請思考以下問題： > 　　任意給定正整數n，請問在小于等于n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關系？） 計算這個值的方法就叫做[歐拉函數](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0)，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的計算方法并不復雜，但是為了得到最后那個公式，需要一步步討論。 第一種情況 如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關系。 第二種情況 如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小于它的每一個數，都構成互質關系。比如5與1、2、3、4都構成互質關系。 第三種情況 如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大于等于1的整數)，則  比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。 這是因為只有當一個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。 上面的式子還可以寫成下面的形式：  可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。 第四種情況 如果n可以分解成兩個互質的整數之積， > 　　n = p1 × p2 則 > 　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 即積的歐拉函數等于各個因子的歐拉函數之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。 這一條的證明要用到["中國剩余定理"](http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem)，這里就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(a<p1)，b與p2互質(b<p2)，c與p1p2互質(c<p1p2)，則c與數對 (a,b) 是一一對應關系。由于a的值有φ(p1)種可能，b的值有φ(p2)種可能，則數對 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)種可能，而c的值有φ(p1p2)種可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。 第五種情況 因為任意一個大于1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。  根據第4條的結論，得到  再根據第3條的結論，得到  也就等于  這就是歐拉函數的通用計算公式。比如，1323的歐拉函數，計算過程如下：