# 15 -- Matrix Factorization 上節課我們主要介紹了Radial Basis Function Network。它的原理就是基于距離相似性（distance-based similarities）的線性組合（linear aggregation）。我們使用k-Means clustering算法找出具有代表性的k個中心點，然后再計算與這些中心點的distance similarity，最后應用到RBF Network中去。 ### **LinearNetwork Hypothesis** 回顧一下，我們在機器學習基石課程的第一節課就提到過，機器學習的目的就是讓機器從數據data中學習到某種能力skill。我們之前舉過一個典型的推薦系統的例子。就是說，假如我們手上有許多不同用戶對不同電影的排名rank，通過機器學習，訓練一個模型，能夠對用戶沒有看過的某部電影進行排名預測。  一個典型的電影推薦系統的例子是2006年Netflix舉辦的一次比賽。數據包含了480189個用戶和17770部電影，總共1億多個排名信息。該推薦系統模型中，我們用表示第n個用戶，這是一個抽象的特征，常常使用數字編號來代替具體哪個用戶。輸出方面，我們使用表示第n個用戶對第m部電影的排名數值。  下面我們來進一步看看這些抽象的特征，是用戶的ID，通常用數字表示。例如1126,5566,6211等。這些編號并沒有數值大小上的意義，只是一種ID標識而已。這類特征被稱為類別特征（categorical features）。常見的categorical features包括：IDs，blood type，programming languages等等。而許多機器學習模型中使用的大部分都是數值特征（numerical features）。例如linear models，NNet模型等。但決策樹（decision tree）是個例外，它可以使用categorical features。所以說，如果要建立一個類似推薦系統的機器學習模型，就要把用戶ID這種categorical features轉換為numerical features。這種特征轉換其實就是訓練模型之前一個編碼（encoding）的過程。  一種最簡單的encoding方式就是binary vector encoding。也就是說，如果輸入樣本有N個，就構造一個維度為N的向量。第n個樣本對應向量上第n個元素為1，其它元素都是0。下圖就是一個binary vector encoding的例子。  經過encoding之后，輸入是N維的binary vector，表示第n個用戶。輸出是M維的向量，表示該用戶對M部電影的排名數值大小。注意，用戶不一定對所有M部電影都作過評價，未評價的恰恰是我們要預測的（下圖中問號？表示未評價的電影）。  總共有N個用戶，M部電影。對于這樣的數據，我們需要掌握每個用戶對不同電影的喜愛程度及排名。這其實就是一個特征提取（feature extraction）的過程，提取出每個用戶喜愛的電影風格及每部電影屬于哪種風格，從而建立這樣的推薦系統模型。可供選擇使用的方法和模型很多，這里，我們使用的是NNet模型。NNet模型中的網絡結構是型，其中N是輸入層樣本個數，是隱藏層神經元個數，M是輸出層電影個數。該NNet為了簡化計算，忽略了常數項。當然可以選擇加上常數項，得到較復雜一些的模型。順便提一下，這個結構跟我們之前介紹的autoencoder非常類似，都是只有一個隱藏層。  說到這里，有一個問題，就是上圖NNet中隱藏層的tanh函數是否一定需要呢？答案是不需要。因為輸入向量x是經過encoding得到的，其中大部分元素為0，只有一個元素為1。那么，只有一個元素與相應權重的乘積進入到隱藏層。由于，則相當于只有一個權重值進入到tanh函數進行運算。從效果上來說，tanh(x)與x是無差別的，只是單純經過一個函數的計算，并不影響最終的結果，修改權重值即可得到同樣的效果。因此，我們把隱藏層的tanh函數替換成一個線性函數y=x，得到下圖所示的結構。  由于中間隱藏層的轉換函數是線性的，我們把這種結構稱為Linear Network（與linear autoencoder比較相似）。看一下上圖這個網絡結構，輸入層到隱藏層的權重維度是Nx，用向量表示。隱藏層到輸出層的權重維度是xM，用矩陣W表示。把權重由矩陣表示之后，Linear Network的hypothesis 可表示為：  如果是單個用戶，由于X向量中只有元素為1，其它均為0，則對應矩陣V只有第n列向量是有效的，其輸出hypothesis為：   ### **Basic Matrix Factorization** 剛剛我們已經介紹了linear network的模型和hypothesis。其中Vx可以看作是對用戶x的一種特征轉換。對于單部電影，其預測的排名可表示為：   推導完linear network模型之后，對于每組樣本數據（即第n個用戶第m部電影），我們希望預測的排名與實際樣本排名盡可能接近。所有樣本綜合起來，我們使用squared error measure的方式來定義，的表達式如下所示：  上式中，灰色的部分是常數，并不影響最小化求解，所以可以忽略。接下來，我們就要求出最小化時對應的V和W解。 我們的目標是讓真實排名與預測排名盡可能一致，即。把這種近似關系寫成矩陣的形式：。矩陣R表示所有不同用戶不同電影的排名情況，維度是NxM。這種用矩陣的方式進行處理的方法叫做Matrix Factorization。  上面的表格說明了我們希望將實際排名情況R分解成兩個矩陣（V和W）的乘積形式。V的維度是xN的，N是用戶個數，可以是影片類型，例如（喜劇片，愛情片，懸疑片，動作片，…）。根據用戶喜歡的類型不同，賦予不同的權重。W的維度是xM，M是電影數目，同樣是影片類型，該部電影屬于哪一類型就在那個類型上占比較大的權重。當然，維特征不一定就是影片類型，還可以是其它特征，例如明顯陣容、年代等等。  那么，Matrix Factorization的目標就是最小化函數。表達式如下所示：  中包含了兩組待優化的參數，分別是和。我們可以借鑒上節課中k-Means的做法，將其中第一個參數固定，優化第二個參數，然后再固定第二個參數，優化第一個參數，一步一步進行優化。 當固定的時候，只需要對每部電影做linear regression即可，優化得到每部電影的維特征值。 當固定的時候，因為V和W結構上是對稱的，同樣只需要對每個用戶做linear regression即可，優化得到每個用戶對維電影特征的喜愛程度。  這種算法叫做alternating least squares algorithm。它的處理思想與k-Means算法相同，其算法流程圖如下所示：  alternating least squares algorithm有兩點需要注意。第一是initialize問題，通常會隨機選取和。第二是converge問題，由于每次迭代更新都能減小，會趨向于0，則保證了算法的收斂性。  在上面的分析中，我們提過Matrix Factorization與Linear Autoencoder的相似性，下圖列出了二者之間的比較。  Matrix Factorization與Linear Autoencoder有很強的相似性，都可以從原始資料匯總提取有用的特征。其實，linear autoencoder可以看成是matrix factorization的一種特殊形式。 ### **Stochastic Gradient Descent** 我們剛剛介紹了alternating least squares algorithm來解決Matrix Factorization的問題。這部分我們將討論使用Stochastic Gradient Descent方法來進行求解。之前的alternating least squares algorithm中，我們考慮了所有用戶、所有電影。現在使用SGD，隨機選取一筆資料，然后只在與這筆資料有關的error function上使用梯度下降算法。使用SGD的好處是每次迭代只要處理一筆資料，效率很高；而且程序簡單，容易實現；最后，很容易擴展到其它的error function來實現。  對于每筆資料，它的error function可表示為：  上式中的err是squared error function，僅與第n個用戶，第m部電影有關。其對和的偏微分結果為：    很明顯，和都由兩項乘積構成。（忽略常數因子2）。第一項都是，即余數residual。我們在之前介紹的GBDT算法中也介紹過余數這個概念。的第二項是，而的第二項是。二者在結構上是對稱的。 計算完任意一個樣本點的SGD后，就可以構建Matrix Factorization的算法流程。SGD for Matrix Factorization的算法流程如下所示：  在實際應用中，由于SGD算法簡單高效，Matrix Factorization大多采用這種算法。 介紹完SGD for Matrix Factorization之后，我們來看一個實際的應用例子。問題大致是這樣的：根據現在有的樣本資料，預測未來的趨勢和結果。顯然，這是一個與時間先后有關的預測模型。比如說一個用戶三年前喜歡的電影可能現在就不喜歡了。所以在使用SGD選取樣本點的時候有一個技巧，就是最后T次迭代，盡量選擇時間上靠后的樣本放入到SGD算法中。這樣最后的模型受這些時間上靠后的樣本點影響比較大，也相對來說比較準確，對未來的預測會比較準。  所以，在實際應用中，我們除了使用常規的機器學習算法外，還需要根據樣本數據和問題的實際情況來修改我們的算法，讓模型更加切合實際，更加準確。我們要學會靈活運用各種機器學習算法，而不能只是照搬。 ### **Summary of Extraction Models** 從第12節課開始到現在，我們總共用了四節課的時間來介紹Extraction Models。雖然我們沒有給出Extraction Models明確的定義，但是它主要的功能就是特征提取和特征轉換，將原始數據更好地用隱藏層的一些節點表征出來，最后使用線性模型將所有節點aggregation。這種方法使我們能夠更清晰地抓住數據的本質，從而建立最佳的機器學習模型。 下圖所示的就是我們介紹過的所有Extraction Models，除了這四節課講的內容之外，還包括之前介紹的Adaptive/Gradient Boosting模型。因為之前筆記中都詳細介紹過，這里就不再一一總結了。  除了各種Extraction Models之外，我們這四節課還介紹了不同的Extraction Techniques。下圖所示的是對應于不同的Extraction Models的Extraction Techniques。  最后，總結一下這些Extraction Models有什么樣的優點和缺點。從優點上來說： * **easy：機器自己完成特征提取，減少人類工作量** * **powerful：能夠處理非常復雜的問題和特征提取** 另一方面，從缺點上來說： * **hard：通常遇到non-convex的優化問題，求解較困難，容易得到局部最優解而非全局最優解** * **overfitting：模型復雜，容易造成過擬合，需要進行正則化處理** 所以說，Extraction Models是一個非常強大的機器學習工具，但是使用的時候也要小心處理各種可能存在的問題。  ### **總結** 本節課主要介紹了Matrix Factorization。從電影推薦系統模型出發，首先，我們介紹了Linear Network。它從用戶ID編碼后的向量中提取出有用的特征，這是典型的feature extraction。然后，我們介紹了基本的Matrix Factorization算法，即alternating least squares，不斷地在用戶和電影之間交互地做linear regression進行優化。為了簡化計算，提高運算速度，也可以使用SGD來實現。事實證明，SGD更加高效和簡單。同時，我們可以根據具體的問題和需求，對固有算法進行一些簡單的調整，來獲得更好的效果。最后，我們對已經介紹的所有Extraction Models做個簡單的總結。Extraction Models在實際應用中是個非常強大的工具，但是也要避免出現過擬合等問題。 **_注明：_** 文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程