**什么是特征向量?** 一個向量在一個線性變換M后，仍留在它所在的直線上，這條直線上的所有向量都是特征向量。如下圖所示的黃色向量   在這個變換中,i帽也是特征向量  這個變換中，黃線和綠線上所有向量都是特征向量  **什么是特征值？** 特征向量被伸縮的比例就是特征值 特征值可以為負，意味著特征向量向反方向伸縮，沒有離開特征向量所在的直線 特征向量的用途，在3D旋轉中，特征向量所在的直線是立方體的旋轉軸，該特征向量的特征值必為1，因為只旋轉，沒有伸縮。  ***** 求出一個線性變換的特征向量和特征值，以能張成整個空間的特征向量組合為基向量，有助于我們更好的理解線性變換  ***** 根據特征向量的概念可知等式  ***** 一般已知變換矩陣A,求特征向量v和特征值 ***** 向量v的數乘可以看做，向量v擴大了倍，進行了基向量都擴大相同倍數的變換，如下圖等于向量v左乘一個對角矩陣。    經過變換，如下圖   ***** 如果v本身是零向量，上面等式恒成立，但這沒有什么意義。我們的目的是找非零特征向量 ***** 非零向量通過線性變換變為零向量，這個變換矩陣的行列式一定為0,矩陣將空間壓縮到更低的維度上導致的。行列式為零意味著該變換將基向量圍成的正方形面積或立方體體積為零。   ***** 對于下圖矩陣，入改變時，矩陣也在改變，變換后基向量圍成的面積也在改變，行列式在變。    ***** **過程**  ***** **對于給定矩陣求解特征值**   ***** **求解完特征值后求解特征向量**  將入=0代入矩陣中  將上圖矩陣相乘變為一個二元一次方程組求解，得y= -x。則y= -x直線上全是該矩陣變換的特征向量，特征值為2。 ***** 有的線性變換沒有特征向量，比如坐標系旋轉90度。所有向量都不在原來的直線上。 ***** 剪切變換的特征向量在x軸上  ***** **對角矩陣的特征向量**  ***** **特征基**  每個對角元是該基向量在所在直線上特征向量的特征值  *****   *****   *****    特征向量作為基向量進行線性變換，基向量只用進行伸縮或反向，不用旋轉。 **用特征向量作為基** 用A-1MA求出以特征向量為基向量的坐標系上的線性變換。    特征基對應于原坐標某個矩陣變換只是縮放基向量的變換 *****   ***** 算某個矩陣變換的100次冪，找到該矩陣的特征基，對特征基下的相同矩陣變換（對角矩陣）求100次冪，然后對對角矩陣100次冪的復合變換，左乘矩陣A(特征基矩陣)，變為原坐標系下的矩陣變換