ1≤χ2≤λ2}=1?α  P{χ2n?1(1?α2)≤χ2≤χ2n?1(α2)}=1?α P{χ2n?1(1?α2)≤nS2σ2≤χ2n?1(α2)}=1?α 即 P{nS2χ2n?1(1?α2)≤σ2≤nS2χ2n?1(α2)}=1?α 由此可得σ2的置信水平為1?α的區間估計為 [nS2χ2n?1(1?α2)，nS2χ2n?1(α2)] ##### 例題 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間(以小時計)分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 , 設干燥時間總體服從正態分布N(a,σ2)，求σ2>0的置信 水平為0.95的置信區間。 解： n=9,α=1?0.95=0.05，a未知 取χ2=nS2σ2～χ2(n?1)=χ2(8) 對給定的α(0<α<1)，查χ2(8)表得 χ28(0.975)=2.180,χ28(0.025)=17.535 計算得ξˉ=6.0?S2=0.29 故σ2的置信度為1?α的置信區間為 [nS2χ2n?1(1?α2)，nS2χ2n?1(α2)] [9×0.2917.535，9×0.292.18] [0.151,1.211] 因此σ2的置信區間為0.95的區間估計為[0.151,1.211] ### 二個正態總體的情形 #### 二個正態總體均值差a1?a2的區間估計 設ξ1,ξ2,…,ξn1與η1,η2,…,ηn1分別是來自正態總體N(a1,σ21)與N(a2,σ22)的子樣，且這兩個子樣相互獨立，ξˉ,ηˉ分別是這兩個子樣的均樣，s21,s22分別是這兩個子樣的方差。 因為ξˉ,ηˉ分別為a1,a2的點估計，故取ξˉ?ηˉ為a1?a2的點估計。此時ξˉ?ηˉ服從正態分布，且 E(ξˉ?ηˉ)=a1?a2D(ξˉ?ηˉ)=D(ξˉ)+D(ηˉ)=σ21n1+σ22n2 對總體方差的不同情況可得a1?a2的不同置信區間。 ##### 若σ21、σ22都已知 取U=ξˉ?ηˉ?(a1?a2)σ21n1+σ22n2√～N(0,1) 對于給定的α(0<α<1)，查正態分布表得uα 從而得到a1?a2置信水平為1?α的區間估計 (ξˉ?ηˉ?uασ21n1+σ22n2????????√,ξˉ?ηˉ+uασ21n1+σ22n2????????√) ##### 若σ21=σ22=σ2都未知 取T=n1n2(n1+n2?2)n1+n2??????????√ξˉ?ηˉ?(a1?a2)n1S21+n2S22√～t(n1+n2?2) 對于給定的α(0<α<1)，由 P{|T|>t(n1+n2?2)(α)}=α 確認t(n1+n2?2)(α)，從而得到a1?a2置信區間為1?α的區間估計是 (ξˉ?ηˉ±t(n1+n2?2)(α)n1S21+n2S22???????????√n1+n2n1n2(n1+n2?2)???????????????√) ##### 例題 為比較I, II 兩種型號子彈的槍口速度,隨機地取I 型子彈10 發, 得到槍口速度的平均值為xˉ1=500(m/s)，標準差s1=1.10(m/s)，隨機地取II 型子彈20 發, 得到槍口速度的平均值為xˉ2=496(m/s)，標準差s2=1.20(m/s)，假設兩總體都可認為近似地服從正態分布,且由生產過程可認為方差相等,求兩總體均值差a1?a2的一個置信水平為0.95的區間. 解： 由假設兩總體的方差相等, 但數值未知 故a1?a2置信度為1?α的置信區間是 (ξˉ?ηˉ±t(n1+n2?2)(α)n1S21+n2S22???????????√n1+n2n1n2(n1+n2?2)???????????????√) n1=10,n2=20,n1+n2?2=28 α?1?0.95=0.05,t0.05(28)=2.048 t(n1+n2?2)(α)n1S21+n2S22???????????√n1+n2n1n2(n1+n2?2)???????????????√=2.048×10×1.102+20×1.202???????????????????√30200×28????????√=0.853 故a1?a2置信水平為1?α的區間估計是 (4?0.853,4+0.853)=(3.147,4.853) #### 兩個總體方差比的置信區間 設兩正態總體N(a1,σ21)、N(a2,σ22)的參數都為未知的，子樣容量分別為n1,n2，且兩個子樣相互獨立，子樣方差分別為S21,S22，求方差比σ21/σ22的置信區間 由n1S21σ21～χ2(n1?1),n2S22σ22～χ2(n2?1)構造 F=n1S21σ21/(n1?1)n2S22σ22/(n2?1)～F(n1?1,n2?1) 對于給定的α(0<α<1)，取λ1,λ2使滿足 P{λ1≤F≤λ2}=1?α  令P{F<λ1}=α/2,P{F>λ2}=α/2 即取λ1=F(n1?1,n2?1)（1?α2）,λ2=F(n1?1,n2?1)（α2） P{F(n1?1,n2?1)(1?α2)}≤(n2?1)n1S21(n1?1)n2S22．σ22σ21≤P{F(n1?1,n2?1)(α2)}=1?α 由此得σ21σ22的置信度為1?α的置信區間為 [(n2?1)n1S21(n1?1)n2S22．1F(n1?1,n2?1)(α2),(n2?1)n1S21(n1?1)n2S22．1F(n1?1,n2?1)(1?α2)] 注意如何查表得到F(n1?1,n2?1)(1?α2) F(n1?1,n2?1)(1?α2)=1F(n2?1,n1?1)(α2) ##### 例子 研究機器A和機器B生產的鋼管的內徑，隨機抽取機器A生產的管子18只，測得樣本方差s21=0.34(mm2),抽取機器B生產的管子13只，測得樣本方差s22=0.29(mm2）,設兩樣本相互獨立，且由機器A和機器B生產的鋼管的內徑分別服從正態分布N(a1,σ21),N(a2,σ22)試求方差比σ21/σ22的一個置信水平為0.90 的置信區間. 解： 現在n1=18,s21=0.34;n2=13,s22=0.29 α=0.10F(n1?1,n2?1)(α2)=F(17,12)(0.05)=2.59F(n1?1,n2?1)(α2)=F(17,12)(0.95)=1F(12,17)(0.05)=12.38 于是得σ21σ22的置信度為0.90的置信區間為 (73.4464.09×2.59,73.4464.09×12.38)=(0.44,2.73) ### 練習 假設隨機變數X～Ｎ(a,2.8)，現有X的10個觀察值X1,…,X10，已知Xˉˉˉ=110∑10i=1xi=1500, **1)求a的置信度為0.95置信區間** 解1） 由于σ2=2.82已知，故選U=Xˉ?aσ/n√～N(0,1) 由α=0.5?uα=1.96，a的置信度為0.95置信區間為 [Xˉˉˉ?uασn√,Xˉˉˉ+uασn√]=[1500?1.96×2.810??√,1500+1.96×2.810??√]=[1498.3,1501.7] **2)要想使0.95的置信區間長度l小于1，觀察值個數n最少應去多少？** 解2） l=(Xˉˉˉ+uασn√)?(Xˉˉˉ?uασn√)=2uασn√ 要使a的置信度為0.95置信區間的長度小于1, 即 2uασn√<1?2×1.96×2.8n<1 ?n>(2×1.96×2.8)2=120.47 所以觀察值個數n最少應取121 **3）如果樣本容量n=100，那么區間(Xˉˉˉ?1,Xˉˉˉ+1)作為a的區間估計，其置信度是什么？** 解3） 置信區間若為(Xˉˉˉ?1,Xˉˉˉ+1)，則l=2 即有等式2uασn√=2?uα=100√2.8=3.57 P(|U|≤uα)=P(|U|≤3.57)=2Φ(3.57)?1=2×0.9998?1=0.9996 置信度為0.9996