# 7.7 AdaDelta算法
除了RMSProp算法以外,另一個常用優化算法AdaDelta算法也針對AdaGrad算法在迭代后期可能較難找到有用解的問題做了改進 [1]。有意思的是,**AdaDelta算法沒有學習率這一超參數**。
## 7.7.1 算法
AdaDelta算法也像RMSProp算法一樣,使用了小批量隨機梯度`$ \boldsymbol{g}_t $`按元素平方的指數加權移動平均變量`$ \boldsymbol{s}_t $`。在時間步0,它的所有元素被初始化為0。給定超參數`$ 0 \leq \rho < 1 $`(對應RMSProp算法中的 `$ \gamma $`),在時間步`$ t>0 $`,同RMSProp算法一樣計算
```[tex]
\boldsymbol{s}_t \leftarrow \rho \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.
```
與RMSProp算法不同的是,AdaDelta算法還維護一個額外的狀態變量`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`,其元素同樣在時間步0時被初始化為0。我們使用`$ \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} $`來計算自變量的變化量:
```[tex]
\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \sqrt{\frac{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + \epsilon}{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t,
```
其中`$ \epsilon $`是為了維持數值穩定性而添加的常數,如`$ 10^{-5} $` 。接著更新自變量:
```[tex]
\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}'_t.
```
最后,我們使用`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`來記錄自變量變化量`$ \boldsymbol{g}'_t $`按元素平方的指數加權移動平均:
```[tex]
\Delta\boldsymbol{x}_t \leftarrow \rho \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}'_t \odot \boldsymbol{g}'_t.
```
可以看到,如不考慮`$ \epsilon $`的影響,**AdaDelta算法跟RMSProp算法的不同之處在于使用`$ \sqrt{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}} $`來替代學習率`$ \eta $`**。
## 7.7.2 從零開始實現
AdaDelta算法需要對每個自變量維護兩個狀態變量,即`$ \boldsymbol{s}_t $`和`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`。我們按AdaDelta算法中的公式實現該算法。
``` python
%matplotlib inline
import torch
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
features, labels = d2l.get_data_ch7()
def init_adadelta_states():
s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))
def adadelta(params, states, hyperparams):
rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
for p, (s, delta) in zip(params, states):
s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)
g = p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))
p.data -= g
delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
```
使用超參數$\rho=0.9$來訓練模型。
``` python
d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)
```
輸出:
```
loss: 0.243728, 0.062991 sec per epoch
```
:-: 
## 7.7.3 簡潔實現
通過名稱為`Adadelta`的優化器方法,我們便可使用PyTorch提供的AdaDelta算法。它的超參數可以通過`rho`來指定。
``` python
d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)
```
輸出:
```
loss: 0.242104, 0.047702 sec per epoch
```
:-: 
## 小結
* AdaDelta算法沒有學習率超參數,它通過使用有關自變量更新量平方的指數加權移動平均的項來替代RMSProp算法中的學習率。
## 參考文獻
[1] Zeiler, M. D. (2012). ADADELTA: an adaptive learning rate method. arXiv preprint arXiv:1212.5701.
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> 注:除代碼外本節與原書此節基本相同,[原書傳送門](https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adadelta.html)
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