07.1990 記憶的通用公式 · supermemo.guru 翻譯計劃

# 1990：記憶的通用公式 [TOC=2,5] ## 最優復習與間歇復習到了 1990 年，我很是篤定我手握著重大發現。我破解了[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting)難題。我知道了記憶簡單內容的復習[最佳時機](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)。一經在我[碩士論文](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)中描述它的許可，我的探索欲也水漲船高。我希望我可以找到一個長期記憶的通用公式，能夠讓我跟蹤記憶在各種形式的檢索和接觸中的表現形式。我已經收集了一些數據，這些數據可能會幫助我找到這個公式。在 [1985](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo) 年發現最佳重復間隔之前，我把問題寫在一頁頁紙上來復習知識。此時復習混亂不堪，由可利用的時間、需要或心情支配。我把這稱為「間歇性學習」。我有單個頁面和每次復習的回憶數據。雖沒有 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 的周期性，這種數據也算較為理想。這正是我為解決記憶問題而需要的數據。只不過，這些數據都僅僅記錄在紙上。 1990 年春天，我叫我姐姐來打字錄入數據。當然，我沒有一個妹妹會情愿來做這件事。我的姐姐比我大 17 歲。我利用她對我的愛，讓她做這種枯燥繁重的工作，而沒有顧及到她的時間。她兩年后去世了。我再也沒有機會報答她對[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)理論的貢獻，她甚至沒有機會了解這個理論。從 1990 年 5 月 1 日開始，她在我不用電腦的時間，將數據從紙上轉移到電腦上。她打字很慢，花了很多天。她的工夫是值得的。 ## 間歇學習模型在 1990 年的整個夏天，我沒有專注于我的[碩士論文](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)，而是研究「間歇學習模型」。對我來說，連續工作 10 個小時，感覺沒有半點發現而在早上 7 點睡覺，或者讓電腦整夜計算數據，都是很正常的。鍥而不舍，搗鼓調整是有代價的。只有少年才能負擔得起，他們應該有空間和自由。盡管我已經 28 歲了，家人們還是默默忍受我的一舉一動。就像一個不成熟的青少年。我住在我姐姐的公寓里，在那里我可以利用她的善意。在電腦前工作的時間很長，被借口為「在做我的碩士論文」。事實上，沒有人要求我這樣做，也沒有人要求我這樣做，它甚至沒有推動 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 的發展。這是一個純粹的科學好奇心的案例。我只是想知道記憶是如何工作的。我有幾十頁的問題和他們的[重復歷史](https://supermemo.guru/wiki/Repetition_history)。我試圖預測「每頁的記憶失誤」。我使用[平方根標準差](https://supermemo.guru/wiki/Deviation)來預測失誤（下面表示為Dev）。到 1990 年 7 月 10 日，星期二，我達到了 Dev<3，感覺問題幾乎「解決」了。1990 年 7 月 12 日，我改進到 Dev=2.877（順便說一下，我的論文中提到了2.887241）。然而，到 1990 年 8 月 27 日，我在那天的筆記中宣布這個問題無法解決。 > 個人軼事。[為什么使用軼事？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_anecdotes%3F) > > 1990 年 8 月 27 日：**我解決了**間歇學習，**表明這個問題是無法解決的**！單獨一個參數無力描述與整頁項目的記憶強度。這表明，**[E 因子](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor)較低的項目沒有[最優區間](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_interval)**！ 1990 年 8 月 30 日，我在碩士論文中解說了這個模型。文章一共有 15 頁，不算很好讀。我打賭沒有人有耐心讀完整篇文章。90 年代末我的碩士論文節選版發布在網絡，而描述間歇學習的這一章甚至沒有在 [supermemo.com](http://supermemo.com/) 上發表。然而，基于該模型得出的結論，深刻地影響了我隨后幾十年中對記憶的思考。該模型背后的想法，實際上非常類似我在開發 [SM-17 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) (2014-2016) 時應用的優化。當我宣布這個問題無法解決時，我的意思是我無法準確地描述「困難頁」的記憶，因為性質不同的材料需要更復雜的模型。然而，這篇 1990 年 8 月 31 日記錄的筆記卻對此更加樂觀： > 個人軼事。[為什么使用軼事？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_anecdotes%3F) > > 1990 年 8 月 31 日：不間斷地研究間歇學習模型。到了晚上，計算機終究沒有讓我離解決方案更進一步。然而，我有個好主意，就是用 IL 模型的絕世優秀功能計算出最優間隔。屏幕上的結果映入眼簾時，我簡直不敢相信我 [嗶——] 看到什么。這些正是我在 1985 年[發現](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)時試圖制定 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 方法時發現的間隔。我高興地在家里跳來跳去，簡直像一條有兩條尾巴的狗。所以我可以說我真的解決了 IL 問題（對比 1990 年 8 月 27 日）。但我發現，這個成功并不是今天給我發現的一切： > - [最優系數](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)隨著連續的間隔而減少（我以前憑直覺感覺是這樣的）， > - 對于[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 10%，[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)為 94%（如 EVF [數據庫](https://supermemo.guru/wiki/Database)） > - **[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)與[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)**呈線性關系 [2018 年評論：在異質材料的小范圍內]**（這無法從我 1 月份進行的模擬實驗中計算出來）** > - 該模型說，[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的理想值是 5-10%（工作量-保留率的權衡） > - 如果間隔時間是最優時間的兩倍，則[記憶強度](https://supermemo.guru/wiki/Stability)增加最多！！ > - 如果[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)為 20%，則[記憶強度](https://supermemo.guru/wiki/Stability)增加最多 > [...] 我的公式只有在間隔比以前的強度短不了多少時才有效。 ## 過去（1990）與現在（2018）的對比本章末尾的結論，以及程序本身都讓人想起我在 2005 年尋找[記憶穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)提高的通用公式時使用的方法，以及在 2014 年，[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 是基于對記憶的更精確的數學描述。像最新的 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 算法一樣，該模型使得計算任何重復計劃的[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)成為可能。當然，它的準確度要低得多，因為它基于劣質的數據。此外， [SuperMemo 17](http://super-memo.com/supermemo17.html) 所做的實時工作，在 1990 年時需要花費許多小時的 PC 電腦時間。我的碩士論文中這個看似無聊的老的部分到現在已經變得很重要了。我敢說，只有劣質的數據將這項工作與 25 年后出現的[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 相隔甚遠。我引用的這段文字在符號和文體上做了些許改進，但沒有關于[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)的章節，該章節由于計算中使用的材料太不同而出現錯誤。存檔警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字是《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分 > > **間歇學習模型** > [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 模型為計算[最優間隔](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_interval)提供了基礎，在時間最優的學習過程中，應該把重復的內容分開。 > 然而，如果重復的時間間隔不規律，則無法預測記憶變量的變化。 > 下面我提出一個嘗試，以增強 SuperMemo 模型，使其可以用于描述間歇學習的過程。 > 在[第三章](http://super-memory.com/english/ol/beginning.htm)中，我提到了，在[算法 SM-0](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_on_paper) 開發之前，我學習英語和生物的方式。 > 那段時間（1982-1984年）收集的數據為構建間歇學習模型提供了一個很好的基礎。遵照[最小信息原則](https://supermemo.guru/wiki/Item)制定的[項目](https://supermemo.guru/wiki/Minimum_information_principle)（通常有成對的詞的形式）被分組在頁面中，進行不定期的復習過程。 > 所收集的數據以計算機可讀形式提供，包括71頁的重復描述，此外，80個類似的頁面參與了由[SM-0](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_on_paper)時間表監督的過程。 ## 與算法 SM-17 的相似性請注意，這個問題的表述讓人想起了[算法SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 中用來計算[穩定性增長矩陣（SInc[]）](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)的程序。[記憶穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)被重新縮放，以便能夠將其解釋為一個[間隔](https://supermemo.guru/wiki/Interval)。甚至符號也是相似的：S 代表[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)，D 代表[偏差](https://supermemo.guru/wiki/Deviation)。頁面遺忘數量代替了[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)。我以前喜歡玩各種優化算法。你仍然可以在 [SuperMemo 17](http://super-memo.com/supermemo17.html) 中查看該算法做表面擬合優化的可視化（見[圖片](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)）。12 個變量做處理可能有點低效，但我從不關心處理方法本身如何，只關心能否結果是否可以拓展我對記憶原理的認知。對于那些熟悉[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 的人，我們在下面的文本中改變了符號。此外，我們改變了 In 和 Ln 等符號，這些符號在打印時很容易被誤讀為對數。變化清單： - Ln -> Lapsn - In -> Intn - Dn -> Devn - R -> RepNo ## 間歇學習問題的表述 > 存檔警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字是《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分 > > **11.1.間歇學習問題的提出** > 1. 共有 161 個頁面。 > 2. 每頁包含約 40 個項目。 > 3. 對于每一頁，學習過程的描述（在實驗重復期間收集）有以下形式： > ((-,Laps1),(Int2,Laps2),(Int3,Laps3), ...,(Intn,Lapsn)) > 其中： > - Inti - 第 i 次重復前使用的間隔（范圍在 1 到 800 之間）， > - Laps i - 在第 i 次重復過程中，遺忘的次數（范圍從 0 到 40）， > - n - 總重復次數（范圍從 3 到 20）。 > 4. 找到公式所描述的函數 f 和 g： > S(1)=S1 > S(n)=f(S(n-1),Intn,Lapsn) > Laps(n)=g(S(n-1),Intn) > 其中： > - S(n) - 與第 n 次重復后的記憶強度相對應的任何變量（比較[第 10 章](http://super-memory.com/english/ol/ol_memory.htm)）， > - Intn - 第 n 次重復前使用的間隔；取自間歇學習期間收集的數據， > - Lapsn - 在第 n 次重復中的遺忘數量；取自間歇學習期間收集的數據， > - Laps(n) - 對第 n 次重復中記憶遺忘數量的估計（它應該與 Lapsn 相對應） > - S1 - 一個常數， > > 使函數 Dev 最小化： >Dev=sqrt((Dev1+Dev2+ ... +Dev161)/RepNo) > Devi=sqr(Laps(1)-Laps1)+sqr(Laps(2)-Laps2)+ ... +sqr(Laps(n)-Lapsn)) > 其中： > - Dev - 描述函數 f 和 g 輸出值之間差值的函數，值會在間歇學習期間收集（它反映了數據在實驗和理論預測之間的差） > - RepNo - 全部頁面上的重復次數總和 > - Devi - 函數Dev的分項，對應第i頁的Dev. > - Laps(j) - 使用函數f和g，分別對第i頁和第j次重復計算的遺忘數量， > - Lapsj - 第 i 頁、第 j 次重復時的遺忘數量；取自間歇學習期間收集的數據， > - sqrt(x) - x 的平方根， > - sqr(x) - x 的平方。 > 請注意，只有當函數 f 和 g 簡單且定義參數有限時（如 a*ln()+b 或 a*exp()+b 等），才會有生物學上的思考價值。否則，人們總是可以構建一個巨大的、無意義的公式來自動將 Dev 歸零。 ## 解決間歇學習的問題 > 存檔警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字是《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分 > > **11.2. 間歇學習的解決方案** > 在搜索使*Dev*值最小的函數f和g時，我用的是 [Wozniak, 1988b](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning_(1990):_References) 中描述的最小化的數值算法（*一種在可行區域內尋找函數局部最大值的新算法。可信論文*）。 > 搜索中使用實例函數如下： > > S(1)=x[1] > > S(n)=x[2]*Intn*exp(-Lapsn*x[3])+x[4]) > > Laps(n)=x[5]*(1-exp(-Intn/S(n-1))) > > 其中： > > - x[i] - 由最小化程序計算的變量， > > - S(n)、Laps(n)、Lapsn 和 Intn - 如 11.1 中的定義 > 注意，描述 S(n) 的函數 f 不使用 S(n-1) 作為它的參數（問題的表述允許，但不要求在先前強度的基礎上計算新的強度）。 > 為了保持簡易度和節省時間，我設定了在最小化過程中使用 12 個變量的限制。 > 我測試了大量的數學函數，這些函數是根據有關記憶的明顯直覺構建的（例如，隨著時間的推移，頁面遺忘的數量會增加）。 > 其中包括指數型、對數型、冪型、雙曲線型、S 型、鐘型、多項式及一些可能的組合。 > 在大多數情況下，最小化程序將 Dev 的值減少到 3 以下，函數 f 和 g 的形狀類似，與它們的性質獨立。 > 使用少于 12 個變量得到的 Dev 的最小值是 2.887241。 > 函數 f 和 g 如下： > ``` > constant S(1)=0.2104031; > function Sn(Intn,Lapsn,S(n-1)); > begin > S(n):=0.4584914*(Intn+1.47)*exp(-0.1549229*Lapsn-0.5854939)+0.35; > if Lapsn=0 then > if S(n-1)>In then > S(n):=S(n-1)*0.724994 > else > S(n):=Intn*1.1428571; > end; > function Lapsn(Intn,S(n-1)); > var quot; > begin > quot:=(Intn-0.16)/(S(n-1)-0.02)+1.652668; > Lapsn:=-0.0005408*quot*quot+0.2196902*quot+0.311335; > end; > ``` > 在不顯著改變Dev的值的情況下，這些函數可以很容易地轉換為以下形式： > > S(1)=1 > > for Intn>S(n-1): S(n)=1.5*Intn*exp(-0.15*Lapsn)+1 > > Laps(n)=Intn/S(n-1) > 請注意： > - 只要操作沒有明顯影響 Dev 的值，函數中的特定元素就會被刪除或四舍五入， > - 記憶強度進行了重新縮放，使其可以被解釋為一個間隔，其中[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)數量等于 1，[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 2.5%（一頁有 40 個項目，1/40=2.5%）， > - 僅當 Intn 不小于 S(n-1) 時，強度公式才有效。這是因為，如果[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)的數量很低，必須使用 S(n-1) 的值來計算 S(n)，例如 Intn <= S(n-1): S(n)=S(n-1)*(1+0.5/(1-exp(S(n-1))*(1-exp(-Intn))) > - 這些公式不能用于描述間隔比最優間隔長很多的過程。這是因為對于 Intn->∞，Laps(n) 的值超過 100%， > - 該公式描述了集體項目的學習，其特點是 [E-系數](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor)的分布或多或少地均勻。因此，它沒能普遍用在難度可變的項目。 > 就目前而言，上述公式構成了對間歇學習過程的最佳描述，以后將被稱為間歇學習模型（簡稱 IL 模型） ## 基于間歇學習模型的模擬試驗有了上面發現的公式，我可以進行一系列的模擬實驗，幫助我回答許多關于記憶在不同情況下的行為的假設情景。這些模擬實驗影響了 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 之后多年的進展。特別是，從 [SuperMemo 6](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_6)（1991 ）開始，工作量和[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)之間的權衡在優化學習方面起到了重要作用。直到今天，為學習提供指導標準的是[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)（或[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)），而不是在[回憶](https://supermemo.guru/wiki/Recall)水平較低時可能出現的、直觀自然的[記憶穩定性增長](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)。設定記憶[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)水平起到了下面[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的作用。 > 存檔警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字選自《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 著 > > **11.4. 間歇學習模型的驗證** > 為了驗證間歇學習模型與 SuperMemo 理論的一致性，讓我們嘗試計算出分散重復的最優間隔。 > 最優間隔由[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)的數量達到選定值 Lapso 的時刻確定。 > 算法如下： > 1. i:=1 > 2. S(i):=1 > 3. 找到 Int(i+1)，使 Laps(i+1) 等于 Lapso. 使用公式： > Int(n)=Lapso*S(n-1) (取自 IL 模型) > 其中： > Int(n) 表示第 n-1 個最優間隔。 > 4. i:=i+1 > 5. S(i):=1.5*Int(i)*exp(-0.15*Lapso)+1（取自 IL 模型） > 6. goto 3 > 如果 Lapso 等于 2.5（[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) 6.25%），而且間歇學習模型參數相同，那么可以觀察到驚人的對應關系（比較第 16 頁[第 3.1 章](https://supermemo.guru/wiki/Birthday_of_SuperMemo)介紹的實驗）： > - Rep - 重復的數量 > - 間隔 - 重復前的最優間隔，在 IL 模型的基礎上由 Lapso=2.5 確定， > - 系數 - 最優系數，等于最優間隔除以上一次的最優間隔， > - SM-0 - 在得出 SM-0 算法的實驗的基礎上計算出的最優間隔 > > | 重復次數 | 間隔 | 系數 | SM-0 | > | :--:| :------:| :----:| :--:| > | 2 | 1.8 | | 1 | > | 3 | 7.8 | 4.36 | 7 | > | 4 | 16.8 | 2.15 | 16 | > | 5 | 30.4 | 1.80 | 35 | > | 6 | 50.4 | 1.66 | | > | 7 | 80.2 | 1.59 | | > | 8 | 124 | 1.55 | | > | 9 | 190 | 1.53 | | > | 10 | 288 | 1.52 | | > | 11 | 436 | 1.51 | | > | 12 | 654 | 1.50 | | > | 13 | 981 | 1.50 | | > | 14 | 1462 | 1.49 | | > | 15 | 2179 | 1.49 | | > | 16 | 3247 | 1.49 | | > | 17 | 4838 | 1.49 | | > | 18 | 7209 | 1.49 | | > > 顯然，這種確切的對應關系，在某種程度上是一種巧合，因為這使得建立 SM-0 算法的實驗并不是那么敏感。 > 值得注意的是，**[最優系數](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)有逐步降低的趨勢！**這一事實似乎證實了最近一系列觀察，這些觀察基于對[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5) 中使用的[最優系數矩陣](https://supermemo.guru/wiki/OF_matrix)的分析。 > 如果 Lapso 等于 4（[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) 10%，如[算法 SM-5](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)），那么[最優系數](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)的序列就類似于[算法 SM-5](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)中 [OF 矩陣](https://supermemo.guru/wiki/OF_matrix)的一列。同時，知識保留幾乎完美匹配 SM-5 [數據庫](https://supermemo.guru/wiki/Database)。 > > | 重復次數 | 間隔 | [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) | 系數 | > | :--:| :------:| :----:| :--:| > | 2 | 3 | 93.21678 | | > | 3 | 16 | 93.80946 | 4.89 | > | 4 | 43 | 93.97184 | 2.74 | > | 5 | 102 | 94.04083 | 2.39 | > | 6 | 232 | 94.06886 | 2.27 | > | 7 | 517 | 94.08418 | 2.23 | > | 8 | 1138 | 94.09256 | 2.20 | > | 9 | 2502 | 94.09737 | 2.20 | > | 10 | 5481 | 94.09967 | 2.19 | > > [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)是將最優過程中每天的保留率求平均值得到的 > > R=(R(1)+R(2)+...+R(n))/n > > R(d)=100-2.5*Laps(d-dlr) > >其中： > > - R - 平均保留率 > > - R(d) - 學習過程中第 d 天的保留率 > > - Laps(Int) - 間隔 I 天后的期望遺忘數量 > > - dlr - 最后一次重復的日期 ## 工作量與保留率的權衡盡管模型使用了異質材料，有些不準確的地方，但對于[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)如何影響學習所需時間，也能可靠地得出結論。這些觀察結果經受住了時間的考驗： > 檔案警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字是《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分 > > 通過比較通過間歇學習模型計算的保留率和工作量數據，可以得出非常有趣的結論： > - [指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) - 遺忘指數（Lapso*2.5）確定了時間最優學習的最優間隔，其中使用 IL 模型安排學習 > - [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) - 在給定[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)得到的總體保留率（在 10,000 天后計算） > - 重復次數 - 在給定[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)下，在實驗過程的前 10,000 天安排的重復次數， > - [系數](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor) - 最優系數的漸近值（取自該過程的第 10000 天） > > | [指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) | [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) | 重復次數 | [系數](https://supermemo.guru/wiki/Optimum_factor) | > | :---------------------------------------------------: | :------------------------------------------------: | :----------: | :--------------------------------------------------: | > | 2.5 | 97.76 | 兩天一次 | 1.0000 | > | 4.5 | 96.88 | 65 | 1.0300 | > | 5.0 | 96.64 | 30 | 1.1600 | > | 5.5 | 96.39 | 22 | 1.3000 | > | 6.25 | 96.01 | 17 | 1.4900 | > | 7.5 | 95.37 | 13 | 1.7700 | > | 10.0 | 94.10 | 10 | 2.1900 | > | 12.5 | 92.78 | 9 | 2.4700 | > > 圖 11.2 表明，用于確定最優間隔的[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)應落在 5-10% 的范圍內。 > [![工作量-保留率權衡](https://supermemo.guru/images/thumb/1/1e/Workload-retention_tradeoff.jpg/548px-Workload-retention_tradeoff.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Workload-retention_tradeoff.jpg) > > 圖 11.2 工作量-保留率的權衡：一方面，如果[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)低于 5%，那么工作量就會急劇增加，而不會對保留率產生實質性影響。另一方面，如果[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)超過 10%，工作量幾乎沒有變化，而保留率卻穩步下降。顯然，工作量-保留率的權衡直接對應于習得率和保留率之間的妥協。通過增加時間的可用性 X 倍（通過減少工作量 X 倍），可以增加習得率 X 倍（比較[第 5 章](http://super-memory.com/articles/theory.htm)）。請注意，在這個模型中，[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)和[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)的關系幾乎是線性的。（來源：《[學習優化](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》：[間歇學習模型](https://supermemo.guru/wiki/Search_for_a_universal_memory_formula)，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak), 1990) > 另一重要觀察來自使記憶強度增長最大化的[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的計算過程 > 由間歇學習模型可得 > > S(n)=1.5*Laps(n)*S(n-1)*exp(-0.15*Laps(n))+1 > 對變量 Laps(n) 進行微分后，我們得到： > > S'(n)=1.5*S(n-1)*exp(-0.15*Laps(n))*(1-0.15*Laps(n)) > 最后，令其等于 0，我們得到： > > Laps(n)=7.8 > 這相當于[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 20%！這樣的遺忘指數得出的間隔，相當于遺忘指數等于 10% 確定的最優間隔的 2 倍（如[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)）。然而，別忘了，工作量的唯一權衡因素是知識保留率而不是記憶強度。因此，上述發現并沒有令[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5) 失效 ## 結論：間歇學習模型該章結尾處得出的最終結論經受住了三十年的考驗。只有[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)是非指數形狀的說法是不準確的。這是因為這個模型是基于各種性質不同數據建立的，[遺忘的指數性質](https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting)不可顯現出來。 > 檔案警告：[為什么使用文字檔案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) > 這段文字選自《[優化學習](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 著 > > **臨時摘要** > - 構建了間歇學習模型，從而能對于不同的重復計劃估計其知識保留率 > - 該模型確鑿地說明，[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)不是指數型的 [2018 評論：錯誤的結論：對比[遺忘的指數性質](https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting)] > - 該模型與實驗數據吻合良好 > - 該模型能以驚人精度求出最優間隔和知識保留率的近似值，而這兩個變量是 SuperMemo 模型所隱含的。 > - 該模型表明，最優系數在隨著重復減少，并漸進接近最終值 > - 該模型表明，最節省學習時間的[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的理想值應落在 5% 至 10% 之間 > - 該模型表明，遺忘指數與知識保留率幾乎呈線性關系 > - 該模型說明，當間隔比 [SuperMemo 方法](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo)中使用的間隔長約 2 倍時，記憶強度的增幅最大。這相當于遺忘指數等于 20%