# 7.8 Adam算法 Adam算法在RMSProp算法基礎上對小批量隨機梯度也做了指數加權移動平均 [1]。下面我們來介紹這個算法。 > 所以Adam算法可以看做是RMSProp算法與動量法的結合。 ## 7.8.1 算法 Adam算法使用了動量變量`$ \boldsymbol{v}_t $`和RMSProp算法中小批量隨機梯度按元素平方的指數加權移動平均變量`$ \boldsymbol{s}_t $`，并在時間步0將它們中每個元素初始化為0。給定超參數`$ 0 \leq \beta_1 < 1 $`（算法作者建議設為0.9），時間步 `$ t $`的動量變量`$ \boldsymbol{v}_t $`即小批量隨機梯度`$ \boldsymbol{g}_t $`的指數加權移動平均： ```[tex] \boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t. ``` 和RMSProp算法中一樣，給定超參數`$ 0 \leq \beta_2 < 1 $`（算法作者建議設為0.999）， 將小批量隨機梯度按元素平方后的項`$ \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t $`做指數加權移動平均得到`$ \boldsymbol{s}_t $`： ```[tex] \boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. ``` 由于我們將`$ \boldsymbol{v}_0 $` 和`$ \boldsymbol{s}_0 $`中的元素都初始化為0， 在時間步`$ t $`我們得到 `$ \boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i $`。將過去各時間步小批量隨機梯度的權值相加，得到 `$ (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t $`。需要注意的是，當 `$ t $`較小時，過去各時間步小批量隨機梯度權值之和會較小。例如，當`$ \beta_1 = 0.9 $`時，`$ \boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1 $`。為了消除這樣的影響，對于任意時間步`$ t $`，我們可以將`$ \boldsymbol{v}_t $`再除以`$ 1 - \beta_1^t $`，從而使過去各時間步小批量隨機梯度權值之和為1。這也叫作偏差修正。在Adam算法中，我們對變量`$ \boldsymbol{v}_t $`和`$ \boldsymbol{s}_t $`均作偏差修正： ```[tex] \hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t}, ``` ```[tex] \hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}. ``` 接下來，Adam算法使用以上偏差修正后的變量`$ \hat{\boldsymbol{v}}_t $`和`$ \hat{\boldsymbol{s}}_t $`，將模型參數中每個元素的學習率通過按元素運算重新調整： ```[tex] \boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon}, ``` 其中`$ \eta $`是學習率，`$ \epsilon $`是為了維持數值穩定性而添加的常數，如`$ 10^{-8} $`。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一樣，目標函數自變量中每個元素都分別擁有自己的學習率。最后，使用`$ \boldsymbol{g}_t' $`迭代自變量： ```[tex] \boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'. ``` ## 7.8.2 從零開始實現 我們按照Adam算法中的公式實現該算法。其中時間步`$ t $`通過`hyperparams`參數傳入`adam`函數。 ``` python %matplotlib inline import torch import sys sys.path.append("..") import d2lzh_pytorch as d2l features, labels = d2l.get_data_ch7() def init_adam_states(): v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) return ((v_w, s_w), (v_b, s_b)) def adam(params, states, hyperparams): beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6 for p, (v, s) in zip(params, states): v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2 v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t']) s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t']) p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps) hyperparams['t'] += 1 ``` 使用學習率為0.01的Adam算法來訓練模型。 ``` python d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels) ``` 輸出： ``` loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch ``` :-:  ## 7.8.3 簡潔實現 通過名稱為“adam”的`Trainer`實例，我們便可使用Gluon提供的Adam算法。 ``` python d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels) ``` 輸出： ``` loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch ``` :-:  ## 小結 * Adam算法在RMSProp算法的基礎上對小批量隨機梯度也做了指數加權移動平均。 * Adam算法使用了偏差修正。 ## 參考文獻 [1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980. ----------- > 注：除代碼外本節與原書此節基本相同，[原書傳送門](https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adam.html)