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                # 1994:遺忘的指數性質 [TOC=2,5] ## 遺忘曲線:冪或指數形式 [遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)的形狀對于理解記憶至關重要。曲線背后的數學甚至可能影響到對睡眠作用的理解(見下文)。當艾賓浩斯第一次確定遺忘率的時候,他得到了一組相當不錯的數據,能較好擬合冪函數。然而,現在我們知道遺忘是呈指數形式的。想了解這種差異可以閱讀[這篇文章](https://supermemo.guru/wiki/Error_of_Ebbinghaus_forgetting_curve)。 [![img](https://supermemo.guru/images/thumb/6/64/Ebbinghaus_forgetting_curve_%281885%29%28power_regression%29.jpg/300px-Ebbinghaus_forgetting_curve_%281885%29%28power_regression%29.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Ebbinghaus_forgetting_curve_(1885)(power_regression).jpg) 遺忘曲線的術語取自艾賓浩斯(1885)。該曲線是根據艾賓浩斯發表的原始表格數據繪制的(Piotr Wozniak,2017) ## 錯誤的想法反有助于間隔重復研究 多年來,曲線的實際形狀在[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)中并沒有發揮多大作用。我早期對遺忘性質的直覺猜想非常混亂,在不同場景下都不一樣。早在 1982 年,我就有這樣的思考:進化為大腦設計了遺忘功能,是為了確保記憶空間不會耗盡。遺忘的最佳時機將由環境的統計特性決定。進化編碼了衰變的功能,是為了最大限度地提高生存率。一旦沒有及時復習,記憶就會被刪除,以便為之后的學習提供空間。 我曾誤以為存在最優的遺忘時間,然而這個錯誤其實有助于發明間隔重復。這種「最優時間」的直覺促成了 [1985 年的第一次實驗](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)。遺忘的最優時間將意味著遺忘曲線是 S 形的,有一個明確拐點,這個拐點決定了最優性。在復習之前,遺忘將是最小的;延遲復習,遺忘則會非常迅速。這就是為什么找到最優間隔顯得如此關鍵。隨后大量數據撲面而來,但我因確認偏見所致,仍然看不出我的錯誤。我的碩士論文中,關于 S 形遺忘,我寫道:「這直接源于這樣的觀察:在最優間隔過去之前,記憶錯誤的數量是可以忽略不計的」。我一定是忘記了[我自己在 1984 年底制作的遺忘曲線圖](https://supermemo.guru/wiki/Hermann_Ebbinghaus_(1885)_and_spaced_repetition_(1985))。 今天,這個**S 形命題**可能看起來很荒謬,但我的[間歇學習模型](https://supermemo.guru/wiki/Search_for_a_universal_memory_formula)甚至也為這個概念提供了一些支持。對我在間歇學習模型工作中收集的數據進行指數擬合,產生的偏差特別高,而不同 [E-系數](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor)的 S 形曲線疊加起來,與早期的線性趨勢十分接近。在現有的數據中,間歇學習模型在回想范圍內似乎可以進行完美地線性擬合。難怪,在整頁整頁的異質材料中,遺忘的指數性質仍然隱藏得很好。 ## 矛盾的模型 對于[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve),我沒有深入思考過。然而,我對記憶有一個生物模型,可以追溯到 1988 年,這個模型涉及了[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)的指數衰減。顯然,在那時候,遺忘曲線和可提取性這兩個概念,在我的頭腦中是互相獨立的。 在我為計算機模擬課撰寫的學分論文中(Dr Katulski,1988 年 1 月),我的圖線清楚地顯示了遺忘曲線是指數型的: [![Hypothetical mechanism involved in the process of optimal learning. (A) Molecular phenomena (B) Quantitative changes in the synapse](https://supermemo.guru/images/thumb/0/0e/Hypothetical_mechanism_involved_in_the_process_of_optimal_learning.jpg/426px-Hypothetical_mechanism_involved_in_the_process_of_optimal_learning.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Hypothetical_mechanism_involved_in_the_process_of_optimal_learning.jpg) > 圖:在我題為《[學習的優化](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》(1990) 的碩士論文中,我提出了一些假想的概念,這些概念可能是基于[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)的優化學習過程的基礎。(A) 分子現象 (B) 突觸的定量變化。這些想法在今天已經有點過時了,但代表[記憶可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)的鋸齒狀曲線在關于[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)的流行出版物中廣為人知。它們通常被錯誤地認為是[赫爾曼-艾賓浩斯](https://supermemo.guru/wiki/Hermann_Ebbinghaus)的作品 到那個時候,我可能已經從文獻中形成了更好的想法。1986-1987 年,我花了很多時間在大學圖書館尋找關于[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)的優質研究。什么都沒有找到。我可能已經熟悉了由[艾賓浩斯](https://supermemo.guru/wiki/Ebbinghaus)確定的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)。我在[碩士論文](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)中提到了它。 ## 收集數據 當時,我在為我繪制于 [1984 年底](https://supermemo.guru/wiki/Hermann_Ebbinghaus_(1885)_and_spaced_repetition_(1985))的第一個[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)圖收集數據。由于所有的學習都是在 11 個月的時間里為學習而學習,而且繪制圖表的成本很低,所以我忘記了那張圖表,它在我的檔案中閑置了 34 年: [![The very first forgetting curve for the retention of English vocabulary plotted back in 1984, just a few months before designing SuperMemo on paper](https://supermemo.guru/images/thumb/d/d0/Forgetting_curve_for_retention_of_English_vocabulary_%281984%29.jpg/600px-Forgetting_curve_for_retention_of_English_vocabulary_%281984%29.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgetting_curve_for_retention_of_English_vocabulary_(1984).jpg) > 圖:[我](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak)最早的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve),繪制于 1984 年,即[設計紙上 SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)的幾個月前,是關于英語詞匯[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)的。這張圖并不是實驗的一部分,它只是對間歇性學習英語詞匯的結果的累積性評估。這張圖很快就被遺忘了。34 年后,我重新發現了這張圖。英語單詞共有 49 頁,每頁 40 對。我記憶這些單詞之后,在不同的時間間隔內進行復習,并記錄了回憶錯誤的數量。排除了異常值,取平均值,該曲線似乎遠沒有艾賓浩斯(1885)得到的曲線那么陡峭,他畫曲線時記憶的是無意義音節,遺忘測量方法也不同:重新學習時節省的時間 [我 1985 年的實驗](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)也可以被看作是收集[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)數據的一個未去干擾的嘗試。然而,最初 SuperMemos 并不關心[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)。優化的本質是開關型控制,盡管今天,收集[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)數據似乎是如此明顯的解決方案(就像在 1985 年)。 直到我開始用 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 軟件收集數據,每個記憶條目都能單獨研究,我才從我早期關于遺忘的錯誤想法中完全恢復過來。 [DOS 版 SuperMemo 1](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_for_DOS)(1987)能收集完整的重復歷史,因此便有可能確定遺忘性質。然而,短短 10 天內(1987 年 12 月 23 日),我不得不拋棄全部的重復記錄。當時,我的磁盤空間是 360KB,所以不得不如此。我在老式的 5.25 英寸軟盤中運行 SuperMemo。經過 [Janusz Murakowski](https://supermemo.guru/wiki/Janusz_Murakowski) 博士卓絕努力,記錄完整重復歷史的功能在 8 年后(1996 年 2 月 15 日)才回到 SuperMemo 中,他認為如果沒有這項功能,每一分鐘都是在浪費寶貴的數據,丟失未來算法和記憶研究的動力。20 年后,我們的數據多到處理不完。 沒有重復歷史,我仍然可以借助獨立收集的遺忘曲線數據來研究遺忘問題。1991 年 1 月 6 日,我想出了在小文件中記錄遺忘曲線的方法,這樣數據庫就不會過度膨脹(即沒有重復歷史的完整記錄)。 直到 [SuperMemo 6](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_6) 才開始收集遺忘曲線數據以確定最佳間隔時間(1991 年)。SuperMemo 6 所做的事情和[我的第一個實驗](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)是一樣的,只不過 SuperMemo 6 能夠自動化,大規模地收集數據,并且記憶都已經分離成一個個問題(這就解決了異質性的問題)。SuperMemo 6 最初使用二分查找算法來尋找與遺忘指數相對應的最佳時刻。之后還要 3 年才能找出最優的近似。 ## 第一條遺忘曲線的數據 到 1991 年 5 月,我有了首批一定量可供查看數據,然而我大失所望。我預測我需要一年的時間才能從數據中看到任何規律性。然而,每隔幾個月,我都要要記錄我對進展不足的失望。收集數據的進展緩慢得令人痛苦,漫長的等待難以忍受。一年后,我仍沒有更多進展。如果艾賓浩斯能夠用無意義的音節繪制出一條好的曲線,那么他忍受非[連貫性](https://supermemo.guru/wiki/Coherence)的痛苦一定是值得的。有了有意義的數據,真相就會得非常緩慢;盡管此時已有了電腦帶來的便利,學習的過程也充滿樂趣。 1992 年 9 月 3 日,適用于 Windows 的 SuperMemo 7 使人們有可能第一次很好地窺視到真正的遺忘曲線。這種景象令人陶醉: [![First peek at a pretty regular forgetting curve in SuperMemo 7 (1992)](https://supermemo.guru/images/thumb/a/a9/Forgetting_curve_in_SuperMemo_7.png/600px-Forgetting_curve_in_SuperMemo_7.png)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgetting_curve_in_SuperMemo_7.png) > 圖:Windows 版 SuperMemo 7 編寫于 1992 年。截至 1992 年 9 月 3 日,它能夠顯示用戶的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)圖。標有 [U-系數](https://supermemo.guru/wiki/U-Factor)的橫軸與這個特定圖表中的天數相對應。第 14 天和第 20 天之間的奇怪彎曲是很難確定遺忘性質的原因之一。舊的錯誤假設很難被推翻。直到第 13 天,遺忘似乎幾乎是線性的,也可能提供一個良好的指數擬合。我們又花了兩年的時間收集數據,才最終找到答案(來源:《SuperMemo 7:用戶指南》) ## 遺忘曲線近似 到 1994 年,我仍然不確定遺忘的性質。我匯集前三年(1991-1994 年)收集的數據,下定決心要一勞永逸地找出這條曲線。我把重點放在我自己的數據上,這些數據來自 20 多萬次的重復。然而,這并不容易。如果 SuperMemo 將在 R=0.9 下安排重復,你可以從 R=1.0 到 R=0.9 畫一條直線,這在未去干擾的數據中擬合得很好: [![Difficulty approximating forgetting curve](https://supermemo.guru/images/thumb/e/ea/Forgetting_curve_approximation_difficulty.png/800px-Forgetting_curve_approximation_difficulty.png)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgetting_curve_approximation_difficulty.png) > 圖:擬合[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve) 的困難。在 1994 年,在 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 中很難理解遺忘的本質,因為大多數數據都是在較高的[回憶率]https://supermemo.guru/wiki/Recall)范圍內收集的 我在 1994 年 5 月 6 日的筆記說明了這種近似有多不確定: 個人軼事。[為什么使用軼事?](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_anecdotes%3F) 1994 年 5 月 6 日。**一整天都在瘋狂地嘗試更好地近似遺忘曲線。首先我嘗試了 [R](https://supermemo.guru/wiki/Recall)=1-in/(Hn+in),其中 i - 間隔時間,H - 記憶半衰期,n - 合作性系數。到了晚上,我慢慢地讓它能工作起來了,但是......看來 r=exp(-a\*i) 的效果也差不了多少!即使是舊的線性近似也沒有差很多(S 型 D=8.6%,指數 D=8.8%,而線性 D=10。8%)。也許,遺忘的曲線確實是指數型的?2 點 50 分睡覺**。 要把線性、冪、指數、齊夫型、希爾型等等函數分開并不容易。一些難以區別的情況下,指數、冪甚至是線性近似帶來了相當好的結果。為了更清楚地看到遺忘的指數性質,[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)數據需要有較高的的[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability),且按[復雜性](https://supermemo.guru/wiki/Complexity)排序好。即使這樣的數據很少,觀察得卻更明白。 94 年中遇到了一個邏輯謬誤是,大部分數據都是在第一次復習收集的。開始學習的新項目仍然是異質性集合,這個集合服從遺忘的指數規律。 [![img](https://supermemo.guru/images/thumb/5/5a/Forgettingcurve.jpg/300px-Forgettingcurve.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgettingcurve.jpg) 用 SuperMemo 收集的新學知識的第一次復習后的遺忘曲線 后來,當數據按[復雜性](https://supermemo.guru/wiki/Complexity)和[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)排序時,它們開始變得指數化。在SM-6 算法中,復雜性和穩定性分別由 [E-系數](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor) 和重復次數來表達。這種表達并非盡善盡美,算法便有些瑕疵,最終排序也不完善。此外,當遺忘幾乎是線性的時候,SuperMemo 仍然是高保留率的。 截至 1994 年 5 月,我的[高級英語](https://supermemo.guru/wiki/Advanced_English)數據庫中的主要初次復習曲線收集了 18000 個數據點,這些數據似乎是最好的分析材料。然而,這條曲線包含了所有進入這個過程的學習材料,與它的難度無關。我無從得知這條曲線由冪律掌控。我的最佳偏差是 2.0。 在 2018 年繪制的類似曲線可見: [![Forgetting curve obtained in 2018 with SuperMemo 17 for average difficulty (A-Factor=3.9)](https://supermemo.guru/images/thumb/a/a4/Forgetting_curve_for_average_difficulty_%28A-Factor%3D3.9%29.png/400px-Forgetting_curve_for_average_difficulty_%28A-Factor%3D3.9%29.png)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgetting_curve_for_average_difficulty_(A-Factor%3D3.9).png) > 圖:在 2018 年使用 SuperMemo 17 獲得的平均難度(A-系數=3.9)下的遺忘曲線。其數據包含 19,315 次重復,最小二乘法偏差為 2.319,而這條曲線與 1994 年的曲線極為相似,只是它用指數函數來近似最好(冪函數的例子可參見:[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve). ## 指數式遺忘勝出 到 1994 年夏天,我足夠確信遺忘是指數的。到 1995 年,我們發表了[《記憶的兩個組成部分》](http://super-memory.com/english/2vm.htm),其中有公式 R=exp(-t/S)。我們的出版物在很大程度上仍然被主流科學所忽視,但網上一提到遺忘曲線,便屢屢提及我們的作品。 有趣的是,在 1966 年,諾貝爾獎得主[赫伯特-西蒙](https://en.wikipedia.org/wiki/Herbert_A._Simon)對[艾賓浩斯](https://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Ebbinghaus)在 1897 年的工作中得出的[約斯特定律](https://supermemo.guru/wiki/Jost's_Law)簡單做了研究。[西蒙注意到](https://supermemo.guru/wiki/Herbert_Simon_predicted_two_component_model_of_memory),[遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting)的指數性質說明記憶必然具備某種屬性,今天我們稱這種屬性為記憶[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)。西蒙就此寫了篇簡短的論文,之后就轉頭研究他手上的數百個其他項目了。這篇小文基本上被人遺忘了,然而,它是預言性的。1988 年,類似的推理是[長期記憶的兩個組成部分模型](https://supermemo.guru/wiki/Two_components_of_memory)的想法起源。 今天,關于指數特點的遺忘,我們還有一點推論。如果遺忘是指數級的,就意味著在單位時間內遺忘的概率是恒定的,這意味著神經網絡[干擾](https://supermemo.guru/wiki/Interference),也就意味著睡眠可能不是通過加強記憶來建立[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability),而是通過簡單地消除干擾的原因:多余的突觸。那么[朱利奧-托諾尼](https://en.wikipedia.org/wiki/Giulio_Tononi)認為睡眠中凈損失突觸的看法可能是正確的。然而,他認為這種損失是正常的。指數式遺忘表明此中更有深意。它可能是一種「[智能遺忘](https://supermemo.guru/wiki/Memory_optimization_in_sleep)」,這種遺忘干擾了在清醒時強化的關鍵記憶。 ## 負指數的遺忘曲線 直到 2005 年,關于遺忘的指數性質才有了更多文章。在 [Gorzelanczyk](https://supermemo.guru/wiki/Edward_Gorzelanczyk) 博士于一個波蘭建模會議上發表的論文中,我們寫道: 存檔警告:[為什么使用文字檔案?](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F) 盡管人們一直推測遺忘在本質上是指數式的,但證明這一事實從來都不容易。從放射性衰變到脫水中的木材,指數衰減在生物和物理系統中屢屢現身。這個模型出現在任何預期衰變率與樣本大小成正比,而且單粒子以恒定概率衰變的地方。自[艾賓浩斯(Ebbinghaus, 1885)的年代](https://supermemo.guru/wiki/Error_of_Ebbinghaus_forgetting_curve)以來,以下問題阻礙了遺忘建模: - 樣本量小 - 樣本異質性 - 混淆了[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)、再學習曲線、練習曲線、保留曲線、試驗學習曲線、錯誤曲線以及學習曲線族中的其他曲線 通過 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo),我們可以克服所有這些障礙來研究記憶衰減的本質。作為一個流行的商業應用程序,SuperMemo從世界各地的學生收集了大量的數據,并能非常自由地訪問這些數據。該程序的每個用戶都可以得到的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)圖(**[工具](http://help.supermemo.org/wiki/Tools_menu):[統計](http://help.supermemo.org/wiki/Tools_menu#Statistics):[分析](http://help.supermemo.org/wiki/Analysis):[遺忘曲線](http://help.supermemo.org/wiki/Analysis#Forgetting_Curves)**)是基于同質性較強的樣本繪制的,因而是對記憶衰減的真正反映(相對于其他形式的學習曲線)。不過,對異質性的追求大大影響了樣本的大小。值得注意的是,遺忘曲線對于不同記憶穩定性,和不同知識難度的材料是不同的。而[記憶穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)會影響衰減率,異質性學習材料使得遺忘曲線互相疊加,每條曲線衰減率不同。因此,即使在有幾十萬個單獨信息參與學習過程的機構中,也只能過濾出相對較小的同質化數據樣本。這些樣本大小很少超過幾千。即使如此,這些數據在質量上也遠遠勝過研究人員在受控條件下研究記憶特性的樣本。然而,遺忘的隨機性仍然使得我們很難對衰減函數的數學性質做出最終的判斷(見下面兩個例子)。在分析了幾十萬個樣本后,我們非常接近于說明記憶是一種指數衰減。 [![Exemplary forgetting curve sketched by SuperMemo](https://supermemo.guru/images/thumb/e/ea/Exemplary_forgetting_curve_1.jpg/800px-Exemplary_forgetting_curve_1.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Exemplary_forgetting_curve_1.jpg) > 圖:由 SuperMemo 畫出的示范性遺忘曲線。從數據庫中近一百萬個重復案例樣本里,找出平均難度和低穩定性(A-系數=3.9,S 在 [4,20])的數據,最終得到 5850 個重復案例(不到整個樣本的 1%)。紅線是回歸分析的結果,R=e-kt/S。用其他基本函數進行曲線擬合,表明指數衰減最能契合數據。圖中使用的時間量度是所謂的 U-系數,其定義為現在和以前的重復間隔的比值。請注意,在 R 處于 1 到 0.9 的范圍時,指數衰減可以合理地用一條直線來近似,而衰減若用冪函數刻畫的話就并非如此。 [![Exemplary forgetting curve sketched by SuperMemo](https://supermemo.guru/images/thumb/8/87/Exemplary_forgetting_curve_2.jpg/800px-Exemplary_forgetting_curve_2.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Exemplary_forgetting_curve_2.jpg) > 圖:由 SuperMemo 畫出的示范性遺忘曲線。從數據庫中的近百萬個重復案例篩選出平均難度和中等穩定性(A-系數=3.3,S>1 年)的案例,最終得到了 1082 個。紅線是按照 R=e-kt/S 回歸分析的結果。 ## 遺忘曲線:可提取性公式 在[SM-17 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 中,[可提取性 R](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)與[回憶](https://supermemo.guru/wiki/Recall)的概率相對應,并代表指數式[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)。可提取性是由[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)和[間隔](https://supermemo.guru/wiki/Interval)得出的: > R[n]:=exp-k*t/S[n-1] > > 其中: > > - R[n] - 第 n 次[重復](https://supermemo.guru/wiki/Repetition)時的[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability) > - k - 衰減常數 > - t - 時間([間隔](https://supermemo.guru/wiki/Interval)) > - S[n-1] - 第 n-1 次重復之后的[穩定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability) 如果有[項目](https://supermemo.guru/wiki/Item)很[難](https://supermemo.guru/wiki/Difficulty)或者項目難度不一的話,遺忘曲線就不是完全指數性質的,這種整潔的理論方法就變得有點復雜了。此外,[SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 中的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)可能會因為用戶策略而出現瑕疵。 在 [SM-8 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-8) 中,我們希望可提取性信息可以利用評分計算出。實際上實現不了。評分和可提取性之間的相關性很小,這主要是因為,[復雜](https://supermemo.guru/wiki/Complexity)項目的[評分](https://supermemo.guru/wiki/Grade)更差,而且往往被遺忘得更快(至少在開始時)。 ## 保留率與遺忘指數的關系 遺忘的指數性質意味著,測量的[遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)和[知識保留](https://supermemo.guru/wiki/Retention)之間的關系可以用以下公式準確表達: > Retention = -FI/ln(1-FI) > > 其中: > > - Retention - 整體知識的[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention),以分數表示(0..1), > - FI - [遺忘指數](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index),以分數表示(遺忘指數等于 1 減去重復時的知識保留率)。 例如,默認設定中,執行良好的[間隔重復](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)下,遺忘指數設為 0.1(即10%)時,保留率應該是 0.949(即 94.9%)。94.9% 這個數據說明,一開始指數衰減和線性函數極為相似。對于線性遺忘,保留率是 95.000%(即 100% 減去遺忘指數的一半)。 ## 劣質材料的遺忘曲線 1994 年,我的[學習集](https://supermemo.guru/wiki/Collection)基本上都有很好的表述,因此我很幸運。而 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 的用戶往往不是這樣的。對于表述質量差的[項目](https://supermemo.guru/wiki/Item) 來說,[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)是扁平化的,而不是純粹的指數型(如[幾個指數型曲線的疊加](https://supermemo.guru/wiki/History_of_spaced_repetition_(print)#Power_law_emerges_in_superposition_of_exponential_forgetting_curves))。SuperMemo 永遠無法預測某個項目在哪個時刻遺忘。遺忘是隨機過程,只有其平均值才能計算。有一個流傳甚廣的 SuperMemo 謬論是,SuperMemo 可以預測遺忘的確切時刻:這不是真的,也不可能。SuperMemo 所做的是尋找一些[間隔](https://supermemo.guru/wiki/Interval),在這些間隔內,給定項目難度,遺忘概率很可能為特定的值(例如 10%)。那些扁平化的遺忘曲線引發了一個悖論。忽略復雜項目后,即使長期中斷復習,也可能記住很多材料。即使是純粹的負指數遺忘曲線,區間估計的 10 倍偏差也會導致 R2=exp10*ln(R1) 差異的[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)差異。這相當于從 98% 下降到 81%。對于典型的劣質項目的扁平化遺忘曲線,這個下降可能只有 98%->95%。這就說明將復雜的材料保持在較低的[優先級](https://supermemo.guru/wiki/Priority_queue)是好的學習策略。 ## 冪律出現在指數遺忘曲線的疊加中 為了說明同質樣本對于研究[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)的重要性,讓我們看看將困難的知識與容易的知識混合后,遺忘曲線形狀如何變化。下列圖表說明,為什么利用異質樣本可能得出遺忘性質的錯誤結論。本演示中的異質樣本甚至用冪函數來近似是最優的!冪函數來自于指數型遺忘曲線的平均化,這一事實早先已經有其他記載(Anderson&Tweney 1997;Ritter&Schooler, 2002)。 [![Heterogenous forgetting index](https://supermemo.guru/images/b/b2/Heterogenous_forgetting_index.gif)](https://supermemo.guru/wiki/File:Heterogenous_forgetting_index.gif) > 圖:[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)的疊加可能導致遺忘的指數性質被掩蓋。考慮由兩種類型記憶組合成的樣本: 50% 的記憶穩定性為 S=1 (細黃線),50% 的記憶穩定性為 S=40 (細紫線)。疊加的遺忘曲線自然會表現出可提取性 R=0.5\*Ra+0.5\*Rb=0.5\*(e-k\*t+e-k\*t/40)。這樣一個復合樣本的遺忘曲線在圖中以黑點描出。藍色粗線表示指數近似值(R2=0.895),紅色粗線表示同一曲線的冪近似值(R2=0.974)。在這種情況下,冪函數最契合數據,盡管樣本子集的遺忘是負指數式的。 [SuperMemo 17](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_17) 還包括一條最適合用冪函數近似的[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)。這是記憶項目后的第一條遺忘曲線。在記憶的時候,我們不知道項目的[復雜性](https://supermemo.guru/wiki/Complexity)這一概念。這就是為什么材料是異質性的,而遺忘曲線是冪函數近似的。 [![The first review forgetting curve for newly learned knowledge collected with SuperMemo](https://supermemo.guru/images/thumb/5/5a/Forgettingcurve.jpg/600px-Forgettingcurve.jpg)](https://supermemo.guru/wiki/File:Forgettingcurve.jpg) 圖:[第一條遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/First_forgetting_curve),數據來自新學知識,用 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 收集。由于學習過程中新引入的學習材料是異質的,因此使用了冪函數近似。項目未按照[記憶復雜性](https://supermemo.guru/wiki/Memory_complexity)區分,結果圖線為衰減常數不同的指數型遺忘的疊加。在半對數圖上,冪函數回歸曲線是對數的(黃色),而且看起來幾乎是直線。曲線顯示,在所提出的案例中,回憶率在四年內僅僅下降到 58%,可以歸功于所記憶的知識在現實生活中經歷了多次使用。在[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)為 90% 的情況下,復習的第一個[最優間隔](https://supermemo.guru/wiki/Optimum_interval)是 3.96 天。[遺忘曲線](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)可以用公式 R=0.9906\*power(interval,-0.07) 來描述,其中 0.9906 是一天后的回憶率,而 -0.07 是衰減常數。在這種情況下,由該公式可得出 4 天后回憶率為 90% 。本圖線使用了 80,399 次重復來繪制。如果材料中[困難](https://supermemo.guru/wiki/Memory_complexity)知識較高比例(尤其是[表述不清的知識](https://supermemo.guru/wiki/20_rules)),或者是學生初次接觸,助記能力較差,回憶率會較大幅度地下降。間隔 15-20 處曲線較不規則,這是因為重復樣本數量不夠(在對數表上后來的間隔類別包含了更大的間隔范圍)
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