# 10 -- Random Forest 上節課我們主要介紹了Decision Tree模型。Decision Tree算法的核心是通過遞歸的方式，將數據集不斷進行切割，得到子分支，最終形成數的結構。C&RT算法是決策樹比較簡單和常用的一種算法，其切割的標準是根據純度來進行，每次切割都是為了讓分支內部純度最大。最終，決策樹不同的分支得到不同的（即樹的葉子，C&RT算法中，是常數）。本節課將介紹隨機森林（Random Forest）算法，它是我們之前介紹的Bagging和上節課介紹的Decision Tree的結合。 ### **Random Forest Algorithm** 首先我們來復習一下之前介紹過的兩個機器學習模型：Bagging和Decision Tree。Bagging是通過bootstrap的方式，從原始的數據集D中得到新的；然后再使用一些base algorithm對每個都得到相應的；最后將所有的通過投票uniform的形式組合成一個G，G即為我們最終得到的模型。Decision Tree是通過遞歸形式，利用分支條件，將原始數據集D切割成一個個子樹結構，長成一棵完整的樹形結構。Decision Tree最終得到的G(x)是由相應的分支條件b(x)和分支樹遞歸組成。  Bagging和Decison Tree算法各自有一個很重要的特點。Bagging具有減少不同的方差variance的特點。這是因為Bagging采用投票的形式，將所有uniform結合起來，起到了求平均的作用，從而降低variance。而Decision Tree具有增大不同的方差variance的特點。這是因為Decision Tree每次切割的方式不同，而且分支包含的樣本數在逐漸減少，所以它對不同的資料D會比較敏感一些，從而不同的D會得到比較大的variance。 所以說，Bagging能減小variance，而Decision Tree能增大variance。如果把兩者結合起來，能否發揮各自的優勢，起到優勢互補的作用呢？這就是我們接下來將要討論的aggregation of aggregation，即使用Bagging的方式把眾多的Decision Tree進行uniform結合起來。這種算法就叫做隨機森林（Random Forest），它將完全長成的C&RT決策樹通過bagging的形式結合起來，最終得到一個龐大的決策模型。  Random Forest算法流程圖如下所示：  Random Forest算法的優點主要有三個。第一，不同決策樹可以由不同主機并行訓練生成，效率很高；第二，隨機森林算法繼承了C&RT的優點；第三，將所有的決策樹通過bagging的形式結合起來，避免了單個決策樹造成過擬合的問題。  以上是基本的Random Forest算法，我們再來看一下如何讓Random Forest中決策樹的結構更有多樣性。Bagging中，通過bootstrap的方法得到不同于D的D’，使用這些隨機抽取的資料得到不同的。除了隨機抽取資料獲得不同的方式之外，還有另外一種方法，就是隨機抽取一部分特征。例如，原來有100個特征，現在只從中隨機選取30個來構成決策樹，那么每一輪得到的樹都由不同的30個特征構成，每棵樹都不一樣。假設原來樣本維度是d，則只選擇其中的d’（d’小于d）個維度來建立決策樹結構。這類似是一種從d維到d’維的特征轉換，相當于是從高維到低維的投影，也就是說d’維z空間其實就是d維x空間的一個隨機子空間（subspace）。通常情況下，d’遠小于d，從而保證算法更有效率。Random Forest算法的作者建議在構建C&RT每個分支b(x)的時候，都可以重新選擇子特征來訓練，從而得到更具有多樣性的決策樹。  所以說，這種增強的Random Forest算法增加了random-subspace。  上面我們講的是隨機抽取特征，除此之外，還可以將現有的特征x，通過數組p進行線性組合，來保持多樣性：  這種方法使每次分支得到的不再是單一的子特征集合，而是子特征的線性組合（權重不為1）。好比在二維平面上不止得到水平線和垂直線，也能得到各種斜線。這種做法使子特征選擇更加多樣性。值得注意的是，不同分支i下的是不同的，而且向量中大部分元素為零，因為我們選擇的只是一部分特征，這是一種低維映射。  所以，這里的Random Forest算法又有增強，由原來的random-subspace變成了random-combination。順便提一下，這里的random-combination類似于perceptron模型。  ### **Out-Of-Bag Estimate** 上一部分我們已經介紹了Random Forest算法，而Random Forest算法重要的一點就是Bagging。接下來將繼續探討bagging中的bootstrap機制到底蘊含了哪些可以為我們所用的東西。 通過bootstrap得到新的樣本集D’，再由D’訓練不同的。我們知道D’中包含了原樣本集D中的一些樣本，但也有些樣本沒有涵蓋進去。如下表所示，不同的下，紅色的_表示在中沒有這些樣本。例如對來說，和沒有包含進去，對來說，和沒有包含進去，等等。每個中，紅色_表示的樣本被稱為out-of-bag(OOB) example。  首先，我們來計算OOB樣本到底有多少。假設bootstrap的數量N’=N，那么某個樣本是OOB的概率是：  其中，e是自然對數，N是原樣本集的數量。由上述推導可得，每個中，OOB數目大約是，即大約有三分之一的樣本沒有在bootstrap中被抽到。 然后，我們將OOB與之前介紹的Validation進行對比：  在Validation表格中，藍色的用來得到不同的，而紅色的用來驗證各自的。與沒有交集，一般是的數倍關系。再看左邊的OOB表格，之前我們也介紹過，藍色的部分用來得到不同的，而紅色的部分是OOB樣本。而我們剛剛也推導過，紅色部分大約占N的。通過兩個表格的比較，我們發現OOB樣本類似于，那么是否能使用OOB樣本來驗證的好壞呢？答案是肯定的。但是，通常我們并不需要對單個進行驗證。因為我們更關心的是由許多組合成的G，即使表現不太好，只要G表現足夠好就行了。那么問題就轉化成了如何使用OOB來驗證G的好壞。方法是先看每一個樣本是哪些的OOB資料，然后計算其在這些上的表現，最后將所有樣本的表現求平均即可。例如，樣本是，，的OOB，則可以計算在上的表現為：  這種做法我們并不陌生，就像是我們之前介紹過的Leave-One-Out Cross Validation，每次只對一個樣本進行的驗證一樣，只不過這里選擇的是每個樣本是哪些的OOB，然后再分別進行的驗證。每個樣本都當成驗證資料一次（與留一法相同），最后計算所有樣本的平均表現：  估算的就是G的表現好壞。我們把稱為bagging或者Random Forest的self-validation。 這種self-validation相比于validation來說還有一個優點就是它不需要重復訓練。如下圖左邊所示，在通過選擇到表現最好的之后，還需要在和組成的所有樣本集D上重新對該模型訓練一次，以得到最終的模型系數。但是self-validation在調整隨機森林算法相關系數并得到最小的之后，就完成了整個模型的建立，無需重新訓練模型。隨機森林算法中，self-validation在衡量G的表現上通常相當準確。  ### **Feature Selection** 如果樣本資料特征過多，假如有10000個特征，而我們只想從中選取300個特征，這時候就需要舍棄部分特征。通常來說，需要移除的特征分為兩類：一類是冗余特征，即特征出現重復，例如“年齡”和“生日”；另一類是不相關特征，例如疾病預測的時候引入的“保險狀況”。這種從d維特征到d’維特征的subset-transform 稱為Feature Selection，最終使用這些d’維的特征進行模型訓練。  特征選擇的優點是： * **提高效率，特征越少，模型越簡單** * **正則化，防止特征過多出現過擬合** * **去除無關特征，保留相關性大的特征，解釋性強** 同時，特征選擇的缺點是： * **篩選特征的計算量較大** * **不同特征組合，也容易發生過擬合** * **容易選到無關特征，解釋性差**  值得一提的是，在decision tree中，我們使用的decision stump切割方式也是一種feature selection。 那么，如何對許多維特征進行篩選呢？我們可以通過計算出每個特征的重要性（即權重），然后再根據重要性的排序進行選擇即可。  這種方法在線性模型中比較容易計算。因為線性模型的score是由每個特征經過加權求和而得到的，而加權系數的絕對值正好代表了對應特征的重要性為多少。越大，表示對應特征越重要，則該特征應該被選擇。w的值可以通過對已有的數據集建立線性模型而得到。  然而，對于非線性模型來說，因為不同特征可能是非線性交叉在一起的，所以計算每個特征的重要性就變得比較復雜和困難。例如，Random Forest就是一個非線性模型，接下來，我們將討論如何在RF下進行特征選擇。 RF中，特征選擇的核心思想是random test。random test的做法是對于某個特征，如果用另外一個隨機值替代它之后的表現比之前更差，則表明該特征比較重要，所占的權重應該較大，不能用一個隨機值替代。相反，如果隨機值替代后的表現沒有太大差別，則表明該特征不那么重要，可有可無。所以，通過比較某特征被隨機值替代前后的表現，就能推斷出該特征的權重和重要性。 那么random test中的隨機值如何選擇呢？通常有兩種方法：一是使用uniform或者gaussian抽取隨機值替換原特征；一是通過permutation的方式將原來的所有N個樣本的第i個特征值重新打亂分布（相當于重新洗牌）。比較而言，第二種方法更加科學，保證了特征替代值與原特征的分布是近似的（只是重新洗牌而已）。這種方法叫做permutation test（隨機排序測試），即在計算第i個特征的重要性的時候，將N個樣本的第i個特征重新洗牌，然后比較D和表現的差異性。如果差異很大，則表明第i個特征是重要的。  知道了permutation test的原理后，接下來要考慮的問題是如何衡量上圖中的performance，即替換前后的表現。顯然，我們前面介紹過performance可以用來衡量。但是，對于N個樣本的第i個特征值重新洗牌重置的，要對它進行重新訓練，而且每個特征都要重復訓練，然后再與原D的表現進行比較，過程非常繁瑣。為了簡化運算，RF的作者提出了一種方法，就是把permutation的操作從原來的training上移到了OOB validation上去，記為。也就是說，在訓練的時候仍然使用D，但是在OOB驗證的時候，將所有的OOB樣本的第i個特征重新洗牌，驗證G的表現。這種做法大大簡化了計算復雜度，在RF的feature selection中應用廣泛。  ### **Random Forest in Action** 最后，我們通過實際的例子來看一下RF的特點。首先，仍然是一個二元分類的例子。如下圖所示，左邊是一個C&RT樹沒有使用bootstrap得到的模型分類效果，其中不同特征之間進行了隨機組合，所以有斜線作為分類線；中間是由bootstrap（N’=N/2）后生成的一棵決策樹組成的隨機森林，圖中加粗的點表示被bootstrap選中的點；右邊是將一棵決策樹進行bagging后的分類模型，效果與中間圖是一樣的，都是一棵樹。  當t=100，即選擇了100棵樹時，中間的模型是第100棵決策樹構成的，還是只有一棵樹；右邊的模型是由100棵決策樹bagging起來的，如下圖所示：  當t=200時：  當t=300時：  當t=400時：  當t=500時：  當t=600時：  當t=700時：  當t=800時：  當t=900時：  當t=1000時：  隨著樹木個數的增加，我們發現，分界線越來越光滑而且得到了large-margin-like boundary，類似于SVM一樣的效果。也就是說，樹木越多，分類器的置信區間越大。 然后，我們再來看一個比較復雜的例子，二維平面上分布著許多離散點，分界線形如sin函數。當只有一棵樹的時候（t=1），下圖左邊表示單一樹組成的RF，右邊表示所有樹bagging組合起來構成的RF。因為只有一棵樹，所以左右兩邊效果一致。  當t=6時：  當t=11時：  當t=16時：  當t=21時：  可以看到，當RF由21棵樹構成的時候，分界線就比較平滑了，而且它的邊界比單一樹構成的RF要robust得多，更加平滑和穩定。 最后，基于上面的例子，再讓問題復雜一點：在平面上添加一些隨機噪聲。當t=1時，如下圖所示：  當t=6時：  當t=11時：  當t=16時：  當t=21時：  從上圖中，我們發現21棵樹的時候，隨機noise的影響基本上能夠修正和消除。這種bagging投票的機制能夠保證較好的降噪性，從而得到比較穩定的結果。 經過以上三個例子，我們發現RF中，樹的個數越多，模型越穩定越能表現得好。在實際應用中，應該盡可能選擇更多的樹。值得一提的是，RF的表現同時也與random seed有關，即隨機的初始值也會影響RF的表現。  ### **總結：** 本節課主要介紹了Random Forest算法模型。RF將bagging與decision tree結合起來，通過把眾多的決策樹組進行組合，構成森林的形式，利用投票機制讓G表現最佳，分類模型更穩定。其中為了讓decision tree的隨機性更強一些，可以采用randomly projected subspaces操作，即將不同的features線性組合起來，從而進行各式各樣的切割。同時，我們也介紹了可以使用OOB樣本來進行self-validation，然后可以使用self-validation來對每個特征進行permutaion test，得到不同特征的重要性，從而進行feature selection。總的來說，RF算法能夠得到比較平滑的邊界，穩定性強，前提是有足夠多的樹。 **_注明：_** 文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程