## 問題 二維費用的背包問題是指：對于每件物品，具有兩種不同的費用；選擇這件物品必須同時付出這兩種代價；對于每種代價都有一個可付出的最大值（背包容量）。問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別為代價1和代價2，第i件物品所需的兩種代價分別為a[i]和b[i]。兩種代價可付出的最大值（兩種背包容量）分別為V和U。物品的價值為w[i]。 ## 算法 費用加了一維，只需狀態也加一維即可。設f[i][v][u]表示前i件物品付出兩種代價分別為v和u時可獲得的最大價值。狀態轉移方程就是： > `f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}` 如前述方法，可以只使用二維的數組：當每件物品只可以取一次時變量v和u采用逆序的循環，當物品有如完全背包問題時采用順序的循環。當物品有如多重背包問題時拆分物品。這里就不再給出偽代碼了，相信有了前面的基礎，你能夠自己實現出這個問題的程序。 ## 物品總個數的限制 有時，“二維費用”的條件是以這樣一種隱含的方式給出的：最多只能取M件物品。這事實上相當于每件物品多了一種“件數”的費用，每個物品的件數費用均為1，可以付出的最大件數費用為M。換句話說，設f[v][m]表示付出費用v、最多選m件時可得到的最大價值，則根據物品的類型（01、完全、多重）用不同的方法循環更新，最后在f[0..V][0..M]范圍內尋找答案。 ## 復數域上的背包問題 另一種看待二維背包問題的思路是：將它看待成復數域上的背包問題。也就是說，背包的容量以及每件物品的費用都是一個復數。而常見的一維背包問題則是實數域上的背包問題。（注意：上面的話其實不嚴謹，因為事實上我們處理的都只是整數而已。）所以說，一維背包的種種思想方法，往往可以應用于二位背包問題的求解中，因為只是數域擴大了而已。 作為這種思想的練習，你可以嘗試將[P11](http://love-oriented.com/pack/P11.html)中提到的“子集和問題”擴展到復數域（即二維），并試圖用同樣的復雜度解決。 ## 小結 當發現由熟悉的動態規劃題目變形得來的題目時，在原來的狀態中加一緯以滿足新的限制是一種比較通用的方法。希望你能從本講中初步體會到這種方法。 [首頁](http://love-oriented.com/pack/Index.html) * * * Copyright (c) 2007 Tianyi Cui Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the?[GNU Free Documentation License](http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt), Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation.