# 11 -- Linear Models for Classification 上一節課，我們介紹了Logistic Regression問題，建立cross-entropy error，并提出使用梯度下降算法gradient descnt來獲得最好的logistic hypothesis。本節課繼續介紹使用線性模型來解決分類問題。 ### **一、Linear Models for Binary Classification** 之前介紹幾種線性模型都有一個共同點，就是都有樣本特征x的加權運算，我們引入一個線性得分函數s： 三種線性模型，第一種是linear classification。線性分類模型的hypothesis為,取值范圍為{-1,+1}兩個值，它的err是0/1的，所以對應的是離散的，并不好解，這是個NP-hard問題。第二種是linear regression。線性回歸模型的hypothesis為，取值范圍為整個實數空間，它的err是squared的，所以對應的是開口向上的二次曲線，其解是closed-form的，直接用線性最小二乘法求解即可。第三種是logistic regression。邏輯回歸模型的hypothesis為，取值范圍為(-1,1)之間，它的err是cross-entropy的，所有對應的是平滑的凸函數，可以使用梯度下降算法求最小值。  從上圖中，我們發現，linear regression和logistic regression的error function都有最小解。那么可不可以用這兩種方法來求解linear classification問題呢？下面，我們來對這三種模型的error function進行分析，看看它們之間有什么聯系。 對于linear classification，它的error function可以寫成： 對于linear regression，它的error function可以寫成： 對于logistic regression，它的error function可以寫成： 上述三種模型的error function都引入了ys變量，那么ys的物理意義是什么？ys就是指分類的正確率得分，其值越大越好，得分越高。  下面，我們用圖形化的方式來解釋三種模型的error function到底有什么關系：  從上圖中可以看出，ys是橫坐標軸，是呈階梯狀的，在ys>0時，恒取最小值0。呈拋物線形式，在ys=1時，取得最小值，且在ys=1左右很小區域內，和近似。是呈指數下降的單調函數，ys越大，其值越小。同樣在ys=1左右很小區域內，和近似。但是我們發現并不是始終在之上，所以為了計算討論方便，我們把做幅值上的調整，引入，這樣能保證始終在上面，如下圖所示：  由上圖可以看出： 那么由VC理論可以知道： 從0/1出發： 從CE出發：  通過上面的分析，我們看到err 0/1是被限定在一個上界中。這個上界是由logistic regression模型的error function決定的。而linear regression其實也是linear classification的一個upper bound，只是隨著sy偏離1的位置越來越遠，linear regression的error function偏差越來越大。綜上所述，linear regression和logistic regression都可以用來解決linear classification的問題。 下圖列舉了PLA、linear regression、logistic regression模型用來解linear classification問題的優點和缺點。通常，我們使用linear regression來獲得初始化的，再用logistic regression模型進行最優化解。  ### **二、Stochastic Gradient Descent** 之前介紹的PLA算法和logistic regression算法，都是用到了迭代操作。PLA每次迭代只會更新一個點，它每次迭代的時間復雜度是O(1)；而logistic regression每次迭代要對所有N個點都進行計算，它的每時間復雜度是O(N)。為了提高logistic regression中gradient descent算法的速度，可以使用另一種算法：隨機梯度下降算法(Stochastic Gradient Descent)。 隨機梯度下降算法每次迭代只找到一個點，計算該點的梯度，作為我們下一步更新w的依據。這樣就保證了每次迭代的計算量大大減小，我們可以把整體的梯度看成這個隨機過程的一個期望值。  隨機梯度下降可以看成是真實的梯度加上均值為零的隨機噪聲方向。單次迭代看，好像會對每一步找到正確梯度方向有影響，但是整體期望值上看，與真實梯度的方向沒有差太多，同樣能找到最小值位置。隨機梯度下降的優點是減少計算量，提高運算速度，而且便于online學習；缺點是不夠穩定，每次迭代并不能保證按照正確的方向前進，而且達到最小值需要迭代的次數比梯度下降算法一般要多。  對于logistic regression的SGD，它的表達式為： 我們發現，SGD與PLA的迭代公式有類似的地方，如下圖所示：  我們把SGD logistic regression稱之為’soft’ PLA，因為PLA只對分類錯誤的點進行修正，而SGD logistic regression每次迭代都會進行或多或少的修正。另外，當，且足夠大的時候，PLA近似等于SGD。  除此之外，還有兩點需要說明：1、SGD的終止迭代條件。沒有統一的終止條件，一般讓迭代次數足夠多；2、學習速率。的取值是根據實際情況來定的，一般取值0.1就可以了。 ### **三、Multiclass via Logistic Regression** 之前我們一直講的都是二分類問題，本節主要介紹多分類問題，通過linear classification來解決。假設平面上有四個類，分別是正方形、菱形、三角形和星形，如何進行分類模型的訓練呢？ 首先我們可以想到這樣一個辦法，就是先把正方形作為正類，其他三種形狀都是負類，即把它當成一個二分類問題，通過linear classification模型進行訓練，得出平面上某個圖形是不是正方形，且只有{-1,+1}兩種情況。然后再分別以菱形、三角形、星形為正類，進行二元分類。這樣進行四次二分類之后，就完成了這個多分類問題。  但是，這樣的二分類會帶來一些問題，因為我們只用{-1，+1}兩個值來標記，那么平面上某些可能某些區域都被上述四次二分類模型判斷為負類，即不屬于四類中的任何一類；也可能會出現某些區域同時被兩個類甚至多個類同時判斷為正類，比如某個區域又判定為正方形又判定為菱形。那么對于這種情況，我們就無法進行多類別的準確判斷，所以對于多類別，簡單的binary classification不能解決問題。 針對這種問題，我們可以使用另外一種方法來解決：soft軟性分類，即不用{-1，+1}這種binary classification，而是使用logistic regression，計算某點屬于某類的概率、可能性，去概率最大的值為那一類就好。 soft classification的處理過程和之前類似，同樣是分別令某類為正，其他三類為負，不同的是得到的是概率值，而不是{-1，+1}。最后得到某點分別屬于四類的概率，取最大概率對應的哪一個類別就好。效果如下圖所示：  這種多分類的處理方式，我們稱之為One-Versus-All(OVA) Decomposition。這種方法的優點是簡單高效，可以使用logistic regression模型來解決；缺點是如果數據類別很多時，那么每次二分類問題中，正類和負類的數量差別就很大，數據不平衡unbalanced，這樣會影響分類效果。但是，OVA還是非常常用的一種多分類算法。  ### **四、Multiclass via Binary Classification** 上一節，我們介紹了多分類算法OVA，但是這種方法存在一個問題，就是當類別k很多的時候，造成正負類數據unbalanced，會影響分類效果，表現不好。現在，我們介紹另一種方法來解決當k很大時，OVA帶來的問題。 這種方法呢，每次只取兩類進行binary classification，取值為{-1，+1}。假如k=4，那么總共需要進行次binary classification。那么，六次分類之后，如果平面有個點，有三個分類器判斷它是正方形，一個分類器判斷是菱形，另外兩個判斷是三角形，那么取最多的那個，即判斷它屬于正方形，我們的分類就完成了。這種形式就如同k個足球對進行單循環的比賽，每場比賽都有一個隊贏，一個隊輸，贏了得1分，輸了得0分。那么總共進行了次的比賽，最終取得分最高的那個隊就可以了。  這種區別于OVA的多分類方法叫做One-Versus-One(OVO)。這種方法的優點是更加高效，因為雖然需要進行的分類次數增加了，但是每次只需要進行兩個類別的比較，也就是說單次分類的數量減少了。而且一般不會出現數據unbalanced的情況。缺點是需要分類的次數多，時間復雜度和空間復雜度可能都比較高。  ### **五、總結** 本節課主要介紹了分類問題的三種線性模型：linear classification、linear regression和logistic regression。首先介紹了這三種linear models都可以來做binary classification。然后介紹了比梯度下降算法更加高效的SGD算法來進行logistic regression分析。最后講解了兩種多分類方法，一種是OVA，另一種是OVO。這兩種方法各有優缺點，當類別數量k不多的時候，建議選擇OVA，以減少分類次數。 **_注明：_** 文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程