## 一、微分中值定理 #### 費馬引理 若f(x)在U(Xo)內有定義，在Xo處可導，且任意的x ```[math] 設f(x)在x_0處具有導數，且在x_0處取得極值，那末必定f'(x_0) = 0 ``` 導數為0的點稱為駐點，極值點一定是駐點，駐點不一定是極值點。 #### 羅爾定理 如果f(x)滿足： 1. 開區間 [a,b]連續 2. 閉區間(a,b)可導 3. 間斷點處的函數值相等 ，即f(a)=f(b) 那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得函數在該點的導數等于零，即f`(ξ)=0 #### 拉格朗日中值定理 如果f(x)滿足： 1. 開區間 [a,b]連續 2. 閉區間(a,b)可導 3. 間斷點處的函數值相等 ，即f(a)=f(b) 那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得等式f(b)-f(a)=f`(ξ)(b-a) #### 柯西中值定理 ```[math] \frac {f(b)-f(a)} {g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)} {g'(\xi)} ``` ## 二、洛必達法則 #### 未定式的極限 #### 洛必達法則 0/0, ## 三、泰勒公式 #### 泰勒中值定理 #### 泰勒公式 ```[math] f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \dots + \frac {f^{(n)}(x_0)} {n!} (x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) ``` #### 麥克勞林公式 ```[math] f(x) = f(0)+f'(0)x+ \dots + \frac {f^{(n)}(0)} {n!} (x-x_0)^n+o(x^n) ``` #### 佩亞諾型余項 #### 拉格朗日型余項 ```[math] \frac {f^{(n+1)} (\xi)} {(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ``` ## 四、導數的應用 #### 函數單調性的判定法 * f'(x)>0 函數單調增加 * f'(x)<0 函數單調減少 #### 曲線的凹凸性 ```[math] f''(x) \ge 0 凸函數 ``` #### 極大值和極小值 ```[math] 極值必定有 f'(x_0)=0 ``` 極值必定是駐點，但駐點不一定是極值點。 #### 函數最值的求法 1. 求穩定點和不可導點 2. 求穩定點和不可導點的函數值，比較大小 #### 拐點 拐點的必要條件 `$ f''(x_0)=0 $` #### 漸近線 鉛直漸近線 ```[math] \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \infin 或\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \infin ``` 水平漸進線 ```[math] \lim_{x \rightarrow +\infin}f(x) = b 或\lim_{x \rightarrow - \infin}f(x) = b ``` y= b 是水平漸近線 斜漸近線 ```[math] \lim_{x \rightarrow +\infin}[f(x)-(ax+b) ]= 0 或 \lim_{x \rightarrow -\infin}[f(x)-(ax+b) ]= 0 \\ \lim_{x \rightarrow \infin}{\frac {f(x)}{x}}= a \\ \lim_{x \rightarrow \infin}[f(x)-ax]= b ``` #### 函數圖形的描繪 ##五、曲率 #### 弧微分 #### 曲率 #### 曲率半徑 #### 曲率圓