在『[代碼之謎](http://justjavac.com/codepuzzle/2012/09/25/codepuzzle-introduction.html)』系列的前幾篇文章中，很多次出現了浮點數。 浮點數在很多編程語言中被稱為簡單數據類型，其實，浮點數比起那些復雜數據類型（比如字符串）來說， 一點都不簡單。
單單是說明 IEEE浮點數 就可以寫一本書了，我將用幾篇博文來簡單的說說我所理解的浮點數，算是拋磚引玉吧。
## 一次面試
記得多年前我招聘 Java 程序員時的一次關于浮點數、二分法、編碼的面試， 多年以后，他已經稱為了一名很出色的程序員。 每次聚會他都會告訴我，“那次面試徹底改變了我的過去的學習方式， 我以前?**只是盲目接受知識，根本就沒有自己思考過**， 那次對話，比我大學四年學到的知識都多”。
我看他簡歷上寫到讀過《[信息論](http://www.amazon.cn/gp/product/B0011C5QLE/ref=as_li_ss_tl?ie=UTF8&camp=536&creative=3132&creativeASIN=B0011C5QLE&linkCode=as2&tag=justjavac-23)》才談了很多關于二分法以及編碼的話題， 整個過程大概3個小時——這是我面試時間最長的一次。
因為時間久遠，我把一些我能回憶起來的關于浮點數的內容整理在這篇博客中。
格式說明：
所有我說的話，都放在引用里面。他的話放在了引號（“”）里面。沒有加引號的是我的心理活動或者說明。
## 浮點數個數
> 在 8 位計算機上，浮點數一共有多少個呢？
“8 位的好像太過時了，現在主流的是 32 位的，好像可以表示3 x 10^38。”
果然不出我所料，?**很多畢業生都把計算機學成了文科，他們不是在學習理論知識，而是接受/背誦這些知識**。
> 8 位計算機可以表示的整數是多少個呢？
“這個簡單，2的8次方，應該是 256 個。N 位計算機表示的整數就是 2 的 N 次方。”
他回答時顯得很興奮，因為他終于可以反駁我的觀點了，他沒有把計算機當作死記硬背的學科。
> 8 位計算機，或者說?**8bit 可以表示 2^8 個整數**。 如果用這 8bit 來表示字符，可以表示多少個呢？
“呵呵，當然也是 2 的 8 次方了，否則就沒有必要再發明16位或者32位的 unicode 去表示漢字了。”
> 如你剛才所說，8bit 可以表示 3 x 10^38 個浮點數。那么你估算一下，2bit 可以表示多少個浮點數呢？
“既然 2bit 可以表示 4 個整數，浮點數嘛肯定比這個多，最少也得能表示 10 幾個浮點數吧。”
> 好吧，按照你的思路，我說幾個數。
>
> * 0總該有吧，用 00 表示。
> * 0.1 用 01 表示
> * 0.2 用 10 表示
> * 0.3 用 11 表示
>
> 現在你把 0.4 給我表示出來？
『他思索了片刻』“哦。我明白了，?**2bit 可以表示 4 個數，不管是整數、小數或者字符**，就算是用 2bit 表示蘋果，我們也只能表示 4 個，如果想要表示更多，就得用更多的 bit 位。”
雖然他在簡歷中寫到讀過《[信息論](http://www.amazon.cn/gp/product/B0011C5QLE/ref=as_li_ss_tl?ie=UTF8&camp=536&creative=3132&creativeASIN=B0011C5QLE&linkCode=as2&tag=justjavac-23)》，他對?**N bit可以表示的信息量是 2^N**?肯定沒有完全理解，或者只是被動接受了這個定理。
過了一會兒他又繼續說：“按照這個邏輯，8bit 只能表示 256 個浮點數了，這也太少了。 我有點糊涂了，浮點數的表示范圍一般都得幾萬甚至幾億啊。”
## 浮點數精度
于是我在 firebug 里面寫了幾行代碼（可以在本系列第一篇的?[序言](http://justjavac.com/codepuzzle/2012/09/25/codepuzzle-introduction.html)?部分找到這些代碼）。
~~~
0.2 + 0.4
0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1
~~~
“這怎么可能呢？JS 居然這么不嚴格？”
顯然他把這種現象歸結于 js（謝天謝地，他沒有把罪過加在 firebug 身上）。 于是我用 Java 重寫了上面的代碼，這回他只剩目瞪口呆了。
既然他已經開始?**驚訝**，那么下一步就是?**思考**。我又稍作了解釋：
> 任何語言都宣稱他們的浮點數的表示范圍是 3 x 10^38，這個數到底多大呢？目前所知宇宙的年齡是 1.373 x 10^10 年。
>
> 但是 32bit 最多只能表示 2^32 個數，大約是 4 x 10^9。
>
> 對比一下你就會發現令人震驚的結果。 如果把浮點數的范圍比做地球，那么可以精確表示的浮點數還不到一粒芝麻大。
“這么說，0.2+0.4 是因為他不能夠精確表示，所以出現了計算錯誤的現象。那在編程中如何避免這種問題呢？”
> 用?**定點數表示小數**。
## 浮點數等價于小數嗎
“定點數不是整數嗎？定點數怎么表示小數啊？”
很顯然，有一個理論性概念錯誤。他沒有真正理解什么是定點，什么是浮點。
> 浮點數可以表示整數嗎？比如，float a = 2 可以嗎？
“可以是可以，這個 2 在計算機里面應該存儲的是 2.0 吧？”
> 計算機肯定沒有存儲 2.0。百分之一萬的肯定。計算機存儲的是0、1串。呵呵。
“我覺得浮點數應該不會存儲整數的2，他存儲的應該是小數的2.0，然后轉換成0、1串，是這樣嗎？”
他一連問了我幾個問題，使我感覺到，我不是在面試，而是在上課。
> **整數和小數是數學里面的概念，在計算機中，只有定點數和浮點數，沒有整數和小數**。
>
> 定點數在課本里如何定義的？
“忘了，只知道定點數就是整數，浮點數就是小數。好像老師也是這么講的。”
> 那是因為你們老師不是我，如果我當老師，肯定不會這么教學生。『笑』
>
> 定點、浮點，“點”是什么意思？“點”就是小數點。 把小數點固定，通常固定在最右面，就是定點數。 把小數點浮動，就是浮點數。浮點在哪兒？這個在 IEEE 浮點數標準里面定義的。
>
> 回到前面話題，如何精確的表示小數呢？其中一種方案就是定點數。 拿 8bit 舉例吧。我們可以把小數點定在中間，用 4bit 表示整數部分，4bit 表示小數部分。 這樣構造方式（專業點我們稱他為數據結構，一般語言把整數和小數稱為簡單數據類型，其實他們一點都不簡單，而且比那些成了復合數據類型的字符串都要復雜的多），~~我們可以精確的表示64個小數~~，我們可以精確的表示 2^8 = 256 個小數（謝謝?[mfkvfn](http://mfkvfn.iteye.com/)?在 iteye 上的指正）。
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在下一章，我們將構造一個 8bit 的浮點數表示形式，來深入探索浮點數不為人知的秘密。 我稱它為 JJFN-134(JustJavac Float Notation，justjavac浮點數表示法)，1bit符號，3bit指數，4bit尾數。
