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                回顧上面的密鑰生成步驟,一共出現六個數字: >   p >   q >   n >   φ(n) >   e >   d 這六個數字之中,公鑰用到了兩個(n和e),其余四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d,因為n和d組成了私鑰,一旦d泄漏,就等于私鑰泄漏。 那么,有無可能在已知n和e的情況下,推導出d? >   (1)ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。 > >   (2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。 > >   (3)n=pq。只有將n因數分解,才能算出p和q。 結論:如果n可以被因數分解,d就可以算出,也就意味著私鑰被破解。 可是,大整數的因數分解,是一件非常困難的事情。目前,除了暴力破解,還沒有發現別的有效方法。維基百科這樣寫道: >   "對極大整數做因數分解的難度決定了RSA算法的可靠性。換言之,對一極大整數做因數分解愈困難,RSA算法愈可靠。 > >   假如有人找到一種快速因數分解的算法,那么RSA的可靠性就會極度下降。但找到這樣的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密鑰才可能被暴力破解。到2008年為止,世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA算法的方式。 > >   只要密鑰長度足夠長,用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。" 舉例來說,你可以對3233進行因數分解(61×53),但是你沒法對下面這個整數進行因數分解。 >   12301866845301177551304949 >   58384962720772853569595334 >   79219732245215172640050726 >   36575187452021997864693899 >   56474942774063845925192557 >   32630345373154826850791702 >   61221429134616704292143116 >   02221240479274737794080665 >   351419597459856902143413 它等于這樣兩個質數的乘積: >   33478071698956898786044169 >   84821269081770479498371376 >   85689124313889828837938780 >   02287614711652531743087737 >   814467999489 >     × >   36746043666799590428244633 >   79962795263227915816434308 >   76426760322838157396665112 >   79233373417143396810270092 >   798736308917 事實上,這大概是人類已經分解的最大整數(232個十進制位,768個二進制位)。比它更大的因數分解,還沒有被報道過,因此目前被破解的最長RSA密鑰就是768位。
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