# 稀疏表
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/sparse-table/](https://www.geeksforgeeks.org/sparse-table/)
我們已經在[范圍最小查詢（平方根分解和稀疏表）](https://www.geeksforgeeks.org/range-minimum-query-for-static-array/)中簡要討論了稀疏表。
稀疏表概念用于對一組靜態數據進行快速查詢（元素不變）。 它進行預處理，以便可以有效地回答查詢。
示例問題 1：范圍最小查詢
我們有一個數組`arr[0 ... n-1]`。 我們需要有效地找到從索引`L`（查詢開始）到`R`（查詢結束）的最小值，其中`0 <= L <= R <= n-1`。 考慮存在許多范圍查詢的情況。
**示例**：
```
Input: arr[] = {7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18};
query[] = [0, 4], [4, 7], [7, 8]
Output: Minimum of [0, 4] is 0
Minimum of [4, 7] is 3
Minimum of [7, 8] is 12
```
這個想法是預先計算所有大小為`2^j`的子數組的最小值，其中`j`從 0 到`log n`變化。 我們進行表`lookup[i][j]`的查找，使`lookup[i][j]`包含從`i`開始且范圍為`2^j`的最小值。 例如，`lookup[0][3]`包含范圍為`[0, 7]`的最小值（從 0 開始且大小為`2^3`）
**如何填充此查找表或稀疏表？**
這個想法很簡單，使用以前計算的值以自下而上的方式填充。 我們使用 2 的較低乘方的值計算 2 的當前乘方的范圍。 例如，要找到范圍`[0, 7]`的最小值（范圍大小是 3 的冪），我們可以使用以下兩個最小值。
a）范圍`[0, 3]`的最小值（范圍大小是 2 的冪）
b）范圍`[4, 7]`的最小值（范圍大小是 2 的冪）
根據上面的示例，下面是公式，
```
// Minimum of single element subarrays is same
// as the only element.
lookup[i][0] = arr[i]
// If lookup[0][2] <= lookup[4][2],
// then lookup[0][3] = lookup[0][2]
If lookup[i][j-1] <= lookup[i+2j-1-1][j-1]
lookup[i][j] = lookup[i][j-1]
// If lookup[0][2] > lookup[4][2],
// then lookup[0][3] = lookup[4][2]
Else
lookup[i][j] = lookup[i+2j-1-1][j-1]
```
對于任意范圍`[L, R]`，我們需要使用 2 的冪的范圍。想法是使用 2 的最接近的冪。我們總是需要最多進行一次比較（比較兩個是 2 的冪的范圍的最小值。 一個范圍以`L`開頭，以“`L +`最近的 2 的冪”結尾。 另一個范圍以`R`結束，并以“`R – `最接近的 2 的冪`+ 1`”開頭。 例如，如果給定范圍是`(2, 10)`，我們比較兩個范圍`(2, 9)`和`(3, 10)`中的最小值。
Based on above example, below is formula,
```
// For (2, 10), j = floor(Log<sub>2</sub>(10-2+1)) = 3
j = floor(Log(R-L+1))
// If lookup[0][3] <= lookup[3][3],
// then min(2, 10) = lookup[0][3]
If lookup[L][j] <= lookup[R-(int)pow(2, j)+1][j]
min(L, R) = lookup[L][j]
// If lookup[0][3] > arr[lookup[3][3],
// then min(2, 10) = lookup[3][3]
Else
min(L, R) = lookup[i+2j-1-1][j-1]
```
由于我們只進行一次比較，因此查詢的時間復雜度為`O(1)`。
以下是上述想法的實現。
## C++
```cpp
// C++ program to do range minimum query
// using sparse table
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 500
// lookup[i][j] is going to store minimum
// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
int lookup[MAX][MAX];
// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
void buildSparseTable(int arr[], int n)
{
????// Initialize M for the intervals with length 1
????for (int i = 0; i < n; i++)
????????lookup[i][0] = arr[i];
????// Compute values from smaller to bigger intervals
????for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
????????// Compute minimum value for all intervals with
????????// size 2^j
????????for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
????????????// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]?
????????????// and arr[lookup[3][10]]
????????????if (lookup[i][j - 1] <?
????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
????????????????lookup[i][j] = lookup[i][j - 1];
????????????else
????????????????lookup[i][j] =?
?????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
????????}
????}
}
// Returns minimum of arr[L..R]
int query(int L, int R)
{
????// Find highest power of 2 that is smaller
????// than or equal to count of elements in given
????// range. For [2, 10], j = 3
????int j = (int)log2(R - L + 1);
????// Compute minimum of last 2^j elements with first
????// 2^j elements in range.
????// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
????// arr[lookup[3][3]],
????if (lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j])
????????return lookup[L][j];
????else
????????return lookup[R - (1 << j) + 1][j];
}
// Driver program
int main()
{
????int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
????int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
????buildSparseTable(a, n);
????cout << query(0, 4) << endl;
????cout << query(4, 7) << endl;
????cout << query(7, 8) << endl;
????return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to do range minimum query
// using sparse table
import java.io.*;
class GFG {
????static int MAX =500;
????// lookup[i][j] is going to store minimum
????// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
????// size should not be fixed and should be
????// determined using n Log n. It is kept
????// constant to keep code simple.
????static int [][]lookup = new int[MAX][MAX];
????// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
????static void buildSparseTable(int arr[], int n)
????{
????????// Initialize M for the intervals with length 1
????????for (int i = 0; i < n; i++)
????????????lookup[i][0] = arr[i];
????????// Compute values from smaller to bigger intervals
????????for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
????????????// Compute minimum value for all intervals with
????????????// size 2^j
????????????for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
????????????????// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]?
????????????????// and arr[lookup[3][10]]
????????????????if (lookup[i][j - 1] <?
????????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
????????????????????lookup[i][j] = lookup[i][j - 1];
????????????????else
????????????????????lookup[i][j] =?
????????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
????????????}
????????}
????}
????// Returns minimum of arr[L..R]
????static int query(int L, int R)
????{
????????// Find highest power of 2 that is smaller
????????// than or equal to count of elements in given
????????// range. For [2, 10], j = 3
????????int j = (int)Math.log(R - L + 1);
????????// Compute minimum of last 2^j elements with first
????????// 2^j elements in range.
????????// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
????????// arr[lookup[3][3]],
????????if (lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j])
????????????return lookup[L][j];
????????else
????????????return lookup[R - (1 << j) + 1][j];
????}
????// Driver program
????public static void main (String[] args)
????{
????????int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
????????int n = a.length;
????????buildSparseTable(a, n);
????????System.out.println(query(0, 4));
????????System.out.println(query(4, 7));
????????System.out.println(query(7, 8));
????}
}
// This code is contributed by vt_m.
```
## Python3
```py
# Python3 program to do range minimum?
# query using sparse table?
import math
# Fills lookup array lookup[][] in?
# bottom up manner.?
def buildSparseTable(arr, n):
????# Initialize M for the intervals
????# with length 1?
????for i in range(0, n):?
????????lookup[i][0] = arr[i]?
????j = 1
????# Compute values from smaller to?
????# bigger intervals?
????while (1 << j) <= n:?
????????# Compute minimum value for all?
????????# intervals with size 2^j
????????i = 0
????????while (i + (1 << j) - 1) < n:?
????????????# For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]?
????????????# and arr[lookup[3][10]]?
????????????if (lookup[i][j - 1] <?
????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1]):?
????????????????lookup[i][j] = lookup[i][j - 1]?
????????????else:
????????????????lookup[i][j] = \
????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1]?
????????????i += 1
????????j += 1????????
# Returns minimum of arr[L..R]?
def query(L, R):?
????# Find highest power of 2 that is smaller?
????# than or equal to count of elements in?
????# given range. For [2, 10], j = 3?
????j = int(math.log2(R - L + 1))?
????# Compute minimum of last 2^j elements?
????# with first 2^j elements in range.?
????# For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]]?
????# and arr[lookup[3][3]],?
????if lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j]:?
????????return lookup[L][j]?
????else:
????????return lookup[R - (1 << j) + 1][j]?
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
????a = [7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18]?
????n = len(a)?
????MAX = 500
????# lookup[i][j] is going to store minimum?
????# value in arr[i..j]. Ideally lookup table?
????# size should not be fixed and should be?
????# determined using n Log n. It is kept?
????# constant to keep code simple.?
????lookup = [[0 for i in range(MAX)]
?????????????????for j in range(MAX)]
????buildSparseTable(a, n)?
????print(query(0, 4))?
????print(query(4, 7))?
????print(query(7, 8))?
# This code is contributed by Rituraj Jain
```
## C#
```cs
// C# program to do range minimum query
// using sparse table
using System;
public class GFG {
????static int MAX= 500;
????// lookup[i][j] is going to store minimum
????// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
????// size should not be fixed and should be
????// determined using n Log n. It is kept
????// constant to keep code simple.
????static int [,]lookup = new int[MAX, MAX];
????// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
????static void buildSparseTable(int []arr, int n)
????{
????????// Initialize M for the intervals with length 1
????????for (int i = 0; i < n; i++)
????????????lookup[i, 0] = arr[i];
????????// Compute values from smaller to bigger intervals
????????for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
????????????// Compute minimum value for all intervals with
????????????// size 2^j
????????????for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
????????????????// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]?
????????????????// and arr[lookup[3][10]]
????????????????if (lookup[i, j - 1] <?
????????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1)), j - 1])
????????????????????lookup[i, j] = lookup[i, j - 1];
????????????????else
????????????????????lookup[i, j] =?
????????????????????????????lookup[i + (1 << (j - 1)), j - 1];
????????????}
????????}
????}
????// Returns minimum of arr[L..R]
????static int query(int L, int R)
????{
????????// Find highest power of 2 that is smaller
????????// than or equal to count of elements in given
????????// range. For [2, 10], j = 3
????????int j = (int)Math.Log(R - L + 1);
????????// Compute minimum of last 2^j elements with first
????????// 2^j elements in range.
????????// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
????????// arr[lookup[3][3]],
????????if (lookup[L, j] <= lookup[R - (1 << j) + 1, j])
????????????return lookup[L, j];
????????else
????????????return lookup[R - (1 << j) + 1, j];
????}
????// Driver program
????static public void Main ()
????{
????????int []a = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
????????int n = a.Length;
????????buildSparseTable(a, n);
????????Console.WriteLine(query(0, 4));
????????Console.WriteLine(query(4, 7));
????????Console.WriteLine(query(7, 8));
????}
}
// This code is contributed by vt_m.?
```
Output:
```
Minimum of [0, 4] is 0
Minimum of [4, 7] is 3
Minimum of [7, 8] is 12
```
因此，稀疏表方法支持`O(1)`時間，`O(N log N)`預處理時間和`O(N log N)`空間的查詢操作。
示例問題 2：范圍 GCD 查詢
我們有一個數組`arr[0 ... n-1]`。 我們需要找到`L`和`R`范圍內的[最大公約數](https://www.geeksforgeeks.org/c-program-find-gcd-hcf-two-numbers/)，其中 `0 <= L <= R <= n-1`。 考慮存在許多范圍查詢的情況，例如：
```
Input : arr[] = {2, 3, 5, 4, 6, 8}
queries[] = {(0, 2), (3, 5), (2, 3)}
Output : 1
2
1
```
**我們使用 GCD 的以下屬性**：
* GCD 函數是關聯的，`GCD(a, b, c)= GCD(GCD(a, b), c)= GCD(a, GCD(b, c))`，我們可以使用子范圍的 GCD 計算范圍的 GCD 。
* 如果我們多次采用重疊范圍的 GCD，那么它不會改變答案。 例如，`GCD(a, b, c)= GCD(GCD(a, b), GCD(b, c))`。 因此，像最小范圍查詢問題一樣，我們只需進行一次比較即可找到給定范圍的 GCD。
我們使用與上述相同的邏輯構建一個稀疏表。 建立稀疏表后，我們可以通過以 2 的冪打破給定范圍來找到所有 GCD，并將每張 GCD 加到當前答案中。
## C++
```
// C++ program to do range minimum query
// using sparse table
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 500
// lookup[i][j] is going to store GCD of
// arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
int table[MAX][MAX];
// it builds sparse table.
void buildSparseTable(int arr[], int n)
{
????// GCD of single element is element itself
????for (int i = 0; i < n; i++)
????????table[i][0] = arr[i];
????// Build sparse table
????for (int j = 1; j <= n; j++)
????????for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)
????????????table[i][j] = __gcd(table[i][j - 1],
????????????????????table[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
// Returns GCD of arr[L..R]
int query(int L, int R)
{
????// Find highest power of 2 that is smaller
????// than or equal to count of elements in given
????// range.For [2, 10], j = 3
????int j = (int)log2(R - L + 1);
????// Compute GCD of last 2^j elements with first
????// 2^j elements in range.
????// For [2, 10], we find GCD of arr[lookup[0][3]] and
????// arr[lookup[3][3]],
????return __gcd(table[L][j], table[R - (1 << j) + 1][j]);
}
// Driver program
int main()
{
????int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
????int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
????buildSparseTable(a, n);
????cout << query(0, 2) << endl;
????cout << query(1, 3) << endl;
????cout << query(4, 5) << endl;
????return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to do range minimum query?
// using sparse table?
import java.util.*;
class GFG
{?
static final int MAX = 500;?
// lookup[i][j] is going to store GCD of?
// arr[i..j]. Ideally lookup table?
// size should not be fixed and should be?
// determined using n Log n. It is kept?
// constant to keep code simple.?
static int [][]table = new int[MAX][MAX];?
// it builds sparse table.?
static void buildSparseTable(int arr[],?
?????????????????????????????int n)?
{?
????// GCD of single element is
????// element itself?
????for (int i = 0; i < n; i++)?
????????table[i][0] = arr[i];?
????// Build sparse table?
????for (int j = 1; j <= n; j++)?
????????for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)?
????????????table[i][j] = __gcd(table[i][j - 1],?
????????????????????????????????table[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);?
}?
// Returns GCD of arr[L..R]?
static int query(int L, int R)?
{?
????// Find highest power of 2 that is?
????// smaller than or equal to count of?
????// elements in given range.For [2, 10], j = 3?
????int j = (int)Math.log(R - L + 1);?
????// Compute GCD of last 2^j elements?
????// with first 2^j elements in range.?
????// For [2, 10], we find GCD of?
????// arr[lookup[0][3]] and arr[lookup[3][3]],?
????return __gcd(table[L][j],?
?????????????????table[R - (1 << j) + 1][j]);?
}?
static int __gcd(int a, int b)?
{?
????return b == 0 ? a : __gcd(b, a % b);?????
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)?
{?
????int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };?
????int n = a.length;?
????buildSparseTable(a, n);?
????System.out.print(query(0, 2) + "\n");?
????System.out.print(query(1, 3) + "\n");?
????System.out.print(query(4, 5) + "\n");?
}?
}?
// This code is contributed by PrinciRaj1992
```
## Python3
```py
# Python3 program to do range minimum?
# query using sparse table?
import math
# Fills lookup array lookup[][] in?
# bottom up manner.?
def buildSparseTable(arr, n):
????# GCD of single element is element itself?
????for i in range(0, n):?
????????table[i][0] = arr[i]?
????# Build sparse table
????j = 1
????while (1 << j) <= n:?
????????i = 0
????????while i <= n - (1 << j):?
????????????table[i][j] = math.gcd(table[i][j - 1],?
???????????????????????????????????table[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
????????????i += 1
????????j += 1
# Returns minimum of arr[L..R]?
def query(L, R):?
????# Find highest power of 2 that is smaller?
????# than or equal to count of elements in?
????# given range. For [2, 10], j = 3?
????j = int(math.log2(R - L + 1))?
????# Compute GCD of last 2^j elements with?
????# first 2^j elements in range.?
????# For [2, 10], we find GCD of arr[lookup[0][3]]?
????# and arr[lookup[3][3]],?
????return math.gcd(table[L][j],?
????????????????????table[R - (1 << j) + 1][j])
# Driver Code?
if __name__ == "__main__":
????a = [7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18]?
????n = len(a)?
????MAX = 500
????# lookup[i][j] is going to store minimum?
????# value in arr[i..j]. Ideally lookup table?
????# size should not be fixed and should be?
????# determined using n Log n. It is kept?
????# constant to keep code simple.?
????table = [[0 for i in range(MAX)]?
????????????????for j in range(MAX)]
????buildSparseTable(a, n)?
????print(query(0, 2))?
????print(query(1, 3))?
????print(query(4, 5))?
# This code is contributed by Rituraj Jain
```
## C#
```
// C# program to do range minimum query?
// using sparse table?
using System;
class GFG
{?
static readonly int MAX = 500;?
// lookup[i,j] is going to store GCD of?
// arr[i..j]. Ideally lookup table?
// size should not be fixed and should be?
// determined using n Log n. It is kept?
// constant to keep code simple.?
static int [,]table = new int[MAX, MAX];?
// it builds sparse table.?
static void buildSparseTable(int []arr,?
?????????????????????????????int n)?
{?
????// GCD of single element is
????// element itself?
????for (int i = 0; i < n; i++)?
????????table[i, 0] = arr[i];?
????// Build sparse table?
????for (int j = 1; j <= n; j++)?
????????for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)?
????????????table[i, j] = __gcd(table[i, j - 1],?
????????????????????????????????table[i + (1 << (j - 1)),?
?????????????????????????????????????????????????j - 1]);?
}?
// Returns GCD of arr[L..R]?
static int query(int L, int R)?
{?
????// Find highest power of 2 that is?
????// smaller than or equal to count of?
????// elements in given range.
????// For [2, 10], j = 3?
????int j = (int)Math.Log(R - L + 1);?
????// Compute GCD of last 2^j elements?
????// with first 2^j elements in range.?
????// For [2, 10], we find GCD of?
????// arr[lookup[0,3]] and arr[lookup[3,3]],?
????return __gcd(table[L, j],?
?????????????????table[R - (1 << j) + 1, j]);?
}?
static int __gcd(int a, int b)?
{?
????return b == 0 ? a : __gcd(b, a % b);?????
}
// Driver Code
public static void Main(String[] args)?
{?
????int []a = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };?
????int n = a.Length;?
????buildSparseTable(a, n);?
????Console.Write(query(0, 2) + "\n");?
????Console.Write(query(1, 3) + "\n");?
????Console.Write(query(4, 5) + "\n");?
}?
}
// This code is contributed by Rajput-Ji
```
**輸出**：
```
1
1
5
```
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- 重新排列數組，使arr[i] = i
- 編寫程序以反轉數組或字符串
- 重新排列數組，如果i為偶數則arr[i] >= arr[j]，如果i為奇數且j < i則 arr[i] <= arr[j]
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- 將所有零移動到數組末尾
- 將所有零移動到數組的末尾| 系列 2（使用單遍歷）
- 將所有小于或等于 k 的元素組合在一起所需的最小交換
- 使用內置排序功能重新排列正數和負數
- 重新排列數組，使偶數位置大于奇數
- 按順序重新排列數組-最小，最大，第二個最小，第二個最大..
- 將第一個元素加倍，然后將零移動到結尾
- 根據給定的索引對數組重新排序
- 用恒定的額外空間重新排列正數和負數
- 排列給定數字以形成最大數| 系列 1
- 重新排列數組，如果arr[i]為j，則arr[j]變為i | 系列 1
- 以最大最小形式重新排列數組| 系列 1
- 以最大最小形式重新排列數組| 系列 2（O(1)額外空間）
- 將所有負元素移動到最后，并留出足夠的空間
- 重新排列數組，使偶數索引元素較小而奇數索引元素較大
- 正數元素位于偶數位置，負數元素位于奇數位置（不保持相對順序）
- 用上一個和下一個的乘法替換每個數組元素
- 使用 Fisher-Yates 隨機播放算法隨機播放給定數組
- 分離偶數和奇數| 系列 3
- 將數組中的 0 和 1 分開
- 最長的雙子序列| DP-15
- 在線性時間內找到大小為 3 的排序子序列
- 最大數目等于 0 和 1 的子數組
- 最大產品子數組
- 用右側的最大元素替換每個元素
- 最大循環子數組總和
- 最長遞增子序列的構造（N log N）
- 按頻率對元素排序| 系列 2
- 最大化圓形數組中的連續差之和
- 根據另一個數組定義的順序對數組進行排序
- 查找索引 0 替換為 1，以獲得二進制數組中最長的連續序列 1s
- 在給定范圍內對數組進行三向分區
- 從兩個給定排序數組的備用元素生成所有可能的排序數組
- 安排彼此相鄰的線對所需的最小交換次數
- 將數組轉換為 Zig-Zag 風格
- 從給定序列中形成最小數
- 將兩個連續的相等值替換為一個更大的值
- 重新排列二進制字符串作為 x 和 y 的交替出現
- 數組中不同的相鄰元素
- 不使用多余空間將 2n 個整數隨機排列為 a1-b1-a2-b2-a3-b3-.bn
- 合并 k 個排序的數組| 系列 1
- 訂單統計
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 系列 1
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 系列 2（預期線性時間）
- 未排序數組中第 K 個最小/最大元素| 組合 3（最壞情況的線性時間）
- 使用 STL 的第 K 個最小/最大元素
- 數組中的 k 個最大（或最小）元素| 添加了最小堆方法
- 按行和按列排序的 2D 數組中的 Kth 個最小元素| 系列 1
- 程序以查找數組中的最大元素
- 查找數組中最大的三個元素
- 查找數組中至少有兩個大元素的所有元素
- 未排序數組的均值和中位數的程序
- 使用 STL 的運行整數流的中位數
- 正整數數組中 k 個整數的最小積
- 第 K 個最大和的連續子數組
- 來自兩個數組的 K 個最大和組合
- 重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 非重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 使用O(1)額外空間按相同順序排列 k 個最小元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- 數組中兩個元素的第 k 個最小絕對差
- 在數組中查找第二大元素
- 查找給定數組中出現次數最多的 k 個數字
- 查找數組中的最小和第二個最小元素
- 尋找最小的遺失號碼
- 使得兩個元素都不相鄰的最大和
- 使用最少數量的比較的數組的最大值和最小值
- 兩個元素之間的最大差異，使得較大的元素出現在較小的數字之后
- 給定數組 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑動窗口（大小為 k 的所有子數組的最大值）
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 在先增加然后減少的數組中找到最大元素
- 計算右側較小的元素
- 最長遞增子序列大小（N log N）
- 查找未排序數組中缺失的最小正數| 系列 1
- 在O(n)時間和O(1)多余空間中找到最大重復數
- 給定大小為 n 且數字為 k 的數組，找到出現次數超過 n / k 次的所有元素
- 找出長度為 3 且具有最大乘積的遞增子序列
- 兩個數組中的最大求和路徑
- 從兩個排序的數組中找到最接近的對
- 在未排序的數組中找到最大的對和
- 整個數組中最小的較大元素
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 在線檢查回文的在線算法
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 找到要翻轉的零，以使連續的 1 的數目最大化
- 計算嚴格增加的子數組
- 流中的第 K 個最大元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- k 元素組與數組其余部分之間的最大差值。
- 要使中位數等于 x 的最小元素數量
- 下一個更大的元素
- 范圍查詢
- MO 的算法（查詢平方根分解）| 系列 1（簡介）
- Sqrt（或平方根）分解技術 系列 1（簡介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表進行范圍總和查詢
- 范圍最小查詢（平方根分解和稀疏表）
- 數組元素的頻率范圍查詢
- 數組上的恒定時間范圍添加操作
- 范圍 LCM 查詢
- 數組中給定索引范圍的 GCD
- 查詢給定數組中所有數字的 GCD（給定范圍內的元素除外）
- 給定子數組中小于或等于給定數目的元素數
- 給定子數組中小于或等于給定數字的元素數| 第 2 組（包括更新）
- 查詢值在給定范圍內的數組元素的計數
- 查詢二進制數組的子數組的十進制值
- 計算將 L-R 范圍內的所有數字相除的元素
- 給定數組范圍的 XOR 之和最大的數字
- 在給定范圍內出現偶數次的數字的 XOR
- 范圍查詢中的數組范圍查詢
- 數組范圍查詢以搜索元素
- 數組范圍查詢頻率與值相同的元素
- 給定范圍內的最大出現次數
- 給定范圍內具有相等元素的索引數
- 合并排序樹以獲取范圍順序統計信息
- 范圍內沒有重復數字的總數
- 差異數組|O(1)中的范圍更新查詢
- 對數組的范圍查詢，其每個元素都是索引值與前一個元素的 XOR
- 查找子數組是否為山脈形式
- 范圍總和查詢，無更新
- 子數組中的素數（帶有更新）
- 在二進制數組中檢查子數組表示的數字是奇數還是偶數
- 用于乘法，替換和乘積的數組查詢
- 數組范圍的平均值
- 執行加減命令后打印修改后的數組
- 在給定范圍內對偶數或奇數概率的查詢
- 數組中范圍的乘積
- 計算范圍內的素數
- M 個范圍切換操作后的二進制數組
- 合并重疊間隔
- 檢查給定間隔中是否有兩個間隔重疊
- 間隔之和與除數的更新
- 多次數組范圍遞增操作后打印修改后的數組
- 范圍最大奇數的 XOR 查詢
- 查詢子數組中不同元素的數量
- 計數和切換二進制數組上的查詢
- 數組中的最小-最大范圍查詢
- 優化問題
- 最大總和連續子數組
- 通過最多買賣兩次股份獲得最大利潤
- 查找平均數最少的子數組
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 最小化高度之間的最大差異
- 到達終點的最小跳數
- 最大總和增加子序列| DP-14
- 總和大于給定值的最小子數組
- 查找 k 個長度的最大平均子數組
- 計算最小步數以獲得給定的所需數組
- 乘積小于 k 的子集數
- 查找使數組回文的最小合并操作數
- 查找不能表示為給定數組的任何子集之和的最小正整數值
- 具有最大總和的子數組的大小
- 找出任何兩個元素之間的最小差異
- 使用位操作進行空間優化
- 兩個二進制數組中具有相同總和的最長跨度
- 排序
- 替代排序
- 對幾乎排序（或 K 排序）的數組進行排序
- 根據給定值的絕對差對數組進行排序
- 以波形形式對數組進行排序
- 將大小為 n 的數組合并為大小為 m + n 的另一個數組
- 對包含 1 到 n 個值的數組進行排序
- 通過交換相鄰元素將 1 排序為 N
- 對包含兩種類型元素的數組進行排序
- 按頻率對元素排序| 系列 1
- 計算數組中的反轉 系列 1（使用合并排序）
- 兩個元素的和最接近零
- 最短無序子數組
- 排序數組所需的最小交換次數
- 兩個排序數組的并集和交集
- 查找兩個未排序數組的并集和交集
- 對 0、1 和 2 的數組進行排序
- 找到最小長度未排序子數組，進行排序，使整個數組排序
- 中位數為整數流（運行整數）
- 計算可能的三角形數量
- 查找數組中的對數（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 計算所有等于 k 的不同對
- 打印給定整數數組的所有不同元素
- 從其對和數組構造一個數組
- 合并兩個有O(1)額外空間的排序數組
- 第一個數組中的最大值與第二個數組中的最小值的乘積
- 對數（a [j] > = a [i]）的對數，其中 k 個范圍在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 隨機對為最大加權對的概率
- AP 數組中存在的最小解排列（算術級數）
- 對兩個數組的最小乘積之和進行重新排列
- 將數組劃分為 k 個片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘積對為正整數數組
- 計算形成最小產品三胞胎的方法
- 檢查是否反轉子數組使數組排序
- 使用另一個數組最大化元素
- 使兩個數組的元素相同，最小增減
- 檢查是否有任何間隔完全重疊
- 除子數組中的元素外，對數組進行排序
- 對除一個以外的所有數組元素進行排序
- 排序二進制數組所需的最小相鄰交換
- 按數組中出現的元素順序對鏈接列表進行排序
- 打印數組中排序的不同元素
- 可以單獨排序以進行排序的最大分區數
- 使用 STL 根據因素數量進行排序
- 每次取下最小的鋼絲繩后剩下的鋼絲繩
- 數組中所有元素的排名
- 合并 3 個排序的數組
- 使數組遞減的最小減法運算數
- 最大化 arr [i] * i 的總和
- 差異小于 K 的對
- 按排序順序合并兩個未排序的數組
- 從兩個數組最大化唯一對
- 應用給定方程后對數組排序
- 每個數組元素的最小絕對差之和
- 查找是否可以使用一個外部數字使數組元素相同
- 兩個未排序數組之間的最小差值對
- 程序檢查數組是否排序（迭代和遞歸）
- 查找大于數組中一半元素的元素
- 使兩個數組相同的最小交換
- 要添加的元素，以便數組中存在某個范圍的所有元素
- 正在搜尋
- 搜索，插入和刪除未排序的數組
- 在排序的數組中搜索，插入和刪除
- 給定數組 A []和數字 x，請檢查 A []中的對，總和為 x
- 在相鄰項最多相差 k 的數組中搜索
- 在三個排序的數組中查找共同的元素
- 在無數排序數組中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之間的唯一重復元素
- 查找在數組中一次出現的元素，其中每個其他元素出現兩次
- 排除某些元素的最大子數組總和
- 數組中的最大平衡和
- 數組的平衡指數
- 領導者數組
- 天花板排列
- 多數元素
- 檢查排序數組中的多數元素
- 檢查數組是否具有多數元素
- 兩指針技術
- 查找峰元素
- 找到給定數組中的兩個重復元素
- 在給定的數組中找到一個固定點（等于索引的值）
- 查找給定總和的子數組| 系列 1（負數）
- 數組中的最大三元組和
- 來自三個數組的最小差異三元組
- 查找一個三元組，將其總和成給定值
- 找到所有零和的三元組
- 所有合計給定值的唯一三元組
- 計算總數小于給定值的三元組
- 打印形成 AP 的排序數組中的所有三元組
- XOR 為零的唯一三元組數
- 找到一個三元組，使得兩個和等于第三元素
- 查找出現次數的奇數
- 查找丟失的號碼
- 計算排序數組中的出現次數（或頻率）
- 給定一個已排序的數組和一個數字 x，在數組中找到總和最接近 x 的對
- 在排序的二進制數組中計數 1
- 在整數數組中找到第一個重復元素
- 從重復的數組中查找丟失的元素
- 找到重復的和丟失的| 添加了 3 種新方法
- 在未排序的數組中找到出現奇數的兩個數字
- 找到具有給定差異的一對
- 找到四個總和為給定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四個總和為給定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一個總和為 0 的子數組
- 在相鄰元素之間的差為 1 的數組中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 檢查數組中是否存在兩個元素的總和等于數組其余部分的總和
- 檢查給定數組是否包含彼此之間 k 距離內的重復元素
- 使用最少的比較次數搜索未排序數組中的元素
- 連續元素排序數組中僅重復元素的計數
- 在頻率大于或等于 n / 2 的排序數組中查找元素。
- 圓形數組中相鄰元素的最小絕對差
- 在數組中找到第一個，第二個和第三個最小元素
- 程序來查找數組的最小（或最大）元素
- 每個數組元素中另一個數組中最接近的較大元素
- 計算O(1)額外空間和O(n)時間中數組中所有元素的頻率
- 與給定的總和和距末端的最大最短距離配對
- 從數組中刪除一個元素（使用兩次遍歷和一次遍歷）
- 計算給定數組中大小為 3 的反轉
- 計算給定總和的對
- 對排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替換元素會使數組元素連續
- 排序數組中的第 k 個缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的兩個排序數組的中位數
- 從兩個排序的數組中打印不常見的元素
- 非重復元素
- 數組中最頻繁的元素
- 數組中最少的元素
- m 個元素的兩個子集之間的最大差
- n 個數組中升序元素的最大和
- 配對使得一個是其他的冪倍
- 查找數組中對的數量，以使它們的 XOR 為 0
- 兩次最大出現之間的最小距離
- 如果我們在數組中每次成功搜索后加倍，則找到最終值
- 排序數組中的最后一個重復元素
- 找到一個數組元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始順序查找數組的 k 個最大元素
- 數組中的最大值，至少是其他元素的兩倍
- 連續步驟到屋頂
- 兩個大小的組之間的最大差異
- 兩個大小的組之間的最小差異
- 未排序整數列表中最接近的數字
- 值和索引和的最大絕對差
- 數組中局部極值的數量
- 檢查數組是否具有多數元素
- 查找數組中最接近的數字
- 最大和的對數
- 按原始順序打印給定數組中的 n 個最小元素
- 查找給定數組中缺少的前 k 個自然數
- 數組中的高尚整數（大于等于的元素數等于 value）
- 兩個數組對的絕對差的最小和
- 查找數組中非重復（不同）元素的總和
- 檢查是否可以從給定數組形成算術級數
- 數組的最小乘積子集
- 計算選擇差異最大的對的方法
- 每次成功搜索后通過將元素加倍來重復搜索
- 允許負數的數組中成對乘積的最大和
- 矩陣
- 旋轉矩陣元素
- 將方形矩陣旋轉 90 度| 系列 1
- 將矩陣旋轉 90 度，而無需使用任何額外空間| 系列 2
- 將矩陣旋轉 180 度
- 用 K 元素逆時針旋轉矩陣的每個環
- 將圖像旋轉 90 度
- 檢查矩陣的所有行是否都是彼此旋轉
- 排序給定矩陣
- 查找最大數量為 1 的行
- 在按行排序的矩陣中找到中位數
- 矩陣乘法| 遞歸的
- 程序將兩個矩陣相乘
- 矩陣的標量乘法程序
- 程序打印數組的下三角和上三角矩陣
- 查找矩陣所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印給定的矩陣
- 查找矩陣中每一行的最大元素
- 在矩陣中查找唯一元素
- 將矩陣元素逐行移動 k
- 矩陣的不同運算
- 以逆時針螺旋形式打印給定矩陣
- 交換方矩陣的主要和次要對角線
- 矩陣中的最大路徑總和
- 矩陣對角元素的正方形
- 沿給定方向移動矩陣元素并添加具有相同值的元素
- 按升序對矩陣行進行排序，然后按降序對列進行排序
- 矩陣中間行和列的總和
- 矩陣的按行遍歷與按列遍歷
- 向右旋轉矩陣 K 次
- 檢查冪等矩陣的程序
- 程序檢查對合矩陣
- 矩陣中第一行和最后一行的交換元素
- zag-zag 方式打印矩陣
- 二維數組中的按行排序
- 馬爾可夫矩陣程序
- 檢查對角矩陣和標量矩陣的程序
- 按行和列對矩陣進行排序
- 查找島嶼數| 系列 1（使用 DFS）
- 魔術廣場| 偶數訂單
- 魔術廣場
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 兩種矩陣的 Kronecker 積
- 計數總和可分為“ k”的子矩陣
- 對角占優矩陣
- 使矩陣的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 計算大小為 n 的矩陣中 k 的頻率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 給定 1、2、3……k 以之字形打印它們。
- 皇后可以在棋盤上移動的障礙物數量
- 矩陣中 4 個相鄰元素的最大積
- 使二進制矩陣對稱所需的最小翻轉
- 程序檢查矩陣是否為下三角
- 程序檢查矩陣是否為上三角
- 矩陣中偶數和奇數的頻率
- 矩陣的中心元素等于對角線的一半
- 身份矩陣程序
- 程序用矩陣的下對角元素交換上對角元素。
- 稀疏矩陣表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩陣以使所有行和所有列的乘積等于 1 的方式
- 矩陣對角線的鏡像
- 查找二進制矩陣中是否有一個角為 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩陣或網格中兩個單元之間的最短距離
- 計算二進制矩陣中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩陣
- 創建具有 O 和 X 的交替矩形的矩陣
- 矩陣的鋸齒形（或對角線）遍歷
- 原位（固定空間）M x N 大小的矩陣轉置| 更新
- 排序從 0 到 n ^ 2 – 1 的數字矩陣的最低成本
- 二進制矩陣中的唯一像元
- 計算特殊矩陣中等于 x 的條目
- 檢查給定矩陣是否稀疏
- 方矩陣的兩個對角線中的行式公共元素
- 檢查矩陣中第 i 行和第 i 列的總和是否相同
- 查找最大數為 1 的二進制矩陣的行號
- 程序檢查矩陣是否對稱
- 通過遵循單元格值來查找二維數組是否被完全遍歷
- 程序以 Z 格式打印矩陣
- 在矩陣中從左上到右下打印所有回文路徑
- 騎士的可能舉動
- 有效地計算矩陣的對角線總和
- 矩陣的邊界元素
- 從點開始以螺旋形式打印矩陣
- 以蛇形圖案打印矩陣
- 矩陣對角線互換程序
- 找出兩個對角線之和之間的差
- 從給定的二叉樹構造祖先矩陣
- 從祖先矩陣構造樹
- 圓形矩陣（以螺旋方式構造數字 1 到 m * n 的矩陣）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戲計劃
- 矩陣中沙漏的最大和
- 方陣中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩陣
- 查找矩陣的法線和跡線的程序
- 以各種方式對矩陣進行排序
- 設置二進制矩陣的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印給定的矩陣
- C 程序檢查矩陣是否傾斜對稱
- 矩陣元素的總和，其中每個元素是行和列的整數除法
- 稀疏矩陣及其表示| 系列 2（使用列表和鍵字典）
- 查找使兩個矩陣相等的變換數
- 形成矩陣線圈
- 每個元素是其行號和列號的絕對差的矩陣總和
- 檢查二進制矩陣中的水平和垂直對稱性
- 每個值為 0 或 n 的矩陣的最大行列式
- 螺旋奇數階方陣的兩個對角線之和
- 在二進制矩陣中找到具有最大位差的行對
- 查找矩陣中給定行的所有置換行
- 在二進制矩陣中查找以 1s 形成的形狀的周長
- 在矩陣中打印具有相同矩形和的單元格
- 以對角線圖案打印矩陣
- 矩陣中兩行元素之和的最大差
- 查找具有給定總和的對，以便該對的元素位于不同的行中
- 二進制矩陣中所有零的總覆蓋率
- 用行或列的最大 GCD 替換每個矩陣元素
- 計算矩陣中所有排序的行
- 矩陣查詢
- 矩陣中的最大 XOR 值
- 可以從下到右傳輸光線的最大反射鏡
- 最后一個方塊的方向
- 以矩陣的螺旋形式打印第 K 個元素
- 查找給定的矩陣是否為 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩陣中計數零
- 在列明智和行明智排序矩陣中計算負數
- 在二進制矩陣中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回擴展矩陣中的前一個元素
- 使用O(1)額外空間打印 n x n 螺旋矩陣
- 二進制迷宮中的最短路徑
- 查找矩陣中圖案的方向
- 在矩陣中查找特定對
- 打印給定大小的最大和平方子矩陣
- 給定矩陣的所有行中的公共元素
- 按特定順序就地轉換矩陣
- 布爾矩陣問題
- 給定布爾矩陣，找到 k，使第 k 行中的所有元素均為 0，第 k 列為 1。
- 在給定的布爾矩陣中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允許交換列
- 給定井字棋盤配置的有效性
- 子矩陣總和查詢
- 矩陣排名程序
- 全為 1 的最大尺寸矩形二進制子矩陣
- 全為 1 的最大尺寸正方形子矩陣
- 查找矩陣中除給定單元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的總和？
- 計算每個島按行和列分隔的島數
- 在給定的按行排序的矩陣的所有行中找到一個公共元素
- 給定矩陣“ O”和“ X”，如果被“ X”包圍，則將“ O”替換為“ X”
- 給定矩陣“ O”和“ X”，找到被“ X”包圍的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中實現 fill（）？
- 從行和列的排序矩陣中按排序順序打印所有元素
- 給定一個 n x n 方陣，求出大小為 k x k 的所有子方和
- 查找矩陣轉置的程序
- 用于添加兩個矩陣的程序
- 矩陣減法程序
- 使用兩次遍歷收集網格中的最大點
- 在死胡同之前收集最多硬幣
- 正好有 k 個硬幣的路徑數
- 查找從給定起始字符開始的最長連續路徑的長度
- 在給定約束條件下找到矩陣中的最長路徑
- 到達目的地的最低初始點
- 分而治之| 第 5 組（Strassen 的矩陣乘法）
- 2D 矩陣中的最大和矩形| DP-27
- 雜項
- 子數組/子字符串與子序列以及生成它們的程序
- 產品數組難題
- 具有給定乘積的子數組數
- 鏈表與數組
- 檢查數組元素是否連續 新增方法 3
- 查找一個數組是否是另一個數組的子集 新增方法 3
- 在一個數組中實現兩個堆棧
- 查找兩個排序數組的相對補碼
- 通過 k 次運算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三個不同排序數組的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））