2.5 SciPy中稀疏矩陣 · SciPy Lecture Notes 中文版

# 2.5 SciPy中稀疏矩陣 In?[3]: ``` %matplotlib inline import numpy as np ``` ## 2.5.1 介紹 (密集) 矩陣是: * 數據對象 * 存儲二維值數組的數據結構重要特征: * 一次分配所有項目的內存 * 通常是一個連續組塊，想一想Numpy數組 * _快速_訪問個項目(*) ### 2.5.1.1 為什么有稀疏矩陣？ * 內存，增長是n**2 * 小例子（雙精度矩陣）: In?[5]: ``` import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 1e6, 10) plt.plot(x, 8.0 * (x**2) / 1e6, lw=5) plt.xlabel('size n') plt.ylabel('memory [MB]') ``` Out[5]: ``` <matplotlib.text.Text at 0x105b08dd0> ``` ![](https://box.kancloud.cn/2016-03-21_56efdc0a6b9f4.png) ### 2.5.1.2 稀疏矩陣 vs. 稀疏矩陣存儲方案 * 稀疏矩陣是一個矩陣，巨大多數是空的 * 存儲所有的0是浪費 -> 只存儲非0項目 * 想一下**壓縮** * 有利: 巨大的內存節省 * 不利: 依賴實際的存儲方案, (*) 通常并不能滿足 ### 2.5.1.3 典型應用 * 偏微分方程（PDES）的解 * 有限元素法 * 機械工程、電子、物理... * 圖論 * （i，j）不是0表示節點i與節點j是聯接的 * ... ### 2.5.1.4 先決條件最新版本的 * `numpy` * `scipy` * `matplotlib` (可選) * `ipython` (那些增強很方便) ### 2.5.1.5 稀疏結構可視化 * matplotlib中的`spy()` * 樣例繪圖: ![](http://scipy-lectures.github.io/_images/graph.png) ![](http://scipy-lectures.github.io/_images/graph_g.png) ![](http://scipy-lectures.github.io/_images/graph_rcm.png) ## 2.5.2 存儲機制 * scipy.sparse中有七類稀疏矩陣: 1. csc_matrix: 壓縮列格式 2. csr_matrix: 壓縮行格式 3. bsr_matrix: 塊壓縮行格式 4. lil_matrix: 列表的列表格式 5. dok_matrix: 值的字典格式 6. coo_matrix: 座標格式 (即 IJV, 三維格式) 7. dia_matrix: 對角線格式 * 每一個類型適用于一些任務 * 許多都利用了由Nathan Bell提供的稀疏工具 C ++ 模塊 * 假設導入了下列模塊: In?[1]: ``` import numpy as np import scipy.sparse as sparse import matplotlib.pyplot as plt ``` * 給Numpy用戶的**warning**: * 使用'*'的乘是_矩陣相乘_ (點積) * 并不是Numpy的一部分! * 向Numpy函數傳遞一個稀疏矩陣希望一個ndarray/矩陣是沒用的 ### 2.5.2.1 通用方法 * 所有scipy.sparse類都是spmatrix的子類 * 算術操作的默認實現 * 通常轉化為CSR * 為了效率而子類覆蓋 * 形狀、數據類型設置/獲取 * 非0索引 * 格式轉化、與Numpy交互(toarray(), todense()) * ... * 屬性: * mtx.A - 與mtx.toarray()相同 * mtx.T - 轉置 (與mtx.transpose()相同) * mtx.H - Hermitian (列舉) 轉置 * mtx.real - 復矩陣的真部 * mtx.imag - 復矩陣的虛部 * mtx.size - 非零數 (與self.getnnz()相同) * mtx.shape - 行數和列數 (元組) * 數據通常儲存在Numpy數組中 ### 2.5.2.2 稀疏矩陣類 #### 2.5.2.2.1 對角線格式 (DIA)) * 非常簡單的格式 * 形狀 (n_diag, length) 的密集Numpy數組的對角線 * 固定長度 -> 當離主對角線比較遠時會浪費空間 * _data_matrix的子類 (帶數據屬性的稀疏矩陣類) * 每個對角線的偏移 * 0 是主對角線 * 負偏移 = 下面 * 正偏移 = 上面 * 快速矩陣 * 向量 (sparsetools) * 快速方便的關于項目的操作 * 直接操作數據數組 (快速的NumPy機件) * 構建器接受 : * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空矩陣) * (數據, 偏移) 元組 * 沒有切片、沒有單個項目訪問 * 用法 : * 非常專業 * 通過有限微分解偏微分方程 * 有一個迭代求解器 ##### 2.5.2.2.1.1 示例 * 創建一些DIA矩陣 : In?[3]: ``` data = np.array([[1, 2, 3, 4]]).repeat(3, axis=0) data ``` Out[3]: ``` array([[1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4]]) ``` In?[6]: ``` offsets = np.array([0, -1, 2]) mtx = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4)) mtx ``` Out[6]: ``` <4x4 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 9 stored elements (3 diagonals) in DIAgonal format> ``` In?[7]: ``` mtx.todense() ``` Out[7]: ``` matrix([[1, 0, 3, 0], [1, 2, 0, 4], [0, 2, 3, 0], [0, 0, 3, 4]]) ``` In?[9]: ``` data = np.arange(12).reshape((3, 4)) + 1 data ``` Out[9]: ``` array([[ 1, 2, 3, 4], [ 5, 6, 7, 8], [ 9, 10, 11, 12]]) ``` In?[10]: ``` mtx = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4)) mtx.data ``` Out[10]: ``` array([[ 1, 2, 3, 4], [ 5, 6, 7, 8], [ 9, 10, 11, 12]]) ``` In?[11]: ``` mtx.offsets ``` Out[11]: ``` array([ 0, -1, 2], dtype=int32) ``` In?[12]: ``` print mtx ``` ``` (0, 0) 1 (1, 1) 2 (2, 2) 3 (3, 3) 4 (1, 0) 5 (2, 1) 6 (3, 2) 7 (0, 2) 11 (1, 3) 12 ``` In?[13]: ``` mtx.todense() ``` Out[13]: ``` matrix([[ 1, 0, 11, 0], [ 5, 2, 0, 12], [ 0, 6, 3, 0], [ 0, 0, 7, 4]]) ``` * 機制的解釋 : 偏移: 行 ``` 2: 9 1: --10------ 0: 1 . 11 . -1: 5 2 . 12 -2: . 6 3 . -3: . . 7 4 ---------8 ``` * 矩陣-向量相乘 In?[15]: ``` vec = np.ones((4, )) vec ``` Out[15]: ``` array([ 1., 1., 1., 1.]) ``` In?[16]: ``` mtx * vec ``` Out[16]: ``` array([ 12., 19., 9., 11.]) ``` In?[17]: ``` mtx.toarray() * vec ``` Out[17]: ``` array([[ 1., 0., 11., 0.], [ 5., 2., 0., 12.], [ 0., 6., 3., 0.], [ 0., 0., 7., 4.]]) ``` #### 2.5.2.2.2 列表的列表格式 (LIL)) * 基于行的聯接列表 * 每一行是一個Python列表（排序的）非零元素的列索引 * 行存儲在Numpy數組中 (dtype=np.object) * 非零值也近似存儲 * 高效增量構建稀疏矩陣 * 構建器接受 : * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建一個空矩陣) * 靈活切片、高效改變稀疏結構 * 由于是基于行的，算術和行切片慢 * 用途 : * 當稀疏模式并不是已知的邏輯或改變 * 例子：從一個文本文件讀取稀疏矩陣 ##### 2.5.2.2.2.1 示例 * 創建一個空的LIL矩陣 : In?[2]: ``` mtx = sparse.lil_matrix((4, 5)) ``` * 準備隨機數據: In?[4]: ``` from numpy.random import rand data = np.round(rand(2, 3)) data ``` Out[4]: ``` array([[ 0., 0., 0.], [ 1., 0., 0.]]) ``` * 使用象征所以分配數據: In?[6]: ``` mtx[:2, [1, 2, 3]] = data mtx ``` Out[6]: ``` <4x5 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>' with 3 stored elements in LInked List format> ``` In?[7]: ``` print mtx ``` ``` (0, 1) 1.0 (0, 3) 1.0 (1, 2) 1.0 ``` In?[8]: ``` mtx.todense() ``` Out[8]: ``` matrix([[ 0., 1., 0., 1., 0.], [ 0., 0., 1., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.]]) ``` In?[9]: ``` mtx.toarray() ``` Out[9]: ``` array([[ 0., 1., 0., 1., 0.], [ 0., 0., 1., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.]]) ``` 更多的切片和索引: In?[10]: ``` mtx = sparse.lil_matrix([[0, 1, 2, 0], [3, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]) mtx.todense() ``` Out[10]: ``` matrix([[0, 1, 2, 0], [3, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]) ``` In?[11]: ``` print mtx ``` ``` (0, 1) 1 (0, 2) 2 (1, 0) 3 (1, 2) 1 (2, 0) 1 (2, 3) 1 ``` In?[12]: ``` mtx[:2, :] ``` Out[12]: ``` <2x4 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 4 stored elements in LInked List format> ``` In?[13]: ``` mtx[:2, :].todense() ``` Out[13]: ``` matrix([[0, 1, 2, 0], [3, 0, 1, 0]]) ``` In?[14]: ``` mtx[1:2, [0,2]].todense() ``` Out[14]: ``` matrix([[3, 1]]) ``` In?[15]: ``` mtx.todense() ``` Out[15]: ``` matrix([[0, 1, 2, 0], [3, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]) ``` #### 2.5.2.2.3 值的字典格式 (DOK)) * Python字典的子類 * 鍵是 (行, 列) 索引元組 (不允許重復的條目) * 值是對應的非零值 * 高效增量構建稀疏矩陣 * 構建器支持: * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空矩陣) * 高效 O(1) 對單個元素的訪問 * 靈活索引，改變稀疏結構是高效 * 一旦創建完成后可以被高效轉換為coo_matrix * 算術很慢 (循環用`dict.iteritems()`) * 用法: * 當稀疏模式是未知的假設或改變時 ##### 2.5.2.2.3.1 示例 * 逐個元素創建一個DOK矩陣: In?[16]: ``` mtx = sparse.dok_matrix((5, 5), dtype=np.float64) mtx ``` Out[16]: ``` <5x5 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>' with 0 stored elements in Dictionary Of Keys format> ``` In?[17]: ``` for ir in range(5): for ic in range(5): mtx[ir, ic] = 1.0 * (ir != ic) mtx ``` Out[17]: ``` <5x5 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>' with 20 stored elements in Dictionary Of Keys format> ``` In?[18]: ``` mtx.todense() ``` Out[18]: ``` matrix([[ 0., 1., 1., 1., 1.], [ 1., 0., 1., 1., 1.], [ 1., 1., 0., 1., 1.], [ 1., 1., 1., 0., 1.], [ 1., 1., 1., 1., 0.]]) ``` * 切片與索引: In?[19]: ``` mtx[1, 1] ``` Out[19]: ``` 0.0 ``` In?[20]: ``` mtx[1, 1:3] ``` Out[20]: ``` <1x2 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>' with 1 stored elements in Dictionary Of Keys format> ``` In?[21]: ``` mtx[1, 1:3].todense() ``` Out[21]: ``` matrix([[ 0., 1.]]) ``` In?[22]: ``` mtx[[2,1], 1:3].todense() ``` Out[22]: ``` matrix([[ 1., 0.], [ 0., 1.]]) ``` #### 2.5.2.2.4 座標格式 (COO)) * 也被稱為 ‘ijv’ 或 ‘triplet’ 格式 * 三個NumPy數組: row, col, data * `data[i]`是在 (row[i], col[i]) 位置的值 * 允許重復值 * `\_data\_matrix`的子類 (帶有`data`屬性的稀疏矩陣類) * 構建稀疏矩陣的高速模式 * 構建器接受: * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空數組) * `(data, ij)`元組 * 與CSR/CSC格式非常快的互相轉換 * 快速的矩陣 * 向量 (sparsetools) * 快速而簡便的逐項操作 * 直接操作數據數組 (快速NumPy機制) * 沒有切片，沒有算術 (直接) * 使用: * 在各種稀疏格式間的靈活轉換 * 當轉化到其他形式 (通常是 CSR 或 CSC), 重復的條目被加總到一起 * 有限元素矩陣的快速高效創建 ##### 2.5.2.2.4.1 示例 * 創建空的COO矩陣: In?[23]: ``` mtx = sparse.coo_matrix((3, 4), dtype=np.int8) mtx.todense() ``` Out[23]: ``` matrix([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], dtype=int8) ``` * 用 (data, ij) 元組創建: In?[24]: ``` row = np.array([0, 3, 1, 0]) col = np.array([0, 3, 1, 2]) data = np.array([4, 5, 7, 9]) mtx = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4)) mtx ``` Out[24]: ``` <4x4 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 4 stored elements in COOrdinate format> ``` In?[25]: ``` mtx.todense() ``` Out[25]: ``` matrix([[4, 0, 9, 0], [0, 7, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 5]]) ``` #### 2.5.2.2.5 壓縮稀疏行格式 (CSR)) * 面向行 * 三個Numpy數組: `indices`, `indptr`, `data` * `indices`是列索引的數組 * `data`是對應的非零值數組 * `indptr`指向行開始的所以和數據 * 長度是`n_row + 1`, 最后一個項目 = 值數量 = `indices`和`data`的長度 * i-th行的非零值是列索引為`indices[indptr[i]:indptr[i+1]]`的`data[indptr[i]:indptr[i+1]]` * 項目 (i, j) 可以通過`data[indptr[i]+k]`, k是j在`indices[indptr[i]:indptr[i+1]]`的位置來訪問 * `_cs_matrix` (常規 CSR/CSC 功能) 的子類 * `_data_matrix` (帶有`data`屬性的稀疏矩陣類) 的子類 * 快速矩陣向量相乘和其他算術 (sparsetools) * 構建器接受: * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空矩陣) * `(data, ij)` 元組 * `(data, indices, indptr)` 元組 * 高效行切片，面向行的操作 * 較慢的列切片，改變稀疏結構代價昂貴 * 用途: * 實際計算 (大多數線性求解器都支持這個格式) ##### 2.5.2.2.5.1 示例 * 創建空的CSR矩陣: In?[26]: ``` mtx = sparse.csr_matrix((3, 4), dtype=np.int8) mtx.todense() ``` Out[26]: ``` matrix([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], dtype=int8) ``` * 用`(data, ij)`元組創建: In?[27]: ``` row = np.array([0, 0, 1, 2, 2, 2]) col = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) mtx = sparse.csr_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 3)) mtx ``` Out[27]: ``` <3x3 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 6 stored elements in Compressed Sparse Row format> ``` In?[28]: ``` mtx.todense() ``` Out[28]: ``` matrix([[1, 0, 2], [0, 0, 3], [4, 5, 6]]) ``` In?[29]: ``` mtx.data ``` Out[29]: ``` array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) ``` In?[30]: ``` mtx.indices ``` Out[30]: ``` array([0, 2, 2, 0, 1, 2], dtype=int32) ``` In?[31]: ``` mtx.indptr ``` Out[31]: ``` array([0, 2, 3, 6], dtype=int32) ``` 用`(data, indices, indptr)`元組創建: In?[32]: ``` data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) indptr = np.array([0, 2, 3, 6]) mtx = sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)) mtx.todense() ``` Out[32]: ``` matrix([[1, 0, 2], [0, 0, 3], [4, 5, 6]]) ``` #### 2.5.2.2.6 壓縮稀疏列格式 (CSC)) * 面向列 * 三個Numpy數組: `indices`、`indptr`、`data` * `indices`是行索引的數組 * `data`是對應的非零值 * `indptr`指向`indices`和`data`開始的列 * 長度是`n_col + 1`, 最后一個條目 = 值數量 = `indices`和`data`的長度 * 第i列的非零值是行索引為`indices[indptr[i]:indptr[i+1]]`的`data[indptr[i]:indptr[i+1]]` * 項目 (i, j) 可以作為`data[indptr[j]+k]`訪問, k是i在`indices[indptr[j]:indptr[j+1]]`的位置 * `_cs_matrix`的子類 (通用的 CSR/CSC 功能性) * `_data_matrix`的子類 (帶有`data`屬性的稀疏矩陣類) * 快速的矩陣和向量相乘及其他數學 (sparsetools) * 構建器接受： * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空矩陣) * `(data, ij)`元組 * `(data, indices, indptr)`元組 * 高效列切片、面向列的操作 * 較慢的行切片、改變稀疏結構代價昂貴 * 用途: * 實際計算 (巨大多數線性求解器支持這個格式) ##### 2.5.2.2.6.1 示例 * 創建空CSC矩陣: In?[33]: ``` mtx = sparse.csc_matrix((3, 4), dtype=np.int8) mtx.todense() ``` Out[33]: ``` matrix([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], dtype=int8) ``` * 用`(data, ij)`元組創建: In?[34]: ``` row = np.array([0, 0, 1, 2, 2, 2]) col = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) mtx = sparse.csc_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 3)) mtx ``` Out[34]: ``` <3x3 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 6 stored elements in Compressed Sparse Column format> ``` In?[35]: ``` mtx.todense() ``` Out[35]: ``` matrix([[1, 0, 2], [0, 0, 3], [4, 5, 6]]) ``` In?[36]: ``` mtx.data ``` Out[36]: ``` array([1, 4, 5, 2, 3, 6]) ``` In?[37]: ``` mtx.indices ``` Out[37]: ``` array([0, 2, 2, 0, 1, 2], dtype=int32) ``` In?[38]: ``` mtx.indptr ``` Out[38]: ``` array([0, 2, 3, 6], dtype=int32) ``` * 用`(data, indices, indptr)`元組創建: In?[39]: ``` data = np.array([1, 4, 5, 2, 3, 6]) indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) indptr = np.array([0, 2, 3, 6]) mtx = sparse.csc_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)) mtx.todense() ``` Out[39]: ``` matrix([[1, 0, 2], [0, 0, 3], [4, 5, 6]]) ``` #### 2.5.2.2.7 塊壓縮行格式 (BSR)) * 本質上，CSR帶有密集的固定形狀的子矩陣而不是純量的項目 * 塊大小`(R, C)`必須可以整除矩陣的形狀`(M, N)` * 三個Numpy數組: `indices`、`indptr`、`data` * `indices`是每個塊列索引的數組 * `data`是形狀為(nnz, R, C)對應的非零值 * ... * `_cs_matrix`的子類 (通用的CSR/CSC功能性) * `_data_matrix`的子類 (帶有`data`屬性的稀疏矩陣類) * 快速矩陣向量相乘和其他的算術 (sparsetools) * 構建器接受: * 密集矩陣 (數組) * 稀疏矩陣 * 形狀元組 (創建空的矩陣) * `(data, ij)`元組 * `(data, indices, indptr)`元組 * 許多對于帶有密集子矩陣的稀疏矩陣算術操作比CSR更高效很多 * 用途: * 類似CSR * 有限元素向量值離散化 ##### 2.5.2.2.7.1 示例 * 創建空的`(1, 1)`塊大小的（類似CSR...）的BSR矩陣: In?[40]: ``` mtx = sparse.bsr_matrix((3, 4), dtype=np.int8) mtx ``` Out[40]: ``` <3x4 sparse matrix of type '<type 'numpy.int8'>' with 0 stored elements (blocksize = 1x1) in Block Sparse Row format> ``` In?[41]: ``` mtx.todense() ``` Out[41]: ``` matrix([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], dtype=int8) ``` * 創建塊大小`(3, 2)`的空BSR矩陣: In?[42]: ``` mtx = sparse.bsr_matrix((3, 4), blocksize=(3, 2), dtype=np.int8) mtx ``` Out[42]: ``` <3x4 sparse matrix of type '<type 'numpy.int8'>' with 0 stored elements (blocksize = 3x2) in Block Sparse Row format> ``` ``` - 一個bug? ``` * 用`(1, 1)`塊大小 (類似 CSR...)`(data, ij)`的元組創建: In?[43]: ``` row = np.array([0, 0, 1, 2, 2, 2]) col = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) mtx = sparse.bsr_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 3)) mtx ``` Out[43]: ``` <3x3 sparse matrix of type '<type 'numpy.int64'>' with 6 stored elements (blocksize = 1x1) in Block Sparse Row format> ``` In?[44]: ``` mtx.todense() ``` Out[44]: ``` matrix([[1, 0, 2], [0, 0, 3], [4, 5, 6]]) ``` In?[45]: ``` mtx.indices ``` Out[45]: ``` array([0, 2, 2, 0, 1, 2], dtype=int32) ``` In?[46]: ``` mtx.indptr ``` Out[46]: ``` array([0, 2, 3, 6], dtype=int32) ``` * 用`(2, 1)`塊大小`(data, indices, indptr)`的元組創建: In?[47]: ``` indptr = np.array([0, 2, 3, 6]) indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2]) data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]).repeat(4).reshape(6, 2, 2) mtx = sparse.bsr_matrix((data, indices, indptr), shape=(6, 6)) mtx.todense() ``` Out[47]: ``` matrix([[1, 1, 0, 0, 2, 2], [1, 1, 0, 0, 2, 2], [0, 0, 0, 0, 3, 3], [0, 0, 0, 0, 3, 3], [4, 4, 5, 5, 6, 6], [4, 4, 5, 5, 6, 6]]) ``` In?[48]: ``` data ``` Out[48]: ``` array([[[1, 1], [1, 1]], [[2, 2], [2, 2]], [[3, 3], [3, 3]], [[4, 4], [4, 4]], [[5, 5], [5, 5]], [[6, 6], [6, 6]]]) ``` ### 2.5.2.3 總結存儲機制的總結 | 格式 | 矩陣 \* 向量 | 提取項目 | 靈活提取 | 設置項目 | 靈活設置 | 求解器 | 備注 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | DIA | sparsetools | . | . | . | . | 迭代 | 有數據數組，專門化 | | LIL | 通過 CSR | 是 | 是 | 是 | 是 | 迭代 | 通過CSR的算術, 增量構建 | | DOK | python | 是 | 只有一個軸 | 是 | 是 | 迭代 | `O(1)`條目訪問, 增量構建 | | COO | sparsetools | . | . | . | . | 迭代 | 有數據數組, 便利的快速轉換 | | CSR | sparsetools | 是 | 是 | 慢 | . | 任何 | 有數據數組, 快速以行為主的操作 | | CSC | sparsetools | 是 | 是 | 慢 | . | 任何 | 有數據數組, 快速以列為主的操作 | | BSR | sparsetools | . | . | . | . | 專門化 | 有數據數組，專門化 |