# 8 -- Noise and Error
上一節課，我們主要介紹了VC Dimension的概念。如果Hypotheses set的VC Dimension是有限的，且有足夠多N的資料，同時能夠找到一個hypothesis使它的，那么就能說明機器學習是可行的。本節課主要講了數據集有Noise的情況下，是否能夠進行機器學習，并且介紹了假設空間H下演算法A的Error估計。
### **一、Noise and Probablistic target**
上節課推導VC Dimension的數據集是在沒有Noise的情況下，本節課討論如果數據集本身存在Noise，那VC Dimension的推導是否還成立呢？
首先，Data Sets的Noise一般有三種情況：
* **由于人為因素，正類被誤分為負類，或者負類被誤分為正類；**
* **同樣特征的樣本被模型分為不同的類；**
* **樣本的特征被錯誤記錄和使用。**
之前的數據集是確定的，即沒有Noise的，我們稱之為Deterministic。現在有Noise了，也就是說在某點處不再是確定分布，而是概率分布了，即對每個(x，y)出現的概率是。
因為Noise的存在，比如在x點，有0.7的概率y=1，有0.3的概率y=0，即y是按照分布的。數學上可以證明如果數據集按照概率分布且是iid的，那么以前證明機器可以學習的方法依然奏效，VC Dimension有限即可推斷和是近似的。
稱之為目標分布（Target Distribution）。它實際上告訴我們最好的選擇是什么，同時伴隨著多少noise。其實，沒有noise的數據仍然可以看成“特殊”的概率分布，即概率僅是1和0.對于以前確定的數據集：
在引入noise的情況下，新的學習流程圖如下所示：
### **二、ERROR Measure**
機器學習需要考慮的問題是找出的矩g與目標函數f有多相近，我們一直使用進行誤差的估計，那一般的錯誤測量有哪些形式呢？
我們介紹的矩g對錯誤的衡量有三個特性：
* **out-of-sample：樣本外的未知數據**
* **pointwise：對每個數據點x進行測試**
* **classification：看prediction與target是否一致，classification error通常稱為0/1 error**
PointWise error實際上就是對數據集的每個點計算錯誤并計算平均，和的pointwise error的表達式為：
pointwise error是機器學習中最常用也是最簡單的一種錯誤衡量方式，未來課程中，我們主要考慮這種方式。pointwise error一般可以分成兩類：0/1 error和squared error。0/1 error通常用在分類（classification）問題上，而squared error通常用在回歸（regression）問題上。
Ideal Mini-Target由和err共同決定，0/1 error和squared error的Ideal Mini-Target計算方法不一樣。例如下面這個例子，分別用0/1 error和squared error來估計最理想的mini-target是多少。0/1 error中的mini-target是取P(y|x)最大的那個類，而squared error中的mini-target是取所有類的加權平方和。
有了錯誤衡量，就會知道當前的矩g是好還是不好，并會讓演算法不斷修正，得到更好的矩g，從而使得g與目標函數更接近。所以，引入error measure后，學習流程圖如下所示：
### **三、Algorithmic Error Measure**
Error有兩種：false accept和false reject。false accept意思是誤把負類當成正類，false reject是誤把正類當成負類。 根據不同的機器學習問題，false accept和false reject應該有不同的權重，這根實際情況是符合的，比如是超市優惠，那么false reject應該設的大一些；如果是安保系統，那么false accept應該設的大一些。
機器學習演算法A的cost function error估計有多種方法，真實的err一般難以計算，常用的方法可以采用plausible或者friendly，根據具體情況而定。
引入algorithm error measure之后，學習流程圖如下：
### **四、Weighted Classification**
實際上，機器學習的Cost Function即來自于這些error，也就是算法里面的迭代的目標函數，通過優化使得Error（Ein）不斷變小。
cost function中，false accept和false reject賦予不同的權重，在演算法中體現。對不同權重的錯誤懲罰，可以選用virtual copying的方法。
### **五、總結**
本節課主要講了在有Noise的情況下，即數據集按照概率分布，那么VC Dimension仍然成立，機器學習算法推導仍然有效。機器學習cost function常用的Error有0/1 error和squared error兩類。實際問題中，對false accept和false reject應該選擇不同的權重。
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文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程。
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