在函數內部，可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞歸函數。 舉個例子，我們來計算階乘`n! = 1 x 2 x 3 x ... x n`，用函數`fact(n)`表示，可以看出： fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n 所以，`fact(n)`可以表示為`n x fact(n-1)`，只有n=1時需要特殊處理。 于是，`fact(n)`用遞歸的方式寫出來就是： ~~~ def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1) ~~~ 上面就是一個遞歸函數。可以試試： ~~~ >>> fact(1) 1 >>> fact(5) 120 >>> fact(100) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 ~~~ 如果我們計算`fact(5)`，可以根據函數定義看到計算過程如下： ~~~ ===> fact(5) ===> 5 * fact(4) ===> 5 * (4 * fact(3)) ===> 5 * (4 * (3 * fact(2))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1)))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1))) ===> 5 * (4 * (3 * 2)) ===> 5 * (4 * 6) ===> 5 * 24 ===> 120 ~~~ 遞歸函數的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式，但循環的邏輯不如遞歸清晰。 使用遞歸函數需要注意防止棧溢出。在計算機中，函數調用是通過棧（stack）這種數據結構實現的，每當進入一個函數調用，棧就會加一層棧幀，每當函數返回，棧就會減一層棧幀。由于棧的大小不是無限的，所以，遞歸調用的次數過多，會導致棧溢出。可以試試`fact(1000)`： ~~~ >>> fact(1000) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "<stdin>", line 4, in fact ... File "<stdin>", line 4, in fact RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison ~~~ 解決遞歸調用棧溢出的方法是通過**尾遞歸**優化，事實上尾遞歸和循環的效果是一樣的，所以，把循環看成是一種特殊的尾遞歸函數也是可以的。 尾遞歸是指，在函數返回的時候，調用自身本身，并且，return語句不能包含表達式。這樣，編譯器或者解釋器就可以把尾遞歸做優化，使遞歸本身無論調用多少次，都只占用一個棧幀，不會出現棧溢出的情況。 上面的`fact(n)`函數由于`return n * fact(n - 1)`引入了乘法表達式，所以就不是尾遞歸了。要改成尾遞歸方式，需要多一點代碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞歸函數中： ~~~ def fact(n): return fact_iter(n, 1) def fact_iter(num, product): if num == 1: return product return fact_iter(num - 1, num * product) ~~~ 可以看到，`return fact_iter(num - 1, num * product)`僅返回遞歸函數本身，`num - 1`和`num * product`在函數調用前就會被計算，不影響函數調用。 `fact(5)`對應的`fact_iter(5, 1)`的調用如下： ~~~ ===> fact_iter(5, 1) ===> fact_iter(4, 5) ===> fact_iter(3, 20) ===> fact_iter(2, 60) ===> fact_iter(1, 120) ===> 120 ~~~ 尾遞歸調用時，如果做了優化，棧不會增長，因此，無論多少次調用也不會導致棧溢出。 遺憾的是，大多數編程語言沒有針對尾遞歸做優化，Python解釋器也沒有做優化，所以，即使把上面的`fact(n)`函數改成尾遞歸方式，也會導致棧溢出。 ## 小結 使用遞歸函數的優點是邏輯簡單清晰，缺點是過深的調用會導致棧溢出。 針對尾遞歸優化的語言可以通過尾遞歸防止棧溢出。尾遞歸事實上和循環是等價的，沒有循環語句的編程語言只能通過尾遞歸實現循環。 Python標準的解釋器沒有針對尾遞歸做優化，任何遞歸函數都存在棧溢出的問題。 ## 練習 [漢諾塔](http://baike.baidu.com/view/191666.htm)的移動可以用遞歸函數非常簡單地實現。 請編寫`move(n, a, b, c)`函數，它接收參數`n`，表示3個柱子A、B、C中第1個柱子A的盤子數量，然后打印出把所有盤子從A借助B移動到C的方法，例如： ~~~ def move(n, a, b, c): pass # 期待輸出: # A --> C # A --> B # C --> B # A --> C # B --> A # B --> C # A --> C move(3, 'A', 'B', 'C') ~~~ ## 參考源碼 [recur.py](https://github.com/michaelliao/learn-python3/blob/master/samples/function/recur.py)