# 15 -- Matrix Factorization
上節課我們主要介紹了Radial Basis Function Network。它的原理就是基于距離相似性(distance-based similarities)的線性組合(linear aggregation)。我們使用k-Means clustering算法找出具有代表性的k個中心點,然后再計算與這些中心點的distance similarity,最后應用到RBF Network中去。
### **LinearNetwork Hypothesis**
回顧一下,我們在機器學習基石課程的第一節課就提到過,機器學習的目的就是讓機器從數據data中學習到某種能力skill。我們之前舉過一個典型的推薦系統的例子。就是說,假如我們手上有許多不同用戶對不同電影的排名rank,通過機器學習,訓練一個模型,能夠對用戶沒有看過的某部電影進行排名預測。

一個典型的電影推薦系統的例子是2006年Netflix舉辦的一次比賽。數據包含了480189個用戶和17770部電影,總共1億多個排名信息。該推薦系統模型中,我們用表示第n個用戶,這是一個抽象的特征,常常使用數字編號來代替具體哪個用戶。輸出方面,我們使用表示第n個用戶對第m部電影的排名數值。

下面我們來進一步看看這些抽象的特征,是用戶的ID,通常用數字表示。例如1126,5566,6211等。這些編號并沒有數值大小上的意義,只是一種ID標識而已。這類特征被稱為類別特征(categorical features)。常見的categorical features包括:IDs,blood type,programming languages等等。而許多機器學習模型中使用的大部分都是數值特征(numerical features)。例如linear models,NNet模型等。但決策樹(decision tree)是個例外,它可以使用categorical features。所以說,如果要建立一個類似推薦系統的機器學習模型,就要把用戶ID這種categorical features轉換為numerical features。這種特征轉換其實就是訓練模型之前一個編碼(encoding)的過程。

一種最簡單的encoding方式就是binary vector encoding。也就是說,如果輸入樣本有N個,就構造一個維度為N的向量。第n個樣本對應向量上第n個元素為1,其它元素都是0。下圖就是一個binary vector encoding的例子。

經過encoding之后,輸入是N維的binary vector,表示第n個用戶。輸出是M維的向量,表示該用戶對M部電影的排名數值大小。注意,用戶不一定對所有M部電影都作過評價,未評價的恰恰是我們要預測的(下圖中問號?表示未評價的電影)。

總共有N個用戶,M部電影。對于這樣的數據,我們需要掌握每個用戶對不同電影的喜愛程度及排名。這其實就是一個特征提取(feature extraction)的過程,提取出每個用戶喜愛的電影風格及每部電影屬于哪種風格,從而建立這樣的推薦系統模型。可供選擇使用的方法和模型很多,這里,我們使用的是NNet模型。NNet模型中的網絡結構是型,其中N是輸入層樣本個數,是隱藏層神經元個數,M是輸出層電影個數。該NNet為了簡化計算,忽略了常數項。當然可以選擇加上常數項,得到較復雜一些的模型。順便提一下,這個結構跟我們之前介紹的autoencoder非常類似,都是只有一個隱藏層。

說到這里,有一個問題,就是上圖NNet中隱藏層的tanh函數是否一定需要呢?答案是不需要。因為輸入向量x是經過encoding得到的,其中大部分元素為0,只有一個元素為1。那么,只有一個元素與相應權重的乘積進入到隱藏層。由于,則相當于只有一個權重值進入到tanh函數進行運算。從效果上來說,tanh(x)與x是無差別的,只是單純經過一個函數的計算,并不影響最終的結果,修改權重值即可得到同樣的效果。因此,我們把隱藏層的tanh函數替換成一個線性函數y=x,得到下圖所示的結構。

由于中間隱藏層的轉換函數是線性的,我們把這種結構稱為Linear Network(與linear autoencoder比較相似)。看一下上圖這個網絡結構,輸入層到隱藏層的權重維度是Nx,用向量表示。隱藏層到輸出層的權重維度是xM,用矩陣W表示。把權重由矩陣表示之后,Linear Network的hypothesis 可表示為:

如果是單個用戶,由于X向量中只有元素為1,其它均為0,則對應矩陣V只有第n列向量是有效的,其輸出hypothesis為:


### **Basic Matrix Factorization**
剛剛我們已經介紹了linear network的模型和hypothesis。其中Vx可以看作是對用戶x的一種特征轉換。對于單部電影,其預測的排名可表示為:


推導完linear network模型之后,對于每組樣本數據(即第n個用戶第m部電影),我們希望預測的排名與實際樣本排名盡可能接近。所有樣本綜合起來,我們使用squared error measure的方式來定義,的表達式如下所示:

上式中,灰色的部分是常數,并不影響最小化求解,所以可以忽略。接下來,我們就要求出最小化時對應的V和W解。
我們的目標是讓真實排名與預測排名盡可能一致,即。把這種近似關系寫成矩陣的形式:。矩陣R表示所有不同用戶不同電影的排名情況,維度是NxM。這種用矩陣的方式進行處理的方法叫做Matrix Factorization。

上面的表格說明了我們希望將實際排名情況R分解成兩個矩陣(V和W)的乘積形式。V的維度是xN的,N是用戶個數,可以是影片類型,例如(喜劇片,愛情片,懸疑片,動作片,…)。根據用戶喜歡的類型不同,賦予不同的權重。W的維度是xM,M是電影數目,同樣是影片類型,該部電影屬于哪一類型就在那個類型上占比較大的權重。當然,維特征不一定就是影片類型,還可以是其它特征,例如明顯陣容、年代等等。

那么,Matrix Factorization的目標就是最小化函數。表達式如下所示:

中包含了兩組待優化的參數,分別是和。我們可以借鑒上節課中k-Means的做法,將其中第一個參數固定,優化第二個參數,然后再固定第二個參數,優化第一個參數,一步一步進行優化。
當固定的時候,只需要對每部電影做linear regression即可,優化得到每部電影的維特征值。
當固定的時候,因為V和W結構上是對稱的,同樣只需要對每個用戶做linear regression即可,優化得到每個用戶對維電影特征的喜愛程度。

這種算法叫做alternating least squares algorithm。它的處理思想與k-Means算法相同,其算法流程圖如下所示:

alternating least squares algorithm有兩點需要注意。第一是initialize問題,通常會隨機選取和。第二是converge問題,由于每次迭代更新都能減小,會趨向于0,則保證了算法的收斂性。

在上面的分析中,我們提過Matrix Factorization與Linear Autoencoder的相似性,下圖列出了二者之間的比較。

Matrix Factorization與Linear Autoencoder有很強的相似性,都可以從原始資料匯總提取有用的特征。其實,linear autoencoder可以看成是matrix factorization的一種特殊形式。
### **Stochastic Gradient Descent**
我們剛剛介紹了alternating least squares algorithm來解決Matrix Factorization的問題。這部分我們將討論使用Stochastic Gradient Descent方法來進行求解。之前的alternating least squares algorithm中,我們考慮了所有用戶、所有電影。現在使用SGD,隨機選取一筆資料,然后只在與這筆資料有關的error function上使用梯度下降算法。使用SGD的好處是每次迭代只要處理一筆資料,效率很高;而且程序簡單,容易實現;最后,很容易擴展到其它的error function來實現。

對于每筆資料,它的error function可表示為:

上式中的err是squared error function,僅與第n個用戶,第m部電影有關。其對和的偏微分結果為:



很明顯,和都由兩項乘積構成。(忽略常數因子2)。第一項都是,即余數residual。我們在之前介紹的GBDT算法中也介紹過余數這個概念。的第二項是,而的第二項是。二者在結構上是對稱的。
計算完任意一個樣本點的SGD后,就可以構建Matrix Factorization的算法流程。SGD for Matrix Factorization的算法流程如下所示:

在實際應用中,由于SGD算法簡單高效,Matrix Factorization大多采用這種算法。
介紹完SGD for Matrix Factorization之后,我們來看一個實際的應用例子。問題大致是這樣的:根據現在有的樣本資料,預測未來的趨勢和結果。顯然,這是一個與時間先后有關的預測模型。比如說一個用戶三年前喜歡的電影可能現在就不喜歡了。所以在使用SGD選取樣本點的時候有一個技巧,就是最后T次迭代,盡量選擇時間上靠后的樣本放入到SGD算法中。這樣最后的模型受這些時間上靠后的樣本點影響比較大,也相對來說比較準確,對未來的預測會比較準。

所以,在實際應用中,我們除了使用常規的機器學習算法外,還需要根據樣本數據和問題的實際情況來修改我們的算法,讓模型更加切合實際,更加準確。我們要學會靈活運用各種機器學習算法,而不能只是照搬。
### **Summary of Extraction Models**
從第12節課開始到現在,我們總共用了四節課的時間來介紹Extraction Models。雖然我們沒有給出Extraction Models明確的定義,但是它主要的功能就是特征提取和特征轉換,將原始數據更好地用隱藏層的一些節點表征出來,最后使用線性模型將所有節點aggregation。這種方法使我們能夠更清晰地抓住數據的本質,從而建立最佳的機器學習模型。
下圖所示的就是我們介紹過的所有Extraction Models,除了這四節課講的內容之外,還包括之前介紹的Adaptive/Gradient Boosting模型。因為之前筆記中都詳細介紹過,這里就不再一一總結了。

除了各種Extraction Models之外,我們這四節課還介紹了不同的Extraction Techniques。下圖所示的是對應于不同的Extraction Models的Extraction Techniques。

最后,總結一下這些Extraction Models有什么樣的優點和缺點。從優點上來說:
* **easy:機器自己完成特征提取,減少人類工作量**
* **powerful:能夠處理非常復雜的問題和特征提取**
另一方面,從缺點上來說:
* **hard:通常遇到non-convex的優化問題,求解較困難,容易得到局部最優解而非全局最優解**
* **overfitting:模型復雜,容易造成過擬合,需要進行正則化處理**
所以說,Extraction Models是一個非常強大的機器學習工具,但是使用的時候也要小心處理各種可能存在的問題。

### **總結**
本節課主要介紹了Matrix Factorization。從電影推薦系統模型出發,首先,我們介紹了Linear Network。它從用戶ID編碼后的向量中提取出有用的特征,這是典型的feature extraction。然后,我們介紹了基本的Matrix Factorization算法,即alternating least squares,不斷地在用戶和電影之間交互地做linear regression進行優化。為了簡化計算,提高運算速度,也可以使用SGD來實現。事實證明,SGD更加高效和簡單。同時,我們可以根據具體的問題和需求,對固有算法進行一些簡單的調整,來獲得更好的效果。最后,我們對已經介紹的所有Extraction Models做個簡單的總結。Extraction Models在實際應用中是個非常強大的工具,但是也要避免出現過擬合等問題。
**_注明:_**
文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程
- 臺灣大學林軒田機器學習筆記
- 機器學習基石
- 1 -- The Learning Problem
- 2 -- Learning to Answer Yes/No
- 3 -- Types of Learning
- 4 -- Feasibility of Learning
- 5 -- Training versus Testing
- 6 -- Theory of Generalization
- 7 -- The VC Dimension
- 8 -- Noise and Error
- 9 -- Linear Regression
- 10 -- Logistic Regression
- 11 -- Linear Models for Classification
- 12 -- Nonlinear Transformation
- 13 -- Hazard of Overfitting
- 14 -- Regularization
- 15 -- Validation
- 16 -- Three Learning Principles
- 機器學習技法
- 1 -- Linear Support Vector Machine
- 2 -- Dual Support Vector Machine
- 3 -- Kernel Support Vector Machine
- 4 -- Soft-Margin Support Vector Machine
- 5 -- Kernel Logistic Regression
- 6 -- Support Vector Regression
- 7 -- Blending and Bagging
- 8 -- Adaptive Boosting
- 9 -- Decision Tree
- 10 -- Random Forest
- 11 -- Gradient Boosted Decision Tree
- 12 -- Neural Network
- 13 -- Deep Learning
- 14 -- Radial Basis Function Network
- 15 -- Matrix Factorization
- 16(完結) -- Finale