# 7 -- The VC Dimension
前幾節課著重介紹了機器能夠學習的條件并做了詳細的推導和解釋。機器能夠學習必須滿足兩個條件：
* **假設空間H的Size M是有限的，即當N足夠大的時候，那么對于假設空間中任意一個假設g，**。
* **利用算法A從假設空間H中，挑選一個g，使，則**。
這兩個條件，正好對應著test和trian兩個過程。train的目的是使損失期望；test的目的是使將算法用到新的樣本時的損失期望也盡可能小，即。
正因為如此，上次課引入了break point，并推導出只要break point存在，則M有上界，一定存在。
本次筆記主要介紹VC Dimension的概念。同時也是總結VC Dimension與，，Model Complexity Penalty（下面會講到）的關系。
### **一、Definition of VC Dimension**
首先，我們知道如果一個假設空間H有break point k，那么它的成長函數是有界的，它的上界稱為Bound function。根據數學歸納法，Bound function也是有界的，且上界為。從下面的表格可以看出，比B(N,k)松弛很多。
則根據上一節課的推導，VC bound就可以轉換為：
這樣，不等式只與k和N相關了，一般情況下樣本N足夠大，所以我們只考慮k值。有如下結論：
* **若假設空間H有break point k，且N足夠大，則根據VC bound理論，算法有良好的泛化能力**
* **在假設空間中選擇一個矩g，使，則其在全集數據中的錯誤率會較低**
下面介紹一個新的名詞：VC Dimension。VC Dimension就是某假設集H能夠shatter的最多inputs的個數，即最大完全正確的分類能力。（注意，只要存在一種分布的inputs能夠正確分類也滿足）。
shatter的英文意思是“粉碎”，也就是說對于inputs的所有情況都能列舉出來。例如對N個輸入，如果能夠將種情況都列出來，則稱該N個輸入能夠被假設集H shatter。
根據之前break point的定義：假設集不能被shatter任何分布類型的inputs的最少個數。則VC Dimension等于break point的個數減一。
現在，我們回顧一下之前介紹的四種例子，它們對應的VC Dimension是多少：
用代替k，那么VC bound的問題也就轉換為與和N相關了。同時，如果一個假設集H的確定了，則就能滿足機器能夠學習的第一個條件，與算法、樣本數據分布和目標函數都沒有關系。
### **二、VC Dimension of Perceptrons**
回顧一下我們之前介紹的2D下的PLA算法，已知Perceptrons的k=4，即。根據VC Bound理論，當N足夠大的時候，。如果找到一個g，使，那么就能證明PLA是可以學習的。
這是在2D情況下，那如果是多維的Perceptron，它對應的又等于多少呢？
已知在1D Perceptron，，在2D Perceptrons，，那么我們有如下假設：，其中d為維數。
要證明的話，只需分兩步證明：
* 
* 
首先證明第一個不等式：。
在d維里，我們只要找到某一類的d+1個inputs可以被shatter的話，那么必然得到。所以，我們有意構造一個d維的矩陣能夠被shatter就行。是d維的，有d+1個inputs，每個inputs加上第零個維度的常數項1，得到的矩陣：
矩陣中，每一行代表一個inputs，每個inputs是d+1維的，共有d+1個inputs。這里構造的很明顯是可逆的。shatter的本質是假設空間H對的所有情況的判斷都是對的，即總能找到權重W，滿足，。由于這里我們構造的矩陣的逆矩陣存在，那么d維的所有inputs都能被shatter，也就證明了第一個不等式。
然后證明第二個不等式：。
在d維里，如果對于任何的d+2個inputs，一定不能被shatter，則不等式成立。我們構造一個任意的矩陣，其包含d+2個inputs，該矩陣有d+1列，d+2行。這d+2個向量的某一列一定可以被另外d+1個向量線性表示，例如對于向量，可表示為：
其中，假設，.
那么如果是正類，均為負類，則存在，得到如下表達式：
<font color="#0000ff"></font>+<font color="#ff0000"></font>++<font color="#ff0000"></font>
因為其中藍色項大于0，代表正類；紅色項小于0，代表負類。所有對于這種情況，一定是正類，無法得到負類的情況。也就是說，d+2個inputs無法被shatter。證明完畢！
綜上證明可得。
### **三、Physical Intuition VC Dimension**
上節公式中又名features，即自由度。自由度是可以任意調節的，如同上圖中的旋鈕一樣，可以調節。VC Dimension代表了假設空間的分類能力，即反映了H的自由度，產生dichotomy的數量，也就等于features的個數，但也不是絕對的。
例如，對2D Perceptrons，線性分類，，則，也就是說只要3個features就可以進行學習，自由度為3。
介紹到這，我們發現M與是成正比的，從而得到如下結論：
### **四、Interpreting VC Dimension**
下面，我們將更深入地探討VC Dimension的意義。首先，把VC Bound重新寫到這里：
根據之前的泛化不等式，如果，即出現bad壞的情況的概率最大不超過。那么反過來，對于good好的情況發生的概率最小為，則對上述不等式進行重新推導：
表現了假設空間H的泛化能力，越小，泛化能力越大。
至此，已經推導出泛化誤差的邊界，因為我們更關心其上界（可能的最大值），即：
上述不等式的右邊第二項稱為模型復雜度，其模型復雜度與樣本數量N、假設空間H()、有關。由共同決定。下面繪出、model complexity、隨變化的關系：
通過該圖可以得出如下結論：
* **越大，越小，越大（復雜）**。
* **越小，越大，越小（簡單）**。
* **隨著增大，會先減小再增大**。
所以，為了得到最小的，不能一味地增大以減小，因為太小的時候，模型復雜度會增加，造成變大。也就是說，選擇合適的，選擇的features個數要合適。
下面介紹一個概念：樣本復雜度（Sample Complexity）。如果選定，樣本數據D選擇多少合適呢？通過下面一個例子可以幫助我們理解：
通過計算得到N=29300，剛好滿足的條件。N大約是的10000倍。這個數值太大了，實際中往往不需要這么多的樣本數量，大概只需要的10倍就夠了。N的理論值之所以這么大是因為VC Bound 過于寬松了，我們得到的是一個比實際大得多的上界。
值得一提的是，VC Bound是比較寬松的，而如何收緊它卻不是那么容易，這也是機器學習的一大難題。但是，令人欣慰的一點是，VC Bound基本上對所有模型的寬松程度是基本一致的，所以，不同模型之間還是可以橫向比較。從而，VC Bound寬松對機器學習的可行性還是沒有太大影響。
### **五、總結**
本節課主要介紹了VC Dimension的概念就是最大的non-break point。然后，我們得到了Perceptrons在d維度下的VC Dimension是d+1。接著，我們在物理意義上，將與自由度聯系起來。最終得出結論不能過大也不能過小。選取合適的值，才能讓足夠小，使假設空間H具有良好的泛化能力。
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文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程
- 臺灣大學林軒田機器學習筆記
- 機器學習基石
- 1 -- The Learning Problem
- 2 -- Learning to Answer Yes/No
- 3 -- Types of Learning
- 4 -- Feasibility of Learning
- 5 -- Training versus Testing
- 6 -- Theory of Generalization
- 7 -- The VC Dimension
- 8 -- Noise and Error
- 9 -- Linear Regression
- 10 -- Logistic Regression
- 11 -- Linear Models for Classification
- 12 -- Nonlinear Transformation
- 13 -- Hazard of Overfitting
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- 機器學習技法
- 1 -- Linear Support Vector Machine
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- 14 -- Radial Basis Function Network
- 15 -- Matrix Factorization
- 16（完結） -- Finale