## Java編程那些事兒7——進制的概念 作者：陳躍峰 出自：[http://blog.csdn.net/mailbomb](http://blog.csdn.net/mailbomb) **1.2?進制的概念** 因為不可能為每個數值都創造一個符號，所以需要用基本數字組合出復合的數值，這樣就有了進制的概念。 其實所有進制都是人為的創造，都是用來計數方便的。現在最常用的進制是十進制，當然其它的進制也在使用中。例如“半斤八兩”這個成語，就反映了古代一斤等于十六兩的概念，也就是十六進制計數方式。 計算機編程中常用的進制有二進制、八進制、十進制和十六進制，十進制還是最主要的表達形式。在編程中，大家書寫的數值默認為十進制。 對于進制，有兩個最基本的概念：基數和運算規則。 **1.?基數** 基數指一種進制中組成的基本數字，也就是不能再拆分的數字。例如十進制是0-9，二進制是0和1，八進制是0-7，十六進制是0-9，A-F(大小寫均可)。或者可以簡單的這樣記憶，假設是n進制的話，基數就是[0,n-1]的數字，基數的個數和進制值相同，十進制有十個基數，依次類推。 **2.?運算規則** 運算規則就是進位或借位規則，這個類似于一般計算機書籍中位權的概念，例如對于十進制來說，該規則是“滿十進一，借一當十”，也就是低位的數字滿十了向高位進一，從高位借到的一，相當于低位上的十。其它的進制也是這樣，對于二進制來說，就是“滿二進一，借一當二”，八進制和十六進制也是這樣。 在數學上表示一個數字是幾進制，通常使用如下格式：[數值]進制數，例如[10]2 表示二進制數值10。 **1.2.1 二進制** 二進制是計算機內部數據表示的形式，所以學習計算機編程必須熟悉二進制。熟悉二進制有以下幾個用途： **1.?更容易理解計算機的數據存儲方式** 計算機內部的很多轉換，例如數據類型之間的強轉，都可以用二進制解釋最終的結果的值。 **2.?二進制的運算速度高** 二進制的運算速度比十進制高的多。例如求2的n次方，通過移位實現的效率比數學方法高效。 **3.?使用二進制數值進行數據存儲** 以二進制的形式存儲數值，一個是比較節約資源，可以使用二進制的位來存儲信息，例如常見的硬件控制信息，都是二進制的形式進行提供的。 如前所述，二進制包含0和1兩個基數，運算規則是“滿二進一，借一當二”，下面簡單的介紹一下二進制的計數方式。 例如十進制的0-9用二進制進行表達，則依次是： 0，1，10，11，100，101，110，111，1000，1001 說明：數值之間使用逗號進行間隔。 下面是二進制的一些基本運算結果： 1.?加法運算 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 2.?減法 0 – 0 = 0 0 – 1 = -1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 3.?乘法 0 × 0 = 0 0 × 1 = 0 1 × 0 = 0 1 × 1 = 1 4.?除法 0 / 0??? 無意義 0 / 1 = 0 1 / 0??? 無意義 1 / 1 = 1 以下是一些符合的表達式： 110 + 111 = 1101 這些基本的運算結構在實際開發中一般不會直接用到，但是通過這些內容可以加深對于二進制概念的理解。 **1.2.2 二進制和十進制之間的轉換** 由于計算機內部的數據是以二進制進行表達的，而十進制又是日常生活中最常用的進制，所以它們之間經常需要進行轉換。下面介紹一下轉換的方式。 **1.2.2.1 十進制轉換為二進制** 十進制整數轉換為二進制有三種方法，分別是除二取余、計算器轉換和經驗法。十進制小數的轉換方法最后做簡單的介紹。 1.除二取余法 除二取余法是轉換時的最基本方法，也是最通用的方法。規則為：使用十進制和2去除，取每次得到的商和余數，用商繼續和2相除，直到商為零為止，第一次得到的余數作為二進制的低位，最后一次得到的余數作為二進制的高位，由余數組成的數字就是轉換后二進制的值。例如十進制的13轉換為二進制的計算步驟如下： 商?????????? 余數 13?/?2?=?6??????????? 1 6?? /?2?=?3??????????? 0 3?? /?2?=?1??????????? 1 1?? /?2?=?0??????????? 1 則計算的最終結果就是1101。 2.計算器轉換 Windows操作系統中的計算器也可以很方便的實現進制之間的轉換。在程序菜單中附件子菜單中打開計算器，從打開的計算器的查看菜單中，選擇“科學型”，輸入你要轉換的十進制的數字，例如13，然后界面上數字顯示框西側的“二進制“，則轉換后的數值就直接顯示在計算器中。 3.經驗法 對于二進制熟悉以后，那么計算十進制對應的數字可以通過一些基本的數學變換來實現，在使用經驗法以前，必須熟記2的0-10次方對應的十進制的值，依次是： 1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024 則轉換一些特殊的數字時可以極大的提高轉換速度，例如數字65，則可以這樣轉換： 65 = 64 + 1 64對應的二進制形式為1000000 1對應的二進制形式為1 則65的二進制形式為1000001 這個只適合轉換一些特殊的數字，適應性沒有除二取余法廣泛。 十進制小數的轉換采用的一般方法是乘二取整法，規則為：對于小數部分先乘二，然后獲得運算結果的整數部分，然后將結果中的小數部分再次乘二，直到小數部分為零為止，則把第一次得到的整數部分作為二進制小數的高位，后續的整數部分作為地位就是轉換后得到的二進制小數。需要說明的是，有些十進制小數無法準確的用二進制進行表達，所以轉換時符合一定的精度即可，這也是為什么計算機的浮點數運算不準確的原因。 例如0.25轉換為二進制小數的步驟如下： 整數部分 0.25 × 2 = 0.5????? 0 0.5?× 2 = 1.0????? 1 則0.25轉換為二進制小數為0.01 如果一個十進制數字既有整數部分，也有小數部分，則分開進行轉換即可。 **1.2.2.2 二進制轉換為十進制** 二進制轉換為十進制采用的方法是：數字乘位權相加法。下面先以十進制為例來說明該方法，例如十進制數字345的值，5的位權是1，4的位權是10，3的位權是100，則有如下表達式成立：?345=5 × 1 + 4 × 10 + 3 × 100，這就是數字乘位權相加法的原理。 其實對于十進制整數的位權很有規則，從右向左第n位的位權是十的(n-1)方，例如個位是10(1-1)，十位是10(2-1),依次類推。那么二進制整數的位權規律和這個一致，也就是從右向左第n位的位權是二的(n-1)方。 例如二進制整數1011轉換為十進制的表達式為： [1011]2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 1 + 2 + 0 + 8=11 而對于二進制的小數，也是采用一樣的方法，只是二進制小數的位權規則為，小數點后第一位小數的位權是2的-1次方，第二位是2的-2次方，依次類推。 例如二進制小數0.1101轉換為十進制小數的表達式為 [0.1101]2=1 ×2-1 + 1 ×2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 = 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625=0.8125 同理，如果二進制包含整數和小數部分，則分開進行轉換即可。 **1.2.3 二進制和八進制、十六進制之間的轉換** 雖然二進制是計算機內部的數據表達形式，但是由于二進制基數太少，則導致數字比較長，為了簡化數字的書寫，就創建了八進制和十六進制。八進制和十六進制就是對二進制的簡化，所以二進制到八進制和十六進制的轉換非常簡單。 二進制整數轉換為八進制的方法是“三位一并“，也就是從右側開始，每3位二進制數字轉換為八進制的一位，依次類推，因為二進制的三位數字可以表達的區間是000-111，剛好和0-7重合。例如： 二進制的10111轉換為8進制為：最后三位111轉換為7，前面的數字10轉換為2，則轉換后得到的八進制數字為27。 二進制整數轉換為十六進制的方法是“四位一并“，例如10111轉換為十六進制是0111轉換為7，1轉換為1，則轉換后得到的十六進制數字是17。 二進制小數轉換為八進制的方法也是“三位一并“，只是轉換時從小數的高位開始，也就是小數的左側開始。例如0.10111轉換為八進制是101轉換為5，110轉換為6，則轉換得到的八進制小數為0.56。需要特別注意的是，小數最后如果不足三位，一定要在后續補零以后再進行轉換。 二進制小數轉換為十六進制的方法也是“四位一并”，只是轉換時從小數的高位開始。例如二進制小數0.10111轉換為十六進制小數為，1011轉換為b，1000轉換為8，則轉換后得到的十六進制是0.b8。 如果二進制數包含整數和小數部分，則分開進行轉換。