# 最長遞增子序列大小（`N log N`）
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/longest-monotonically-increasing-subsequence-size-n-log-n/](https://www.geeksforgeeks.org/longest-monotonically-increasing-subsequence-size-n-log-n/)
給定一個隨機數數組。 在數組中找到最長的[遞增子序列](http://en.wikipedia.org/wiki/Substring)（LIS）。 我知道你們中許多人可能已經閱讀[遞歸和動態編程](https://www.geeksforgeeks.org/longest-increasing-subsequence-dp-3/)（DP）解決方案。 論壇帖子中很少有人要求[`O(N log N)`](http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence#Efficient_algorithms)算法。
暫時，無需考慮遞歸和 DP 解決方案。 讓我們抽取少量樣本并將解決方案擴展到大型實例。 盡管乍一看可能很復雜，但是一旦我們理解了邏輯，編碼就很簡單。
考慮輸入數組`A = {2, 5, 3}`。 我將在解釋過程中擴展數組。
通過觀察，我們知道 LIS 是`{2, 3}`或`{2, 5}`。 **請注意，我僅考慮嚴格增加的序列**。
讓我們再添加兩個元素，例如 7、11。 這些元素將擴展現有序列。 現在，輸入數組`{2, 5, 3, 7, 11}`的遞增序列為`{2, 3, 7, 11}`和`{2, 5, 7, 11}`。
此外，我們在數組中再添加一個元素，例如 8，即輸入數組變為`{2, 5, 3, 7, 11, 11}`。 請注意，最新元素 8 大于任何活動序列的最小元素（*將簡短討論活動序列*）。 如何將現有序列擴展為 8？ 首先，8 可以成為 LIS 的一部分嗎？ 如果是，怎么辦？ 如果我們要添加 8，它應該在 7 之后（通過替換 11）。
由于此方法是*脫機（我們的意思是[脫機](https://www.geeksforgeeks.org/median-of-stream-of-integers-running-integers/)嗎？）*，因此我們不確定是否添加 8 將擴展該系列。 假設輸入數組中有 9 個，例如`{2, 5, 3, 7, 11, 11, 8, 7, 9, …}`。 我們可以將 8 替換為 11，因為可能存在*最佳*候選（9），可以擴展新系列`{2, 3, 7, 8}`或`{2, 5, 7, 8}`。
我們的觀察結果是，假設最大序列的結尾元素為`E`。如果存在元素`A[j] (j > i)`，我們可以向現有序列中添加（替換）當前元素`E < A[i] < A[j]`或（`E > A[i] < A[j]` – 用于替換）。 在上面的示例中，`E = 11`，`A[i] = 8`，`A[j] = 9`。
對于原始數組`{2, 5, 3}`，請注意，當我們將 3 添加到遞增序列`{2, 5}`時，我們會遇到相同的情況。 我只是創建了兩個遞增的序列，以使說明變得簡單。 3 可以代替序列`{2, 5}`中的 5，而不是兩個序列。
我知道這會令人困惑，我會盡快清除它！
*問題是，什么時候可以安全地添加或替換現有序列中的元素？*
讓我們考慮另一個樣本`A = {2, 5, 3}`。 假設下一個元素是 1。如何擴展當前序列`{2, 3}`或`{2, 5}`。 顯然，它也不能擴展。 但是，新的最小元素有可能成為 LIS 的開始。 為了清楚起見，請考慮數組為`{2, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6}`。 將 1 設為新序列將創建最大的新序列。
*觀察結果是，當我們遇到數組中的新最小元素時，它可能是開始新序列的潛在候選者。*
從觀察中，我們需要維護遞增序列的列表。
總的來說，我們有一組**活動列表**不同長度。 我們將元素`A[i]`添加到這些列表中。 我們以長度減少的順序掃描列表（用于結束元素）。 我們將驗證所有列表的末端元素，以找到一個末端元素小于`A[i]`（*下限*值）的列表。
我們的策略由以下條件決定，
```
1\. If A[i] is smallest among all *end*
candidates of active lists, we will *start*
new active list of length 1.
```
```
2\. If A[i] is largest among all *end* candidates of
active lists, we will clone the *largest* active
list, and extend it by A[i].
```
```
3\. If A[i] is in between, we will find a list with
*largest end element that is smaller than* A[i].
Clone and extend this list by A[i]. We will discard all
other lists of same length as that of this modified list.
```
請注意，在構造活動列表的任何時候，都將保持以下條件。
*“較小列表的末尾元素小于較大列表的末尾元素”* 。
舉一個很明顯的例子，使用 [Wiki](http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence) `{0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 1, 9, 5, 13, 13, 3, 11, 7 , 15}`。
```
A[0] = 0\. Case 1\. There are no active lists, create one.
0.
-----------------------------------------------------------------------------
A[1] = 8\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 8.
-----------------------------------------------------------------------------
A[2] = 4\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 4.
0, 8. Discarded
-----------------------------------------------------------------------------
A[3] = 12\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 4.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[4] = 2\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 4. Discarded.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[5] = 10\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 10.
0, 4, 12. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[6] = 6\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 10. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[7] = 14\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[8] = 1\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2. Discarded.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[9] = 9\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 14. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[10] = 5\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6. Discarded.
0, 2, 6, 9.
-----------------------------------------------------------------------------
A[11] = 13\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[12] = 3\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 5. Discarded.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[13] = 11\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 13. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[14] = 7\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9. Discarded.
0, 2, 6, 9, 11.
----------------------------------------------------------------------------
A[15] = 15\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 11, 15\. <-- LIS List
----------------------------------------------------------------------------
```
設計算法需要了解以上策略。 另外，確保我們保持以下條件：“較小列表的*結束元素小于較大列表*的結束元素”。 在進一步閱讀之前，請嘗試其他一些示例。 重要的是要了解結束元素發生了什么。
**算法**：
查詢最長的長度相當容易。 請注意，我們僅處理末端元素。 我們不需要維護所有列表。 我們可以將結束元素存儲在數組中。 丟棄操作可以通過替換進行模擬，并且擴展列表類似于向數組添加更多元素。
我們將使用輔助數組來保留結束元素。 該數組的最大長度是輸入的長度。 在最壞的情況下，數組會分成`N`個大小為 1 的列表（*注意，這不會導致最壞情況下的復雜性*）。 要丟棄一個元素，我們將在輔助數組中跟蹤`A[i]`的`ceil`值（再次觀察您的粗略工作中的末端元素），并將`ceil`值替換為`A[i]`。 我們通過將元素添加到輔助數組來擴展列表。 我們還維護一個計數器來跟蹤輔助數組的長度。
**Bonus:**?You have learnt?[Patience Sorting](http://en.wikipedia.org/wiki/Patience_sorting)?technique partially ??
Here is a proverb, “*Tell me and I will forget. Show me and I will remember. Involve me and I will understand*.” So, pick a suit from deck of cards. Find the longest increasing sub-sequence of cards from the shuffled suit. You will never forget the approach. ??
**更新 – 2016 年 7 月 17 日**：讀者們的回響頗為深刻，很少有網站引用此帖子，感到很高興，因為我為別人提供幫助而感到辛苦。 看來讀者在發表評論之前沒有做任何功課。 閱讀本文后要求閱讀一些示例，并請在紙上做您的工作（請勿使用編輯器/編譯器）。 要求是幫助自己。 對``知道''的專業不同于真正的理解（不尊重）。 以下是我的個人經歷。
*最初的內容準備工作大約花了我 6 個小時。 但是，這是一個很好的教訓。 我在一個小時內完成了初始代碼。 當我開始寫內容向讀者解釋時，我意識到我不理解這些案例。 拿了我的筆記本（我習慣于裝訂綁定的筆記本以跟蹤我的粗略工作），幾個小時后，我填寫了將近 15 頁的粗略工作。 無論您在灰色示例中看到的內容是來自這些頁面的。 我強烈建議您實踐《Udi Manber 算法入門》一書中的注釋觸發解決方案的所有思考過程。*
我懷疑，許多讀者可能無法理解`CeilIndex`（二分搜索）背后的邏輯。 我把它作為練習讓讀者理解它是如何工作的。 在紙上瀏覽幾個示例。 我意識到我已經在[另一篇文章](https://www.geeksforgeeks.org/the-ubiquitous-binary-search-set-1/)中介紹了該算法。
**更新 – 2016 年 8 月 5 日**：
完成工作后，以下鏈接值得參考。 我通過最近創建的 **Disqus** 個人資料認識了該鏈接。 該鏈接具有 Wiki 中提到的方法的說明。
[http://stackoverflow.com/questions/2631726/how-to-determine-the-longest-increasing-subsequence-using-dynamic-programming](http://stackoverflow.com/questions/2631726/how-to-determine-the-longest-increasing-subsequence-using-dynamic-programming)
下面給出的是查找 LIS 長度的代碼（*更新為 C++ 11 代碼，沒有 C 樣式的數組*），
## C++
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
// Binary search (note boundaries in the caller)
int CeilIndex(std::vector<int>& v, int l, int r, int key)
{
????while (r - l > 1) {
????????int m = l + (r - l) / 2;
????????if (v[m] >= key)
????????????r = m;
????????else
????????????l = m;
????}
????return r;
}
int LongestIncreasingSubsequenceLength(std::vector<int>& v)
{
????if (v.size() == 0)
????????return 0;
????std::vector<int> tail(v.size(), 0);
????int length = 1; // always points empty slot in tail
????tail[0] = v[0];
????for (size_t i = 1; i < v.size(); i++) {
????????// new smallest value
????????if (v[i] < tail[0])
????????????tail[0] = v[i];
????????// v[i] extends largest subsequence
????????else if (v[i] > tail[length - 1])
????????????tail[length++] = v[i];
????????// v[i] will become end candidate of an existing
????????// subsequence or Throw away larger elements in all
????????// LIS, to make room for upcoming grater elements
????????// than v[i] (and also, v[i] would have already
????????// appeared in one of LIS, identify the location
????????// and replace it)
????????else
????????????tail[CeilIndex(tail, -1, length - 1, v[i])] = v[i];
????}
????return length;
}
int main()
{
????std::vector<int> v{ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
????std::cout << "Length of Longest Increasing Subsequence is "
??????????????<< LongestIncreasingSubsequenceLength(v) << '\n';
????return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to find length of longest increasing subsequence
// in O(n Log n) time
import java.io.*;
import java.util.*;
import java.lang.Math;
class LIS {
????// Binary search (note boundaries in the caller)
????// A[] is ceilIndex in the caller
????static int CeilIndex(int A[], int l, int r, int key)
????{
????????while (r - l > 1) {
????????????int m = l + (r - l) / 2;
????????????if (A[m] >= key)
????????????????r = m;
????????????else
????????????????l = m;
????????}
????????return r;
????}
????static int LongestIncreasingSubsequenceLength(int A[], int size)
????{
????????// Add boundary case, when array size is one
????????int[] tailTable = new int[size];
????????int len; // always points empty slot
????????tailTable[0] = A[0];
????????len = 1;
????????for (int i = 1; i < size; i++) {
????????????if (A[i] < tailTable[0])
????????????????// new smallest value
????????????????tailTable[0] = A[i];
????????????else if (A[i] > tailTable[len - 1])
????????????????// A[i] wants to extend largest subsequence
????????????????tailTable[len++] = A[i];
????????????else
????????????????// A[i] wants to be current end candidate of an existing
????????????????// subsequence. It will replace ceil value in tailTable
????????????????tailTable[CeilIndex(tailTable, -1, len - 1, A[i])] = A[i];
????????}
????????return len;
????}
????// Driver program to test above function
????public static void main(String[] args)
????{
????????int A[] = { 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
????????int n = A.length;
????????System.out.println("Length of Longest Increasing Subsequence is " + LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n));
????}
}
/* This code is contributed by Devesh Agrawal*/
```
## Python3
```py
# Python program to find
# length of longest
# increasing subsequence
# in O(n Log n) time
# Binary search (note
# boundaries in the caller)
# A[] is ceilIndex
# in the caller
def CeilIndex(A, l, r, key):
????while (r - l > 1):
????????m = l + (r - l)//2
????????if (A[m] >= key):
????????????r = m
????????else:
????????????l = m
????return r
def LongestIncreasingSubsequenceLength(A, size):
????# Add boundary case,
????# when array size is one
????tailTable = [0 for i in range(size + 1)]
????len = 0 # always points empty slot
????tailTable[0] = A[0]
????len = 1
????for i in range(1, size):
????????if (A[i] < tailTable[0]):
????????????# new smallest value
????????????tailTable[0] = A[i]
????????elif (A[i] > tailTable[len-1]):
????????????# A[i] wants to extend
????????????# largest subsequence
????????????tailTable[len] = A[i]
????????????len+= 1
????????else:
????????????# A[i] wants to be current
????????????# end candidate of an existing
????????????# subsequence. It will replace
????????????# ceil value in tailTable
????????????tailTable[CeilIndex(tailTable, -1, len-1, A[i])] = A[i]
????return len
# Driver program to
# test above function
A = [ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 ]
n = len(A)
print("Length of Longest Increasing Subsequence is ",
???????LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n))
# This code is contributed
# by Anant Agarwal.
```
## C#
```cs
// C# program to find length of longest
// increasing subsequence in O(n Log n)
// time
using System;
class GFG {
????// Binary search (note boundaries
????// in the caller) A[] is ceilIndex
????// in the caller
????static int CeilIndex(int[] A, int l,
?????????????????????????int r, int key)
????{
????????while (r - l > 1) {
????????????int m = l + (r - l) / 2;
????????????if (A[m] >= key)
????????????????r = m;
????????????else
????????????????l = m;
????????}
????????return r;
????}
????static int LongestIncreasingSubsequenceLength(
????????int[] A, int size)
????{
????????// Add boundary case, when array size
????????// is one
????????int[] tailTable = new int[size];
????????int len; // always points empty slot
????????tailTable[0] = A[0];
????????len = 1;
????????for (int i = 1; i < size; i++) {
????????????if (A[i] < tailTable[0])
????????????????// new smallest value
????????????????tailTable[0] = A[i];
????????????else if (A[i] > tailTable[len - 1])
????????????????// A[i] wants to extend largest
????????????????// subsequence
????????????????tailTable[len++] = A[i];
????????????else
????????????????// A[i] wants to be current end
????????????????// candidate of an existing
????????????????// subsequence. It will replace
????????????????// ceil value in tailTable
????????????????tailTable[CeilIndex(tailTable, -1,
????????????????????????????????????len - 1, A[i])]
????????????????????= A[i];
????????}
????????return len;
????}
????// Driver program to test above function
????public static void Main()
????{
????????int[] A = { 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
????????int n = A.Length;
????????Console.Write("Length of Longest "
??????????????????????+ "Increasing Subsequence is " + LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n));
????}
}
// This code is contributed by nitin mittal.
```
## PHP
```php
<?php
// PHP program to find
// length of longest
// increasing subsequence
// in O(n Log n) time
// Binary search (note
// boundaries in the caller)
// A[] is ceilIndex
// in the caller
function CeilIndex($A, $l, $r, $key)
{
????while ($r - $l > 1)
????{
????????$m = (int)($l + ($r - $l)/2);
????????if ($A[$m] >= $key)
????????????$r = $m;
????????else
????????????$l = $m;
????}
????return $r;
}
function LongestIncreasingSubsequenceLength($A, $size)
{
????// Add boundary case,
????// when array size is one
????$tailTable = array_fill(0, ($size + 1), 0);
????$len = 0; // always points empty slot
????$tailTable[0] = $A[0];
????$len = 1;
????for($i = 1; $i < $size; $i++)
????{
????????if ($A[$i] < $tailTable[0])
????????????// new smallest value
????????????$tailTable[0] = $A[$i];
????????else if ($A[$i] > $tailTable[$len-1])
????????{
????????????// A[i] wants to extend
????????????// largest subsequence
????????????$tailTable[$len] = $A[$i];
????????????$len++;
????????}
????????else
????????????// A[i] wants to be current
????????????// end candidate of an existing
????????????// subsequence. It will replace
????????????// ceil value in tailTable
????????????$tailTable[CeilIndex($tailTable, -1, $len-1, $A[$i])] = $A[$i];
????}
????return $len;
}
// Driver program to
// test above function
$A = array( 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 );
$n = count($A);
print("Length of Longest Increasing Subsequence is ".
????????LongestIncreasingSubsequenceLength($A, $n));
// This code is contributed by chandan_jnu
?>
```
**輸出**：
```
Length of Longest Increasing Subsequence is 6
```
**復雜度**：
循環運行`N`個元素。 在最壞的情況下（什么是最壞情況的輸入？），我們最終可能會使用二分搜索（`log i`）來查詢許多`A[i]`的`ceil`值。
因此，`T(n) < O(log N!)= O(N log N)`。 分析以確保上限和下限也是`O(N log N)`。 復雜度為`THETA(N log N)`。
**練習**：
1. [設計一種算法，以構造最長的遞增列表](https://www.geeksforgeeks.org/construction-of-longest-monotonically-increasing-subsequence-n-log-n/)。 另外，使用 DAG 對解決方案進行建模。
2. 設計一種算法，以構造**所有**的列表，這些列表具有相同的最長大小。
3. 上述算法是*在線*算法嗎？
4. 設計一種算法來構造最長的*遞減*列表。
[**在 C++ 中使用`lower_bound()`的替代實現**](https://www.geeksforgeeks.org/lower_bound-in-cpp/)
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;?
int LongestIncreasingSubsequenceLength(std::vector<int>& v)?
{?
????if (v.size() == 0)?
????????return 0;?
????std::vector<int> tail(v.size(), 0);?
????int length = 1; // always points empty slot in tail?
????tail[0] = v[0];?
????for (int i = 1; i < v.size(); i++) {?
????????????// Do binary search for the element in?
????????????// the range from begin to begin + length
????????auto b = tail.begin(), e = tail.begin() + length;
????????auto it = lower_bound(b, e, v[i]);?
????????// If not present change the tail element to v[i]?
????????if (it == tail.begin() + length)
????????tail[length++] = v[i];?
????????else???
????????*it = v[i];?
????}?
????return length;?
}?
int main()?
{?
????std::vector<int> v{ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };?
????std::cout << "Length of Longest Increasing Subsequence is "
????????????<< LongestIncreasingSubsequenceLength(v);?
????return 0;?
}?
```
輸出：
```
Length of Longest Increasing Subsequence is 6
```
— [Venki](http://www.linkedin.com/in/ramanawithu) 。 如果發現任何不正確的地方，或者想分享有關上述主題的更多信息，請寫評論。
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- 拆分數組并將第一部分添加到末尾
- 重排
- 重新排列數組，使arr[i] = i
- 編寫程序以反轉數組或字符串
- 重新排列數組，如果i為偶數則arr[i] >= arr[j]，如果i為奇數且j < i則 arr[i] <= arr[j]
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- 使用內置排序功能重新排列正數和負數
- 重新排列數組，使偶數位置大于奇數
- 按順序重新排列數組-最小，最大，第二個最小，第二個最大..
- 將第一個元素加倍，然后將零移動到結尾
- 根據給定的索引對數組重新排序
- 用恒定的額外空間重新排列正數和負數
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- 將所有負元素移動到最后，并留出足夠的空間
- 重新排列數組，使偶數索引元素較小而奇數索引元素較大
- 正數元素位于偶數位置，負數元素位于奇數位置（不保持相對順序）
- 用上一個和下一個的乘法替換每個數組元素
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- 在線性時間內找到大小為 3 的排序子序列
- 最大數目等于 0 和 1 的子數組
- 最大產品子數組
- 用右側的最大元素替換每個元素
- 最大循環子數組總和
- 最長遞增子序列的構造（N log N）
- 按頻率對元素排序| 系列 2
- 最大化圓形數組中的連續差之和
- 根據另一個數組定義的順序對數組進行排序
- 查找索引 0 替換為 1，以獲得二進制數組中最長的連續序列 1s
- 在給定范圍內對數組進行三向分區
- 從兩個給定排序數組的備用元素生成所有可能的排序數組
- 安排彼此相鄰的線對所需的最小交換次數
- 將數組轉換為 Zig-Zag 風格
- 從給定序列中形成最小數
- 將兩個連續的相等值替換為一個更大的值
- 重新排列二進制字符串作為 x 和 y 的交替出現
- 數組中不同的相鄰元素
- 不使用多余空間將 2n 個整數隨機排列為 a1-b1-a2-b2-a3-b3-.bn
- 合并 k 個排序的數組| 系列 1
- 訂單統計
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 系列 1
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 系列 2（預期線性時間）
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 組合 3（最壞情況的線性時間）
- 使用 STL 的第 K 個最小/最大元素
- 數組中的 k 個最大（或最小）元素| 添加了最小堆方法
- 按行和按列排序的 2D 數組中的 Kth 個最小元素| 系列 1
- 程序以查找數組中的最大元素
- 查找數組中最大的三個元素
- 查找數組中至少有兩個大元素的所有元素
- 未排序數組的均值和中位數的程序
- 使用 STL 的運行整數流的中位數
- 正整數數組中 k 個整數的最小積
- 第 K 個最大和的連續子數組
- 來自兩個數組的 K 個最大和組合
- 重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 非重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 使用O(1)額外空間按相同順序排列 k 個最小元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- 數組中兩個元素的第 k 個最小絕對差
- 在數組中查找第二大元素
- 查找給定數組中出現次數最多的 k 個數字
- 查找數組中的最小和第二個最小元素
- 尋找最小的遺失號碼
- 使得兩個元素都不相鄰的最大和
- 使用最少數量的比較的數組的最大值和最小值
- 兩個元素之間的最大差異，使得較大的元素出現在較小的數字之后
- 給定數組 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑動窗口（大小為 k 的所有子數組的最大值）
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 在先增加然后減少的數組中找到最大元素
- 計算右側較小的元素
- 最長遞增子序列大小（N log N）
- 查找未排序數組中缺失的最小正數| 系列 1
- 在O(n)時間和O(1)多余空間中找到最大重復數
- 給定大小為 n 且數字為 k 的數組，找到出現次數超過 n / k 次的所有元素
- 找出長度為 3 且具有最大乘積的遞增子序列
- 兩個數組中的最大求和路徑
- 從兩個排序的數組中找到最接近的對
- 在未排序的數組中找到最大的對和
- 整個數組中最小的較大元素
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 在線檢查回文的在線算法
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 找到要翻轉的零，以使連續的 1 的數目最大化
- 計算嚴格增加的子數組
- 流中的第 K 個最大元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- k 元素組與數組其余部分之間的最大差值。
- 要使中位數等于 x 的最小元素數量
- 下一個更大的元素
- 范圍查詢
- MO 的算法（查詢平方根分解）| 系列 1（簡介）
- Sqrt（或平方根）分解技術 系列 1（簡介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表進行范圍總和查詢
- 范圍最小查詢（平方根分解和稀疏表）
- 數組元素的頻率范圍查詢
- 數組上的恒定時間范圍添加操作
- 范圍 LCM 查詢
- 數組中給定索引范圍的 GCD
- 查詢給定數組中所有數字的 GCD（給定范圍內的元素除外）
- 給定子數組中小于或等于給定數目的元素數
- 給定子數組中小于或等于給定數字的元素數| 第 2 組（包括更新）
- 查詢值在給定范圍內的數組元素的計數
- 查詢二進制數組的子數組的十進制值
- 計算將 L-R 范圍內的所有數字相除的元素
- 給定數組范圍的 XOR 之和最大的數字
- 在給定范圍內出現偶數次的數字的 XOR
- 范圍查詢中的數組范圍查詢
- 數組范圍查詢以搜索元素
- 數組范圍查詢頻率與值相同的元素
- 給定范圍內的最大出現次數
- 給定范圍內具有相等元素的索引數
- 合并排序樹以獲取范圍順序統計信息
- 范圍內沒有重復數字的總數
- 差異數組|O(1)中的范圍更新查詢
- 對數組的范圍查詢，其每個元素都是索引值與前一個元素的 XOR
- 查找子數組是否為山脈形式
- 范圍總和查詢，無更新
- 子數組中的素數（帶有更新）
- 在二進制數組中檢查子數組表示的數字是奇數還是偶數
- 用于乘法，替換和乘積的數組查詢
- 數組范圍的平均值
- 執行加減命令后打印修改后的數組
- 在給定范圍內對偶數或奇數概率的查詢
- 數組中范圍的乘積
- 計算范圍內的素數
- M 個范圍切換操作后的二進制數組
- 合并重疊間隔
- 檢查給定間隔中是否有兩個間隔重疊
- 間隔之和與除數的更新
- 多次數組范圍遞增操作后打印修改后的數組
- 范圍最大奇數的 XOR 查詢
- 查詢子數組中不同元素的數量
- 計數和切換二進制數組上的查詢
- 數組中的最小-最大范圍查詢
- 優化問題
- 最大總和連續子數組
- 通過最多買賣兩次股份獲得最大利潤
- 查找平均數最少的子數組
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 最小化高度之間的最大差異
- 到達終點的最小跳數
- 最大總和增加子序列| DP-14
- 總和大于給定值的最小子數組
- 查找 k 個長度的最大平均子數組
- 計算最小步數以獲得給定的所需數組
- 乘積小于 k 的子集數
- 查找使數組回文的最小合并操作數
- 查找不能表示為給定數組的任何子集之和的最小正整數值
- 具有最大總和的子數組的大小
- 找出任何兩個元素之間的最小差異
- 使用位操作進行空間優化
- 兩個二進制數組中具有相同總和的最長跨度
- 排序
- 替代排序
- 對幾乎排序（或 K 排序）的數組進行排序
- 根據給定值的絕對差對數組進行排序
- 以波形形式對數組進行排序
- 將大小為 n 的數組合并為大小為 m + n 的另一個數組
- 對包含 1 到 n 個值的數組進行排序
- 通過交換相鄰元素將 1 排序為 N
- 對包含兩種類型元素的數組進行排序
- 按頻率對元素排序| 系列 1
- 計算數組中的反轉 系列 1（使用合并排序）
- 兩個元素的和最接近零
- 最短無序子數組
- 排序數組所需的最小交換次數
- 兩個排序數組的并集和交集
- 查找兩個未排序數組的并集和交集
- 對 0、1 和 2 的數組進行排序
- 找到最小長度未排序子數組，進行排序，使整個數組排序
- 中位數為整數流（運行整數）
- 計算可能的三角形數量
- 查找數組中的對數（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 計算所有等于 k 的不同對
- 打印給定整數數組的所有不同元素
- 從其對和數組構造一個數組
- 合并兩個有O(1)額外空間的排序數組
- 第一個數組中的最大值與第二個數組中的最小值的乘積
- 對數（a [j] > = a [i]）的對數，其中 k 個范圍在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 隨機對為最大加權對的概率
- AP 數組中存在的最小解排列（算術級數）
- 對兩個數組的最小乘積之和進行重新排列
- 將數組劃分為 k 個片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘積對為正整數數組
- 計算形成最小產品三胞胎的方法
- 檢查是否反轉子數組使數組排序
- 使用另一個數組最大化元素
- 使兩個數組的元素相同，最小增減
- 檢查是否有任何間隔完全重疊
- 除子數組中的元素外，對數組進行排序
- 對除一個以外的所有數組元素進行排序
- 排序二進制數組所需的最小相鄰交換
- 按數組中出現的元素順序對鏈接列表進行排序
- 打印數組中排序的不同元素
- 可以單獨排序以進行排序的最大分區數
- 使用 STL 根據因素數量進行排序
- 每次取下最小的鋼絲繩后剩下的鋼絲繩
- 數組中所有元素的排名
- 合并 3 個排序的數組
- 使數組遞減的最小減法運算數
- 最大化 arr [i] * i 的總和
- 差異小于 K 的對
- 按排序順序合并兩個未排序的數組
- 從兩個數組最大化唯一對
- 應用給定方程后對數組排序
- 每個數組元素的最小絕對差之和
- 查找是否可以使用一個外部數字使數組元素相同
- 兩個未排序數組之間的最小差值對
- 程序檢查數組是否排序（迭代和遞歸）
- 查找大于數組中一半元素的元素
- 使兩個數組相同的最小交換
- 要添加的元素，以便數組中存在某個范圍的所有元素
- 正在搜尋
- 搜索，插入和刪除未排序的數組
- 在排序的數組中搜索，插入和刪除
- 給定數組 A []和數字 x，請檢查 A []中的對，總和為 x
- 在相鄰項最多相差 k 的數組中搜索
- 在三個排序的數組中查找共同的元素
- 在無數排序數組中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之間的唯一重復元素
- 查找在數組中一次出現的元素，其中每個其他元素出現兩次
- 排除某些元素的最大子數組總和
- 數組中的最大平衡和
- 數組的平衡指數
- 領導者數組
- 天花板排列
- 多數元素
- 檢查排序數組中的多數元素
- 檢查數組是否具有多數元素
- 兩指針技術
- 查找峰元素
- 找到給定數組中的兩個重復元素
- 在給定的數組中找到一個固定點（等于索引的值）
- 查找給定總和的子數組| 系列 1（負數）
- 數組中的最大三元組和
- 來自三個數組的最小差異三元組
- 查找一個三元組，將其總和成給定值
- 找到所有零和的三元組
- 所有合計給定值的唯一三元組
- 計算總數小于給定值的三元組
- 打印形成 AP 的排序數組中的所有三元組
- XOR 為零的唯一三元組數
- 找到一個三元組，使得兩個和等于第三元素
- 查找出現次數的奇數
- 查找丟失的號碼
- 計算排序數組中的出現次數（或頻率）
- 給定一個已排序的數組和一個數字 x，在數組中找到總和最接近 x 的對
- 在排序的二進制數組中計數 1
- 在整數數組中找到第一個重復元素
- 從重復的數組中查找丟失的元素
- 找到重復的和丟失的| 添加了 3 種新方法
- 在未排序的數組中找到出現奇數的兩個數字
- 找到具有給定差異的一對
- 找到四個總和為給定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四個總和為給定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一個總和為 0 的子數組
- 在相鄰元素之間的差為 1 的數組中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 檢查數組中是否存在兩個元素的總和等于數組其余部分的總和
- 檢查給定數組是否包含彼此之間 k 距離內的重復元素
- 使用最少的比較次數搜索未排序數組中的元素
- 連續元素排序數組中僅重復元素的計數
- 在頻率大于或等于 n / 2 的排序數組中查找元素。
- 圓形數組中相鄰元素的最小絕對差
- 在數組中找到第一個，第二個和第三個最小元素
- 程序來查找數組的最小（或最大）元素
- 每個數組元素中另一個數組中最接近的較大元素
- 計算O(1)額外空間和O(n)時間中數組中所有元素的頻率
- 與給定的總和和距末端的最大最短距離配對
- 從數組中刪除一個元素（使用兩次遍歷和一次遍歷）
- 計算給定數組中大小為 3 的反轉
- 計算給定總和的對
- 對排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替換元素會使數組元素連續
- 排序數組中的第 k 個缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的兩個排序數組的中位數
- 從兩個排序的數組中打印不常見的元素
- 非重復元素
- 數組中最頻繁的元素
- 數組中最少的元素
- m 個元素的兩個子集之間的最大差
- n 個數組中升序元素的最大和
- 配對使得一個是其他的冪倍
- 查找數組中對的數量，以使它們的 XOR 為 0
- 兩次最大出現之間的最小距離
- 如果我們在數組中每次成功搜索后加倍，則找到最終值
- 排序數組中的最后一個重復元素
- 找到一個數組元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始順序查找數組的 k 個最大元素
- 數組中的最大值，至少是其他元素的兩倍
- 連續步驟到屋頂
- 兩個大小的組之間的最大差異
- 兩個大小的組之間的最小差異
- 未排序整數列表中最接近的數字
- 值和索引和的最大絕對差
- 數組中局部極值的數量
- 檢查數組是否具有多數元素
- 查找數組中最接近的數字
- 最大和的對數
- 按原始順序打印給定數組中的 n 個最小元素
- 查找給定數組中缺少的前 k 個自然數
- 數組中的高尚整數（大于等于的元素數等于 value）
- 兩個數組對的絕對差的最小和
- 查找數組中非重復（不同）元素的總和
- 檢查是否可以從給定數組形成算術級數
- 數組的最小乘積子集
- 計算選擇差異最大的對的方法
- 每次成功搜索后通過將元素加倍來重復搜索
- 允許負數的數組中成對乘積的最大和
- 矩陣
- 旋轉矩陣元素
- 將方形矩陣旋轉 90 度| 系列 1
- 將矩陣旋轉 90 度，而無需使用任何額外空間| 系列 2
- 將矩陣旋轉 180 度
- 用 K 元素逆時針旋轉矩陣的每個環
- 將圖像旋轉 90 度
- 檢查矩陣的所有行是否都是彼此旋轉
- 排序給定矩陣
- 查找最大數量為 1 的行
- 在按行排序的矩陣中找到中位數
- 矩陣乘法| 遞歸的
- 程序將兩個矩陣相乘
- 矩陣的標量乘法程序
- 程序打印數組的下三角和上三角矩陣
- 查找矩陣所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印給定的矩陣
- 查找矩陣中每一行的最大元素
- 在矩陣中查找唯一元素
- 將矩陣元素逐行移動 k
- 矩陣的不同運算
- 以逆時針螺旋形式打印給定矩陣
- 交換方矩陣的主要和次要對角線
- 矩陣中的最大路徑總和
- 矩陣對角元素的正方形
- 沿給定方向移動矩陣元素并添加具有相同值的元素
- 按升序對矩陣行進行排序，然后按降序對列進行排序
- 矩陣中間行和列的總和
- 矩陣的按行遍歷與按列遍歷
- 向右旋轉矩陣 K 次
- 檢查冪等矩陣的程序
- 程序檢查對合矩陣
- 矩陣中第一行和最后一行的交換元素
- zag-zag 方式打印矩陣
- 二維數組中的按行排序
- 馬爾可夫矩陣程序
- 檢查對角矩陣和標量矩陣的程序
- 按行和列對矩陣進行排序
- 查找島嶼數| 系列 1（使用 DFS）
- 魔術廣場| 偶數訂單
- 魔術廣場
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 兩種矩陣的 Kronecker 積
- 計數總和可分為“ k”的子矩陣
- 對角占優矩陣
- 使矩陣的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 計算大小為 n 的矩陣中 k 的頻率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 給定 1、2、3……k 以之字形打印它們。
- 皇后可以在棋盤上移動的障礙物數量
- 矩陣中 4 個相鄰元素的最大積
- 使二進制矩陣對稱所需的最小翻轉
- 程序檢查矩陣是否為下三角
- 程序檢查矩陣是否為上三角
- 矩陣中偶數和奇數的頻率
- 矩陣的中心元素等于對角線的一半
- 身份矩陣程序
- 程序用矩陣的下對角元素交換上對角元素。
- 稀疏矩陣表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩陣以使所有行和所有列的乘積等于 1 的方式
- 矩陣對角線的鏡像
- 查找二進制矩陣中是否有一個角為 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩陣或網格中兩個單元之間的最短距離
- 計算二進制矩陣中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩陣
- 創建具有 O 和 X 的交替矩形的矩陣
- 矩陣的鋸齒形（或對角線）遍歷
- 原位（固定空間）M x N 大小的矩陣轉置| 更新
- 排序從 0 到 n ^ 2 – 1 的數字矩陣的最低成本
- 二進制矩陣中的唯一像元
- 計算特殊矩陣中等于 x 的條目
- 檢查給定矩陣是否稀疏
- 方矩陣的兩個對角線中的行式公共元素
- 檢查矩陣中第 i 行和第 i 列的總和是否相同
- 查找最大數為 1 的二進制矩陣的行號
- 程序檢查矩陣是否對稱
- 通過遵循單元格值來查找二維數組是否被完全遍歷
- 程序以 Z 格式打印矩陣
- 在矩陣中從左上到右下打印所有回文路徑
- 騎士的可能舉動
- 有效地計算矩陣的對角線總和
- 矩陣的邊界元素
- 從點開始以螺旋形式打印矩陣
- 以蛇形圖案打印矩陣
- 矩陣對角線互換程序
- 找出兩個對角線之和之間的差
- 從給定的二叉樹構造祖先矩陣
- 從祖先矩陣構造樹
- 圓形矩陣（以螺旋方式構造數字 1 到 m * n 的矩陣）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戲計劃
- 矩陣中沙漏的最大和
- 方陣中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩陣
- 查找矩陣的法線和跡線的程序
- 以各種方式對矩陣進行排序
- 設置二進制矩陣的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印給定的矩陣
- C 程序檢查矩陣是否傾斜對稱
- 矩陣元素的總和，其中每個元素是行和列的整數除法
- 稀疏矩陣及其表示| 系列 2（使用列表和鍵字典）
- 查找使兩個矩陣相等的變換數
- 形成矩陣線圈
- 每個元素是其行號和列號的絕對差的矩陣總和
- 檢查二進制矩陣中的水平和垂直對稱性
- 每個值為 0 或 n 的矩陣的最大行列式
- 螺旋奇數階方陣的兩個對角線之和
- 在二進制矩陣中找到具有最大位差的行對
- 查找矩陣中給定行的所有置換行
- 在二進制矩陣中查找以 1s 形成的形狀的周長
- 在矩陣中打印具有相同矩形和的單元格
- 以對角線圖案打印矩陣
- 矩陣中兩行元素之和的最大差
- 查找具有給定總和的對，以便該對的元素位于不同的行中
- 二進制矩陣中所有零的總覆蓋率
- 用行或列的最大 GCD 替換每個矩陣元素
- 計算矩陣中所有排序的行
- 矩陣查詢
- 矩陣中的最大 XOR 值
- 可以從下到右傳輸光線的最大反射鏡
- 最后一個方塊的方向
- 以矩陣的螺旋形式打印第 K 個元素
- 查找給定的矩陣是否為 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩陣中計數零
- 在列明智和行明智排序矩陣中計算負數
- 在二進制矩陣中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回擴展矩陣中的前一個元素
- 使用O(1)額外空間打印 n x n 螺旋矩陣
- 二進制迷宮中的最短路徑
- 查找矩陣中圖案的方向
- 在矩陣中查找特定對
- 打印給定大小的最大和平方子矩陣
- 給定矩陣的所有行中的公共元素
- 按特定順序就地轉換矩陣
- 布爾矩陣問題
- 給定布爾矩陣，找到 k，使第 k 行中的所有元素均為 0，第 k 列為 1。
- 在給定的布爾矩陣中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允許交換列
- 給定井字棋盤配置的有效性
- 子矩陣總和查詢
- 矩陣排名程序
- 全為 1 的最大尺寸矩形二進制子矩陣
- 全為 1 的最大尺寸正方形子矩陣
- 查找矩陣中除給定單元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的總和？
- 計算每個島按行和列分隔的島數
- 在給定的按行排序的矩陣的所有行中找到一個公共元素
- 給定矩陣“ O”和“ X”，如果被“ X”包圍，則將“ O”替換為“ X”
- 給定矩陣“ O”和“ X”，找到被“ X”包圍的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中實現 fill（）？
- 從行和列的排序矩陣中按排序順序打印所有元素
- 給定一個 n x n 方陣，求出大小為 k x k 的所有子方和
- 查找矩陣轉置的程序
- 用于添加兩個矩陣的程序
- 矩陣減法程序
- 使用兩次遍歷收集網格中的最大點
- 在死胡同之前收集最多硬幣
- 正好有 k 個硬幣的路徑數
- 查找從給定起始字符開始的最長連續路徑的長度
- 在給定約束條件下找到矩陣中的最長路徑
- 到達目的地的最低初始點
- 分而治之| 第 5 組（Strassen 的矩陣乘法）
- 2D 矩陣中的最大和矩形| DP-27
- 雜項
- 子數組/子字符串與子序列以及生成它們的程序
- 產品數組難題
- 具有給定乘積的子數組數
- 鏈表與數組
- 檢查數組元素是否連續 新增方法 3
- 查找一個數組是否是另一個數組的子集 新增方法 3
- 在一個數組中實現兩個堆棧
- 查找兩個排序數組的相對補碼
- 通過 k 次運算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三個不同排序數組的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））