Maxima 對各種微積分的運算提供了強有力的支持。 可以這么說，在基本微積分運算能力上，Maxima 不輸給任何商業軟件。 ### 求極限 求極限是微積分中最基本的運算。在Maxima 中用 limit 函數完成求極限的工作。 limit (expr, x, val) ?計算 x 趨近于 val 時 expr 的極限。 如果極限不存在，范圍值可能為 und (極限不存在)，ind (極限不存在但是有界)，infinity(發散) limit (expr, x, val, dir) 計算 x 從 dir 方向趨近于 val 時 expr 的極限。 dir 為 plus 時求的是右極限，為 minus 時求的是左極限。 'limit(sin(x)/x,x,0); limit(sin(x)/x,x,0); 'limit((1+1/x)^x,x,inf); limit((1+1/x)^x,x,inf);  limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0); 'limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,minus); limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,minus); 'limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,plus); limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,plus);  'limit((2*x^2+x)/(x^2-2),x,inf); limit((2*x^2+x)/(x^2-2),x,inf);  ### 微分運算 diff 函數可以實現微分運算，有四種基本形式，最基本的形式是： diff (expr, x)? 求表達式 expr 對 x 的微分。 diff(sin(x)*x^3,x);  diff(u(x)*v(x),x); diff(u(x)*v,x);  從上面的例子可以看到，一個函數如果不明確表明自變量，diff 函數是不會對其求導的。 diff (expr, x, n) 求表達式 expr 對 x 的 n 次微分。 diff(y^3*exp(-y^2),y,2);  diff (expr, x_1, n_1, …, x_m, n_m)? 求的是混合偏導數。 diff(f(x,y),x,2,y,1);  diff (expr) 計算的是全微分。 diff(f(x,y));  ### taylor 級數展開 函數f(x)的在x = a附近的冪級數可以通過powerseries (f(x), x, a)獲得。 powerseries (f(x), x, a); powerseries(1/(1-x^2), x, 0);  上面得到的結果中的求和指數 i2 看起來顯得不那么專業，可以用 niceindices 函數將其變的看起來更專業些。 niceindices(powerseries(1/(1-x^2), x, 0));  很多時候我們無法得到級數的解析表示，這時候可以用 taylor (f(x), x, a, n)得到函數f(x)在x = a附近第 n 階項（(x - a)^n）以下各項的泰勒級數 taylor(sin(x), x, 0, 8);  同樣，對多元函數也可以進行 taylor 展開。 taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);  利用 pade 近似可以將 taylor 級數轉化為多項式函數。比如下面的例子 taylor(sin(x), x, 0, 8); pade(%,5,5);  ### 積分運算 integrate(expr, x) 計算不定積分。 integrate(expr, x, a, b) 計算定積分，積分上下限分別為 a b。 integrate(1/(1+x^2),x); integrate(1/(1+x^2),x, minf, inf);  risch (expr, x) 采用 Risch 方法計算不定積分。 risch (x^2*erf(x), x),ratsimp;  changevar 函數利用變量替換，對待積分函數進行換元。這個功能對學習換元法求積分還是蠻有用的。 'integrate(x^2/(1+x^2),x,0,2); changevar(%,x=tan(theta),theta,x);  ### 求和與求積運算 sum (expr, i, i_0, i_1) 計算求和。 product (expr, i, i_0, i_1) 計算求積。 ? sum (i^2, i, 1, 7); sum (a[i], i, 1, 7); sum(1/k^2,k,0,inf); sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;  product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4); product (a(i), i, 1, n); product (k, k, 1, n), simpproduct;  ### laplace 變換 Maxima 中提供了兩個函數用來計算 laplace 變換和反變換。 laplace (expr, t, s) 對表達式 expr 進行 laplace 變換，積分變量為 t，變換后的參數為 s. ilt (expr, s, t) 對表達式進行反變換。 需要說明的是這兩個函數進行的都是單邊 laplace 變換，Maxima 中還沒有對雙邊拉式變換的支持。 ? laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s); laplace ('diff (f (x), x), x, s); ilt(1/(s+1),s,t);  提到 laplace 變換就不能不提提部分分式展開。 在大多數介紹 laplace 變換的初級課本中都只介紹利用部分分式展開的方式進行反變換。 Maxima 提供了 partfrac 函數來完成部分分式展開的工作。下面用一個例子來說明： x/(x^3+4*x^2+5*x+2); partfrac (x/(x^3+4*x^2+5*x+2), x);