##一、數項級數 #### 數項級數 給定一個數列 u1、u2、u3、......、un，..... 則表達式： u1+u2+.... 稱為常數項無窮級數，簡稱數項級數，記做： ∑ #### 部分和 前 n項之后 #### 數項級數的收斂與發散 * 級數的每一項同乘以不為零的常數后，其斂散性不變 * 若級數收斂，則對其各項間任意加括號后所得的級數仍收斂，且其和不變。反過來，不成立。 * 兩邊夾定理 * 級數收斂的必要條件 通項的極限值為0。 #### 幾何級數與P級數 #### 收斂級數的基本性質 #### 柯西收斂原理 ##二、正項級數審斂法 正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列有界。 #### 比較審斂法 重要參照級數： 等比級數、P級數 #### 比較審斂法的極限形式 Un+1/Un的極限值 1. q<1 ，收斂 2. q>1，發散 3. q=1，可能收斂也可能發散 #### 根值審斂法 **柯西**判別法 通項的n次根的極限q 1. q<1 ，收斂 2. q>1，發散 3. q=1，可能收斂也可能發散 #### 比較審斂法 #### 判斷正項級數是否收斂的步驟 1. 用級數收斂的必要條件 通項的極限不等于0，則級數發散，否則進一步判斷 2. 用比值判別法 n+1項與n項的商，失效則使用比較判別法 3. 用比較判別法。 需要知道一些斂散性確定的級數，比如等比級數、P級數等。 ##三、任意項級數 #### 交錯級數 (-1)n-1 Un #### 萊布尼茲定理 交錯級數滿足： (1) Un>Un+1 (2) Un的極限為0 則級數收斂。 #### 絕對收斂和條件收斂 * ∑|Un|收斂，則稱絕對收斂 * ∑Un收斂，∑|Un|發散， 則稱條件收斂 定理5：絕對收斂的級數必是收斂的。 #### 絕對收斂級數的性質 絕對收斂的級數必是收斂的。 ## 常用級數 * 調和級數 `$ \sum\frac{1}{n} $` 發散。