### 前言 今天開始學習高數，馬上就要年底了，半年時間就這么快過去了，感覺自己什么都沒做一樣，每天雖然很忙，但學到的東西真的很少，缺少了上半年時的專注，提升不是很大，明年來了就只剩三個月了，所以在今年僅剩的幾個月多學一點吧！ <!--more--> ### 函數的兩個決定性要素 **定義域與對應關系** #### 函數的定義域 1. 分式的分母不能為零 2. 負數不能開偶次方 3. 負數和零不能取對數 4. 反正弦，反余弦函數的自變量的絕對值不能大于1 5. 正切函數的自變量不能等于kpai+pai/2,余切函數的自變量不能等于kpai #### 函數的對應關系 設函數是一一對應, 即對每一x,按對應規律f有唯一的y與之對應,反之,每一y,也有唯一的x使得f(x)=y。 #### 判斷兩個函數是否相同 首先看定義域是否相同，然后判斷對應關系，即在當前定義域下的值是否完全一致。 ### 函數的奇偶性 設`y=f(x)`定義域關于坐標原點對稱，則： * 若`f(-x)=f(x)`,那么`f(x)`為偶函數 * 若`f(-x)=-f(x)`，那么`f(x)`為奇函數 * 否則，為非奇非偶函數 ### 函數的有界性 設`y=f(x)`**在區間`(a,b)`內有定義**，若**存在正數M**，使**任意**的：**x∈(a,b)**，總有：`|f(x)|<=M`,則稱`y=f(x)在(a,b)內有界`. ### 無窮小的概念及其比較 如果`x->x0(或者x->∞)`時,**函數`f(x)`趨于0**，那么稱`f(x)`是`x->x0(或x->∞)`時的無窮小。 設`a(x),b(x)`皆為`x->x0`時的無窮小,`(b(x)!=0)`【lim x->x0 a(x)=0 && lim x->x0 b(x)!=0】 則： 1. 若**【lim x->x0 a(x)/b(x) = 0】**,那么，當x->x0時，a(x)是b(x)的高階無窮小，記作：**a(x)=O(b(x))** 如：【**lim x->x0 x^2/x <=> lim x->x0 x => 0**】 2. 若**【lim x->x0 a(x)/b(x) = c != 0】**,那么，當x->x0時，a(x)與b(x)是同階無窮小，記作： **a(x)~b(x),(x->x0)** 如： 【**lim x->x0 3x/x <=> lim x->x0 => 3**】（同階無窮小）,【**lim x->x0 x/x <=> lim x->xo => 1**】(等階無窮小) 3. 若 【**lim x->x0 a(x)/b(x) = ∞**】,那么，當x->x0時，a(x)是b(x)的低階無窮小。 ### 兩個重要極限 * 【**lim x->0 sinx/x = 1**】,其模式：【**lim a(x)->0 sin(a(x))/a(x) = 1**】,【"a(x)"中的表達式需一致】 下題： 【**lim x->2 sin(x)/x**】的極限是？ 答案：sin(2)/2 (如果一個函數在趨于一點時是連續的，極限值就等于函數值) 錯誤：【lim (x-2)->0 sin(x-2)/x-2 = 1】 * 【**lim x->(1+1/x)^x = e**,或【**lim x->(1+x)^(1/x) = e**】,其模式：**(1+ "無窮小")^"無窮大" = e**