請思考以下問題:
> 任意給定正整數n,請問在小于等于n的正整數之中,有多少個與n構成互質關系?(比如,在1到8之中,有多少個數與8構成互質關系?)
計算這個值的方法就叫做[歐拉函數](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0),以φ(n)表示。在1到8之中,與8形成互質關系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的計算方法并不復雜,但是為了得到最后那個公式,需要一步步討論。
第一種情況
如果n=1,則 φ(1) = 1 。因為1與任何數(包括自身)都構成互質關系。
第二種情況
如果n是質數,則 φ(n)=n-1 。因為質數與小于它的每一個數,都構成互質關系。比如5與1、2、3、4都構成互質關系。
第三種情況
如果n是質數的某一個次方,即 n = p^k (p為質數,k為大于等于1的整數),則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
這是因為只有當一個數不包含質數p,才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它們去除,剩下的就是與n互質的數。
上面的式子還可以寫成下面的形式:

可以看出,上面的第二種情況是 k=1 時的特例。
第四種情況
如果n可以分解成兩個互質的整數之積,
> n = p1 × p2
則
> φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即積的歐拉函數等于各個因子的歐拉函數之積。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
這一條的證明要用到["中國剩余定理"](http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem),這里就不展開了,只簡單說一下思路:如果a與p1互質(a<p1),b與p2互質(b<p2),c與p1p2互質(c<p1p2),則c與數對 (a,b) 是一一對應關系。由于a的值有φ(p1)種可能,b的值有φ(p2)種可能,則數對 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)種可能,而c的值有φ(p1p2)種可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五種情況
因為任意一個大于1的正整數,都可以寫成一系列質數的積。

根據第4條的結論,得到

再根據第3條的結論,得到

也就等于

這就是歐拉函數的通用計算公式。比如,1323的歐拉函數,計算過程如下:
