（一）有限與無限從整數的絕對值說起 · 代碼之謎

## 一、引子開始本章之前我先提個問題：“如果一個整數的絕對值等于它自己，那么這個數是幾？”如果你回答是 0 和所有正數，那么請你耐心讀完這篇文章吧。本章是我『代碼之謎』系列的第二篇，前一篇『[代碼之謎 - 開篇/前言/序](http://justjavac.com/codepuzzle/2012/09/25/codepuzzle-introduction.html)』簡單介紹了計算機與數學的不同。數學中有許多復雜深刻的矛盾，數學家的工作就是解釋或者反駁這些矛盾，例如有限與無限、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體與抽象、概念與計算等等。在本章中，我們把目標縮小，主要討論內容 * 概念: 有限與無限 * 對象: 8bit整數 ## 二、絕對值之謎終于到主題了，也許你很想知道“負數的絕對值可能等于自己嗎？”，也就是 “如果x等于-x，那么x有幾個解？”按照我一貫的作風，我是不會輕易告訴你答案的。《[編程珠璣](http://www.amazon.cn/gp/product/B001GNBZFE/ref=as_li_ss_tl?ie=UTF8&camp=536&creative=3132&creativeASIN=B001GNBZFE&linkCode=as2&tag=justjavac-23)》記載，作者告訴了他同事一個結果，而不是方法，最后追悔莫及。所以，我在這里要**告訴你方法，而不是告訴你答案**。告訴你答案之前，首先得回答個問題：“整數(8bit)的表示范圍是多少？”，（也許你已經把教科書的知識背下來了，是 -2^7 到 2^7 - 1，也就是 -128 到 +127，現在的計算機科學都快成為文科了 ^_^ ）。如果你不知道也沒關系，至少你知道 8bit 可以表示的整數個數是 2^8 個，這個數等于多少無所謂，但是，它一定是個偶數(256)。那么這里就有一個很有意思的問題了，0既不是正數也不是負數，把0去掉的話，整數的個數就是奇數了，整數還剩 255 個。奇數個整數不可能平均分成兩部分(正數和負數)，要么負數多一個，要么正數多一個。事實就是，負數比正數多一個，最小的負數是 -128，最大的整數是 127。現在的問題是， -128 的絕對值是多少呢？ -(-128)等于多少呢？是溢出呢，還是等于它自己呢？也許計算機課本沒有告訴你，?**整數是不會出現溢出異常的**，整數的溢出被認為是正常的舍棄（其實只要很合理）。**整數只有被0除才會異常，而浮點數，即使被0除也不會拋出異常**。浮點數除0的操作將放在本系列浮點數篇討論。 **絕對值等于自己的數有兩個，0 和最小的負數。** 你可能要像香港電影里女主角那樣歇斯底里的大喊“絕對值怎么可能是負數呢？不可能，我不信，我不信…” 忘掉你那可憐的數學知識吧，“發生這種事，大家都不想的。感情的事呢，是不能強求的。所謂吉人自有天相，做人呢，最要緊的就是開心…”跑題了，趕緊回來。在經典數學（非皮亞諾算術系統，皮亞諾絕對是歐幾里德的鐵桿粉絲，要不怎么會有如此天才的構想，這個以后會給大家普及）中，絕對值定義為：“從原點到點A的距離，稱為A的絕對值，它是一個非負數”。既然講到了距離，不妨劇透一下（本系列“邏輯篇”會涉及到），兩個數的大小在數學中如何定義，“距離數軸原點的距離遠近”，計算機中大小如何定義的呢？給大家留個作業吧（別告訴我是設計編程語言或者設計電腦的科學家規定的，計算機科學絕對不是文科）。計算機中沒有數軸，絕對值是如何定義的呢？看看java、C、Python的源碼（感謝那些開源大牛），和咱們學的小學數學一樣。 ~~~ abs(x) := (x >= 0) ? x : -x ~~~ 翻譯過來就是，x的絕對值定義為：正數和0的絕對值等于它自己，負數的絕對值等于-x。（這里使用的是-x，而沒有用0-x，因為在浮點數中，這兩者是有區別的。） ## 三、深入 -x 那么 -x 是如何計算的呢？?**計算**是數學概念，在計算機中，我們應該說 -x是如何**求值**的呢？還得回到源碼，我只看了linux中關于C的源碼，如果你看過其它語言源碼發現和我說的不同，請聯系我。學過計算機原理的都知道，負數在計算機中以補碼形式存儲，計算補碼的方式和取反操作類似。 ~~~ 符號位不變，其它位取反，最后加一。 ~~~ 比如 -5 ~~~ 原碼: 1000,0101 其它位取反: 1111,1010 加一: 1111,1011 ~~~ 當我們求它的絕對值時如何操作呢 ~~~ 補碼: 1111,1011 這是-5在計算機中的表示各位取反: 0000,0100 加一: 0000,0101 此時結果為+5 ~~~ 現在我們回到最小的負數問題，最小的負數在計算機中表示為 1000,000，下面我們對這個數操作 ~~~ 補碼: 1000,0000 各位取反: 0111,1111 加一: 1000,0000 ~~~ 神奇嗎，尼瑪，居然又回到自己了。