# Bloom Filter ## 方法介紹 ### 一、什么是Bloom Filter Bloom Filter，被譯作稱布隆過濾器，是一種空間效率很高的隨機數據結構，Bloom filter可以看做是對bit-map的擴展,它的原理是： - 當一個元素被加入集合時，通過K個Hash函數將這個元素映射成一個位陣列（Bit array）中的K個點，把它們置為1**。檢索時，我們只要看看這些點是不是都是1就（大約）知道集合中有沒有它了： - 如果這些點有任何一個0，則被檢索元素一定不在； - 如果都是1，則被檢索元素很可能在。 其可以用來實現數據字典，進行數據的判重，或者集合求交集。 但Bloom Filter的這種高效是有一定代價的：在判斷一個元素是否屬于某個集合時，有可能會把不屬于這個集合的元素誤認為屬于這個集合（false positive）。因此，Bloom Filter不適合那些“零錯誤”的應用場合。而在能容忍低錯誤率的應用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了存儲空間的極大節省。 #### 1.1、集合表示和元素查詢 下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位數組表示集合的。初始狀態時，Bloom Filter是一個包含m位的位數組，每一位都置為0。  為了表達S={x₁, x₂,…,x_n}這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個相互獨立的哈希函數（Hash Function），它們分別將集合中的每個元素映射到{1,…,m}的范圍中。對任意一個元素x，第i個哈希函數映射的位置h_i(x)就會被置為1（1≤i≤k）。注意，如果一個位置多次被置為1，那么只有第一次會起作用，后面幾次將沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個哈希函數選中同一個位置（從左邊數第五位，即第二個“1“處）。  在判斷y是否屬于這個集合時，我們對y應用k次哈希函數，如果所有h_i(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我們就認為y是集合中的元素，否則就認為y不是集合中的元素。下圖中y₁就不是集合中的元素（因為y1有一處指向了“0”位）。y₂或者屬于這個集合，或者剛好是一個false positive。  #### 1.2、錯誤率估計 前面我們已經提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬于它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計錯誤率的大小。在估計之前為了簡化模型，我們假設kn<m且各個哈希函數是完全隨機的。當集合S={x₁, x₂,…,x_n}的所有元素都被k個哈希函數映射到m位的位數組中時，這個位數組中某一位還是0的概率是： ^{kn}\\approx e^{-kn/m}) 其中1/m表示任意一個哈希函數選中這一位的概率（前提是哈希函數是完全隨機的），(1-1/m)表示哈希一次沒有選中這一位的概率。要把S完全映射到位數組中，需要做kn次哈希。某一位還是0意味著kn次哈希都沒有選中它，因此這個概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是為了簡化運算，這里用到了計算e時常用的近似： ^{-x}=e) 令ρ為位數組中0的比例，則ρ的數學期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）為： ^k\\approx(1-p')^k\\approx(1-p)^k) (1-ρ)為位數組中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都剛好選中1的區域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經提到了，現在來看第一步近似。p’只是ρ的數學期望，在實際中ρ的值有可能偏離它的數學期望值。M. Mitzenmacher已經證明^[2] ，位數組中0的比例非常集中地分布在它的數學期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分別將p和p’代入上式中，得： ^{kn}\\right)^k=(1-p')^k) ^k=(1-p)^k) 相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更為方便。 #### 1.3、最優的哈希函數個數 既然Bloom Filter要靠多個哈希函數將集合映射到位數組中，那么應該選擇幾個哈希函數才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這里有兩個互斥的理由：如果哈希函數的個數多，那么在對一個不屬于集合的元素進行查詢時得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函數的個數少，那么位數組中的0就多。為了得到最優的哈希函數個數，我們需要根據上一小節中的錯誤率公式進行計算。 先用p和f進行計算。注意到f = exp(k ln(1 ? e^?kn/m))，我們令g = k ln(1 ? e^?kn/m)，只要讓g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e^-kn/m，我們可以將g寫成 \\ln(1-p)) 根據對稱性法則可以很容易看出當p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等于(1/2)^k≈ (0.6185)^m/n。另外，注意到p是位數組中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2對應著位數組中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位數組有一半還空著。 需要強調的一點是，p = 1/2時錯誤率最小這個結果并不依賴于近似值p和f。同樣對于f’ = exp(k ln(1 ? (1 ? 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 ? (1 ? 1/m)^kn)，p’ = (1 ? 1/m)^kn，我們可以將g’寫成 }\\ln(p')\\ln(1-p')) 同樣根據對稱性法則可以得到當p’ = 1/2時，g’取得最小值。 #### 1.4、位數組的大小 下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率為?，下面我們來求位數組的位數m。 假設X為全集中任取n個元素的集合，F(X)是表示X的位數組。那么對于集合X中任意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結果，即s能夠接受x。顯然，由于Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠? (u - n)個false positive。因此，對于一個確定的位數組來說，它能夠接受總共n + ? (u - n)個元素。在n + ? (u - n)個元素中，s真正表示的只有其中n個，所以一個確定的位數組可以表示 }^n) 個集合。m位的位數組共有2^m個不同的組合，進而可以推出，m位的位數組可以表示 }^n) 個集合。全集中n個元素的集合總共有  個，因此要讓m位的位數組能夠表示所有n個元素的集合，必須有 }^n\\geq C_{u}^n) 即： }^n}\\approx\\log_2\\frac{C_{u}^n}{C_{\\epsilon u}^n}\\geq\\log_2\\epsilon^{-n}=n\\log_2(1/\\epsilon)) 上式中的近似前提是n和?u相比很小，這也是實際情況中常常發生的。根據上式，我們得出結論：在錯誤率不大于?的情況下，m至少要等于n log₂(1/?)才能表示任意n個元素的集合。 上一小節中我們曾算出當k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)^k= (1/2)^{mln2 / n}。現在令f≤?，可以推出 }{\\ln 2}=n\\log_2\\log_2(1/\\epsilon)) 這個結果比前面我們算得的下界n log₂(1/?)大了log₂e≈ 1.44倍。這說明在哈希函數的個數取到最優時，要讓錯誤率不超過?，m至少需要取到最小值的1.44倍。 ## 問題實例 **1、給你A,B兩個文件，各存放50億條URL，每條URL占用64字節，內存限制是4G，讓你找出A,B文件共同的URL。如果是三個乃至n個文件呢？** **分析**：如果允許有一定的錯誤率，可以使用Bloom filter，4G內存大概可以表示340億bit。將其中一個文件中的url使用Bloom filter映射為這340億bit，然后挨個讀取另外一個文件的url，檢查是否與Bloom filter，如果是，那么該url應該是共同的url（注意會有一定的錯誤率）。”