# 子矩陣總和查詢
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/submatrix-sum-queries/](https://www.geeksforgeeks.org/submatrix-sum-queries/)
給定大小為 M x N 的矩陣，需要大量查詢來查找子矩陣和。 查詢的輸入是要求和的子矩陣的左上和右下索引。
如何預處理矩陣，以便可以在`O(1)`時間內執行子矩陣和查詢。
**示例**：
```
tli : Row number of top left of query submatrix
tlj : Column number of top left of query submatrix
rbi : Row number of bottom right of query submatrix
rbj : Column number of bottom right of query submatrix
Input: mat[M][N] = {{1, 2, 3, 4, 6},
{5, 3, 8, 1, 2},
{4, 6, 7, 5, 5},
{2, 4, 8, 9, 4} };
Query1: tli = 0, tlj = 0, rbi = 1, rbj = 1
Query2: tli = 2, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 4
Query3: tli = 1, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 3;
Output:
Query1: 11 // Sum between (0, 0) and (1, 1)
Query2: 38 // Sum between (2, 2) and (3, 4)
Query3: 38 // Sum between (1, 2) and (3, 3)
```
**我們強烈建議您最小化瀏覽器，然后自己嘗試。**
這個想法是首先創建一個**輔助矩陣 aux [M] [N]** ，以便 aux [i] [j]將元素的和存儲在從（0,0）到（i，j）的子矩陣中。 構造 aux [] []后，我們可以在`O(1)`時間內計算（tli，tlj）和（rbi，rbj）之間的子矩陣和。 我們需要考慮 aux [rbi] [rbj]并減去所有不必要的元素。 以下是在`O(1)`時間內計算子矩陣和的完整表達式。
```
Sum between (tli, tlj) and (rbi, rbj) is,
aux[rbi][rbj] - aux[tli-1][rbj] -
aux[rbi][tlj-1] + aux[tli-1][tlj-1]
The submatrix aux[tli-1][tlj-1] is added because
elements of it are subtracted twice.
```
**插圖**：
```
mat[M][N] = {{1, 2, 3, 4, 6},
{5, 3, 8, 1, 2},
{4, 6, 7, 5, 5},
{2, 4, 8, 9, 4} };
We first preprocess the matrix and build
following aux[M][N]
aux[M][N] = {1, 3, 6, 10, 16}
{6, 11, 22, 27, 35},
{10, 21, 39, 49, 62},
{12, 27, 53, 72, 89} }
Query : tli = 2, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 4
Sum between (2, 2) and (3, 4) = 89 - 35 - 27 + 11
= 38
```
**如何建立 aux [M] [N]？**
1.將 mat [] []的第一行復制到 aux [] []
2.將矩陣按列求和并存儲。
3.在步驟 2 中對更新矩陣 aux [] []進行逐行求和。
下面是基于上述思想的程序。
## C++
```cpp
// C++ program to compute submatrix query sum in O(1)
// time
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 4
#define N 5
// Function to preprcess input mat[M][N].? This function
// mainly fills aux[M][N] such that aux[i][j] stores sum
// of elements from (0,0) to (i,j)
int preProcess(int mat[M][N], int aux[M][N])
{
???// Copy first row of mat[][] to aux[][]
???for (int i=0; i<N; i++)
??????aux[0][i] = mat[0][i];
???// Do column wise sum
???for (int i=1; i<M; i++)
??????for (int j=0; j<N; j++)
?????????aux[i][j] = mat[i][j] + aux[i-1][j];
???// Do row wise sum
???for (int i=0; i<M; i++)
??????for (int j=1; j<N; j++)
?????????aux[i][j] += aux[i][j-1];
}
// A O(1) time function to compute sum of submatrix
// between (tli, tlj) and (rbi, rbj) using aux[][]
// which is built by the preprocess function
int sumQuery(int aux[M][N], int tli, int tlj, int rbi,
??????????????????????????????????????????????int rbj)
{
????// result is now sum of elements between (0, 0) and
????// (rbi, rbj)
????int res = aux[rbi][rbj];
????// Remove elements between (0, 0) and (tli-1, rbj)
????if (tli > 0)
???????res = res - aux[tli-1][rbj];
????// Remove elements between (0, 0) and (rbi, tlj-1)
????if (tlj > 0)
???????res = res - aux[rbi][tlj-1];
????// Add aux[tli-1][tlj-1] as elements between (0, 0)
????// and (tli-1, tlj-1) are subtracted twice
????if (tli > 0 && tlj > 0)
???????res = res + aux[tli-1][tlj-1];
????return res;
}
// Driver program
int main()
{
???int mat[M][N] = {{1, 2, 3, 4, 6},
????????????????????{5, 3, 8, 1, 2},
????????????????????{4, 6, 7, 5, 5},
????????????????????{2, 4, 8, 9, 4} };
???int aux[M][N];
???preProcess(mat, aux);
???int tli = 2, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 4;
???cout << "\nQuery1: " << sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj);
???tli = 0, tlj = 0, rbi = 1, rbj = 1;
???cout << "\nQuery2: " << sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj);
???tli = 1, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 3;
???cout << "\nQuery3: " << sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj);
???return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to compute submatrix query?
// sum in O(1) time
class GFG {
????static final int M = 4;
????static final int N = 5;
????// Function to preprcess input mat[M][N].?
????// This function mainly fills aux[M][N]?
????// such that aux[i][j] stores sum of?
????// elements from (0,0) to (i,j)
????static int preProcess(int mat[][], int aux[][])
????{
????????// Copy first row of mat[][] to aux[][]
????????for (int i = 0; i < N; i++)
????????????aux[0][i] = mat[0][i];
????????// Do column wise sum
????????for (int i = 1; i < M; i++)
????????????for (int j = 0; j < N; j++)
????????????????aux[i][j] = mat[i][j] +?
????????????????????????????????aux[i-1][j];
????????// Do row wise sum
????????for (int i = 0; i < M; i++)
????????????for (int j = 1; j < N; j++)
????????????????aux[i][j] += aux[i][j-1];
????????return 0;
????}
????// A O(1) time function to compute sum?
????// of submatrix between (tli, tlj) and?
????// (rbi, rbj) using aux[][] which is?
????// built by the preprocess function
????static int sumQuery(int aux[][], int tli,?
????????????????????int tlj, int rbi, int rbj)
????{
????????// result is now sum of elements?
????????// between (0, 0) and (rbi, rbj)
????????int res = aux[rbi][rbj];
????????// Remove elements between (0, 0)?
????????// and (tli-1, rbj)
????????if (tli > 0)
????????????res = res - aux[tli-1][rbj];
????????// Remove elements between (0, 0)?
????????// and (rbi, tlj-1)
????????if (tlj > 0)
????????????res = res - aux[rbi][tlj-1];
????????// Add aux[tli-1][tlj-1] as elements?
????????// between (0, 0) and (tli-1, tlj-1)?
????????// are subtracted twice
????????if (tli > 0 && tlj > 0)
????????????res = res + aux[tli-1][tlj-1];
????????return res;
????}
????// Driver code
????public static void main (String[] args)
????{
????????int mat[][] = {{1, 2, 3, 4, 6},
???????????????????????{5, 3, 8, 1, 2},
???????????????????????{4, 6, 7, 5, 5},
???????????????????????{2, 4, 8, 9, 4}};
????????int aux[][] = new int[M][N];
????????preProcess(mat, aux);
????????int tli = 2, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 4;
????????System.out.print("\nQuery1: "
????????????+ sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????????tli = 0; tlj = 0; rbi = 1; rbj = 1;
????????System.out.print("\nQuery2: "
????????????+ sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????????tli = 1; tlj = 2; rbi = 3; rbj = 3;
????????System.out.print("\nQuery3: "?
????????????+ sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????}
}
// This code is contributed by Anant Agarwal.
```
## Python3
```py
# Python 3 program to compute submatrix?
# query sum in O(1) time
M = 4
N = 5
# Function to preprcess input mat[M][N].?
# This function mainly fills aux[M][N]
# such that aux[i][j] stores sum
# of elements from (0,0) to (i,j)
def preProcess(mat, aux):
????# Copy first row of mat[][] to aux[][]
????for i in range(0, N, 1):
????????aux[0][i] = mat[0][i]
????# Do column wise sum
????for i in range(1, M, 1):
????????for j in range(0, N, 1):
????????????aux[i][j] = mat[i][j] + aux[i - 1][j]
????# Do row wise sum
????for i in range(0, M, 1):
????????for j in range(1, N, 1):
????????????aux[i][j] += aux[i][j - 1]
# A O(1) time function to compute sum of submatrix
# between (tli, tlj) and (rbi, rbj) using aux[][]
# which is built by the preprocess function
def sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj):
????# result is now sum of elements?
????# between (0, 0) and (rbi, rbj)
????res = aux[rbi][rbj]
????# Remove elements between (0, 0)
????# and (tli-1, rbj)
????if (tli > 0):
????????res = res - aux[tli - 1][rbj]
????# Remove elements between (0, 0)
????# and (rbi, tlj-1)
????if (tlj > 0):
????????res = res - aux[rbi][tlj - 1]
????# Add aux[tli-1][tlj-1] as elements
????# between (0, 0) and (tli-1, tlj-1)
????# are subtracted twice
????if (tli > 0 and tlj > 0):
????????res = res + aux[tli - 1][tlj - 1]
????return res
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
????mat = [[1, 2, 3, 4, 6],
???????????[5, 3, 8, 1, 2],
???????????[4, 6, 7, 5, 5],
???????????[2, 4, 8, 9, 4]]
aux = [[0 for i in range(N)]?
??????????for j in range(M)]
preProcess(mat, aux)
tli = 2
tlj = 2
rbi = 3
rbj = 4
print("Query1:", sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj))
tli = 0
tlj = 0
rbi = 1
rbj = 1
print("Query2:", sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj))
tli = 1
tlj = 2
rbi = 3
rbj = 3
print("Query3:", sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj))
# This code is contributed by
# Shashank_Sharma
```
## C#
```cs
// C# program to compute submatrix?
// query sum in O(1) time
using System;
class GFG
{?
????static int M = 4;
????static int N = 5;
????// Function to preprcess input mat[M][N].?
????// This function mainly fills aux[M][N]?
????// such that aux[i][j] stores sum of?
????// elements from (0,0) to (i,j)
????static int preProcess(int [,]mat, int [,]aux)
????{
????????// Copy first row of mat[][] to aux[][]
????????for (int i = 0; i < N; i++)
????????????aux[0,i] = mat[0,i];
????????// Do column wise sum
????????for (int i = 1; i < M; i++)
????????????for (int j = 0; j < N; j++)
????????????????aux[i,j] = mat[i,j] + aux[i-1,j];
????????// Do row wise sum
????????for (int i = 0; i < M; i++)
????????????for (int j = 1; j < N; j++)
????????????????aux[i,j] += aux[i,j-1];
????????return 0;
????}
????// A O(1) time function to compute sum?
????// of submatrix between (tli, tlj) and?
????// (rbi, rbj) using aux[][] which is?
????// built by the preprocess function
????static int sumQuery(int [,]aux, int tli,?
????????????????????????int tlj, int rbi, int rbj)
????{
????????// result is now sum of elements?
????????// between (0, 0) and (rbi, rbj)
????????int res = aux[rbi,rbj];
????????// Remove elements between (0, 0)?
????????// and (tli-1, rbj)
????????if (tli > 0)
????????????res = res - aux[tli-1,rbj];
????????// Remove elements between (0, 0)?
????????// and (rbi, tlj-1)
????????if (tlj > 0)
????????????res = res - aux[rbi,tlj-1];
????????// Add aux[tli-1][tlj-1] as elements?
????????// between (0, 0) and (tli-1, tlj-1)?
????????// are subtracted twice
????????if (tli > 0 && tlj > 0)
????????????res = res + aux[tli-1,tlj-1];
????????return res;
????}
????// Driver code
????public static void Main ()
????{
????????int [,]mat = {{1, 2, 3, 4, 6},
??????????????????????{5, 3, 8, 1, 2},
??????????????????????{4, 6, 7, 5, 5},
??????????????????????{2, 4, 8, 9, 4}};
????????int [,]aux = new int[M,N];
????????preProcess(mat, aux);
????????int tli = 2, tlj = 2, rbi = 3, rbj = 4;
????????Console.Write("\nQuery1: " +?
??????????????????????sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????????tli = 0; tlj = 0; rbi = 1; rbj = 1;
????????Console.Write("\nQuery2: " +
??????????????????????sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????????tli = 1; tlj = 2; rbi = 3; rbj = 3;
????????Console.Write("\nQuery3: " +?
??????????????????????sumQuery(aux, tli, tlj, rbi, rbj));
????}
}
// This code is contributed by Sam007\.
```
## PHP
```php
<?php
// PHP program to compute submatrix?
// query sum in O(1) time
// Function to preprcess input mat[M][N].?
// This function mainly fills aux[M][N]?
// such that aux[i][j] stores sum
// of elements from (0,0) to (i,j)
function preProcess(&$mat, &$aux)
{
????$M = 4;
????$N = 5;
????// Copy first row of mat[][] to aux[][]
????for ($i = 0; $i < $N; $i++)
????????$aux[0][$i] = $mat[0][$i];
????// Do column wise sum
????for ($i = 1; $i < $M; $i++)
????????for ($j = 0; $j < $N; $j++)
????????????$aux[$i][$j] = $mat[$i][$j] +
???????????????????????????$aux[$i - 1][$j];
????// Do row wise sum
????for ($i = 0; $i < $M; $i++)
????????for ($j = 1; $j < $N; $j++)
????????????$aux[$i][$j] += $aux[$i][$j - 1];
}
// A O(1) time function to compute sum of?
// submatrix between (tli, tlj) and?
// (rbi, rbj) using aux[][] which is built?
// by the preprocess function
function sumQuery(&$aux, $tli, $tlj, $rbi,$rbj)
{
????// result is now sum of elements?
????// between (0, 0) and (rbi, rbj)
????$res = $aux[$rbi][$rbj];
????// Remove elements between (0, 0)?
????// and (tli-1, rbj)
????if ($tli > 0)
????$res = $res - $aux[$tli - 1][$rbj];
????// Remove elements between (0, 0)
????// and (rbi, tlj-1)
????if ($tlj > 0)
????$res = $res - $aux[$rbi][$tlj - 1];
????// Add aux[tli-1][tlj-1] as elements between (0, 0)
????// and (tli-1, tlj-1) are subtracted twice
????if ($tli > 0 && $tlj > 0)
????$res = $res + $aux[$tli - 1][$tlj - 1];
????return $res;
}
// Driver Code
$mat = array(array(1, 2, 3, 4, 6),
?????????????array(5, 3, 8, 1, 2),
?????????????array(4, 6, 7, 5, 5),
?????????????array(2, 4, 8, 9, 4));
preProcess($mat, $aux);
$tli = 2;
$tlj = 2;
$rbi = 3;
$rbj = 4;
echo ("Query1: ");
echo(sumQuery($aux, $tli, $tlj, $rbi, $rbj));
$tli = 0;
$tlj = 0;
$rbi = 1;
$rbj = 1;
echo ("\nQuery2: ");
echo(sumQuery($aux, $tli, $tlj, $rbi, $rbj));
$tli = 1;
$tlj = 2;
$rbi = 3;
$rbj = 3;
echo ("\nQuery3: ");
echo(sumQuery($aux, $tli, $tlj, $rbi, $rbj));
// This code is contributed by Shivi_Aggarwal
?>
```
**輸出**：
```
Query1: 38
Query2: 11
Query3: 38
```
資料來源： [https://www.geeksforgeeks.org/amazon-interview-experience-set-241-1-5-years-experience/](https://www.geeksforgeeks.org/amazon-interview-experience-set-241-1-5-years-experience/)
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- 重新排列數組，使偶數索引元素較小而奇數索引元素較大
- 正數元素位于偶數位置，負數元素位于奇數位置（不保持相對順序）
- 用上一個和下一個的乘法替換每個數組元素
- 使用 Fisher-Yates 隨機播放算法隨機播放給定數組
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- 從給定序列中形成最小數
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- 正整數數組中 k 個整數的最小積
- 第 K 個最大和的連續子數組
- 來自兩個數組的 K 個最大和組合
- 重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 非重疊的連續子數組的 K 個最大和
- 使用O(1)額外空間按相同順序排列 k 個最小元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- 數組中兩個元素的第 k 個最小絕對差
- 在數組中查找第二大元素
- 查找給定數組中出現次數最多的 k 個數字
- 查找數組中的最小和第二個最小元素
- 尋找最小的遺失號碼
- 使得兩個元素都不相鄰的最大和
- 使用最少數量的比較的數組的最大值和最小值
- 兩個元素之間的最大差異，使得較大的元素出現在較小的數字之后
- 給定數組 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑動窗口（大小為 k 的所有子數組的最大值）
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 在先增加然后減少的數組中找到最大元素
- 計算右側較小的元素
- 最長遞增子序列大小（N log N）
- 查找未排序數組中缺失的最小正數| 系列 1
- 在O(n)時間和O(1)多余空間中找到最大重復數
- 給定大小為 n 且數字為 k 的數組，找到出現次數超過 n / k 次的所有元素
- 找出長度為 3 且具有最大乘積的遞增子序列
- 兩個數組中的最大求和路徑
- 從兩個排序的數組中找到最接近的對
- 在未排序的數組中找到最大的對和
- 整個數組中最小的較大元素
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 在線檢查回文的在線算法
- 刪除小于 next 或變得更小的數組元素
- 找到要翻轉的零，以使連續的 1 的數目最大化
- 計算嚴格增加的子數組
- 流中的第 K 個最大元素
- 在兩個數組中找到具有最小和的 k 對
- k 元素組與數組其余部分之間的最大差值。
- 要使中位數等于 x 的最小元素數量
- 下一個更大的元素
- 范圍查詢
- MO 的算法（查詢平方根分解）| 系列 1（簡介）
- Sqrt（或平方根）分解技術 系列 1（簡介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表進行范圍總和查詢
- 范圍最小查詢（平方根分解和稀疏表）
- 數組元素的頻率范圍查詢
- 數組上的恒定時間范圍添加操作
- 范圍 LCM 查詢
- 數組中給定索引范圍的 GCD
- 查詢給定數組中所有數字的 GCD（給定范圍內的元素除外）
- 給定子數組中小于或等于給定數目的元素數
- 給定子數組中小于或等于給定數字的元素數| 第 2 組（包括更新）
- 查詢值在給定范圍內的數組元素的計數
- 查詢二進制數組的子數組的十進制值
- 計算將 L-R 范圍內的所有數字相除的元素
- 給定數組范圍的 XOR 之和最大的數字
- 在給定范圍內出現偶數次的數字的 XOR
- 范圍查詢中的數組范圍查詢
- 數組范圍查詢以搜索元素
- 數組范圍查詢頻率與值相同的元素
- 給定范圍內的最大出現次數
- 給定范圍內具有相等元素的索引數
- 合并排序樹以獲取范圍順序統計信息
- 范圍內沒有重復數字的總數
- 差異數組|O(1)中的范圍更新查詢
- 對數組的范圍查詢，其每個元素都是索引值與前一個元素的 XOR
- 查找子數組是否為山脈形式
- 范圍總和查詢，無更新
- 子數組中的素數（帶有更新）
- 在二進制數組中檢查子數組表示的數字是奇數還是偶數
- 用于乘法，替換和乘積的數組查詢
- 數組范圍的平均值
- 執行加減命令后打印修改后的數組
- 在給定范圍內對偶數或奇數概率的查詢
- 數組中范圍的乘積
- 計算范圍內的素數
- M 個范圍切換操作后的二進制數組
- 合并重疊間隔
- 檢查給定間隔中是否有兩個間隔重疊
- 間隔之和與除數的更新
- 多次數組范圍遞增操作后打印修改后的數組
- 范圍最大奇數的 XOR 查詢
- 查詢子數組中不同元素的數量
- 計數和切換二進制數組上的查詢
- 數組中的最小-最大范圍查詢
- 優化問題
- 最大總和連續子數組
- 通過最多買賣兩次股份獲得最大利潤
- 查找平均數最少的子數組
- 找到兩個數字之間的最小距離
- 最小化高度之間的最大差異
- 到達終點的最小跳數
- 最大總和增加子序列| DP-14
- 總和大于給定值的最小子數組
- 查找 k 個長度的最大平均子數組
- 計算最小步數以獲得給定的所需數組
- 乘積小于 k 的子集數
- 查找使數組回文的最小合并操作數
- 查找不能表示為給定數組的任何子集之和的最小正整數值
- 具有最大總和的子數組的大小
- 找出任何兩個元素之間的最小差異
- 使用位操作進行空間優化
- 兩個二進制數組中具有相同總和的最長跨度
- 排序
- 替代排序
- 對幾乎排序（或 K 排序）的數組進行排序
- 根據給定值的絕對差對數組進行排序
- 以波形形式對數組進行排序
- 將大小為 n 的數組合并為大小為 m + n 的另一個數組
- 對包含 1 到 n 個值的數組進行排序
- 通過交換相鄰元素將 1 排序為 N
- 對包含兩種類型元素的數組進行排序
- 按頻率對元素排序| 系列 1
- 計算數組中的反轉 系列 1（使用合并排序）
- 兩個元素的和最接近零
- 最短無序子數組
- 排序數組所需的最小交換次數
- 兩個排序數組的并集和交集
- 查找兩個未排序數組的并集和交集
- 對 0、1 和 2 的數組進行排序
- 找到最小長度未排序子數組，進行排序，使整個數組排序
- 中位數為整數流（運行整數）
- 計算可能的三角形數量
- 查找數組中的對數（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 計算所有等于 k 的不同對
- 打印給定整數數組的所有不同元素
- 從其對和數組構造一個數組
- 合并兩個有O(1)額外空間的排序數組
- 第一個數組中的最大值與第二個數組中的最小值的乘積
- 對數（a [j] > = a [i]）的對數，其中 k 個范圍在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 隨機對為最大加權對的概率
- AP 數組中存在的最小解排列（算術級數）
- 對兩個數組的最小乘積之和進行重新排列
- 將數組劃分為 k 個片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘積對為正整數數組
- 計算形成最小產品三胞胎的方法
- 檢查是否反轉子數組使數組排序
- 使用另一個數組最大化元素
- 使兩個數組的元素相同，最小增減
- 檢查是否有任何間隔完全重疊
- 除子數組中的元素外，對數組進行排序
- 對除一個以外的所有數組元素進行排序
- 排序二進制數組所需的最小相鄰交換
- 按數組中出現的元素順序對鏈接列表進行排序
- 打印數組中排序的不同元素
- 可以單獨排序以進行排序的最大分區數
- 使用 STL 根據因素數量進行排序
- 每次取下最小的鋼絲繩后剩下的鋼絲繩
- 數組中所有元素的排名
- 合并 3 個排序的數組
- 使數組遞減的最小減法運算數
- 最大化 arr [i] * i 的總和
- 差異小于 K 的對
- 按排序順序合并兩個未排序的數組
- 從兩個數組最大化唯一對
- 應用給定方程后對數組排序
- 每個數組元素的最小絕對差之和
- 查找是否可以使用一個外部數字使數組元素相同
- 兩個未排序數組之間的最小差值對
- 程序檢查數組是否排序（迭代和遞歸）
- 查找大于數組中一半元素的元素
- 使兩個數組相同的最小交換
- 要添加的元素，以便數組中存在某個范圍的所有元素
- 正在搜尋
- 搜索，插入和刪除未排序的數組
- 在排序的數組中搜索，插入和刪除
- 給定數組 A []和數字 x，請檢查 A []中的對，總和為 x
- 在相鄰項最多相差 k 的數組中搜索
- 在三個排序的數組中查找共同的元素
- 在無數排序數組中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之間的唯一重復元素
- 查找在數組中一次出現的元素，其中每個其他元素出現兩次
- 排除某些元素的最大子數組總和
- 數組中的最大平衡和
- 數組的平衡指數
- 領導者數組
- 天花板排列
- 多數元素
- 檢查排序數組中的多數元素
- 檢查數組是否具有多數元素
- 兩指針技術
- 查找峰元素
- 找到給定數組中的兩個重復元素
- 在給定的數組中找到一個固定點（等于索引的值）
- 查找給定總和的子數組| 系列 1（負數）
- 數組中的最大三元組和
- 來自三個數組的最小差異三元組
- 查找一個三元組，將其總和成給定值
- 找到所有零和的三元組
- 所有合計給定值的唯一三元組
- 計算總數小于給定值的三元組
- 打印形成 AP 的排序數組中的所有三元組
- XOR 為零的唯一三元組數
- 找到一個三元組，使得兩個和等于第三元素
- 查找出現次數的奇數
- 查找丟失的號碼
- 計算排序數組中的出現次數（或頻率）
- 給定一個已排序的數組和一個數字 x，在數組中找到總和最接近 x 的對
- 在排序的二進制數組中計數 1
- 在整數數組中找到第一個重復元素
- 從重復的數組中查找丟失的元素
- 找到重復的和丟失的| 添加了 3 種新方法
- 在未排序的數組中找到出現奇數的兩個數字
- 找到具有給定差異的一對
- 找到四個總和為給定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四個總和為給定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一個總和為 0 的子數組
- 在相鄰元素之間的差為 1 的數組中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 檢查數組中是否存在兩個元素的總和等于數組其余部分的總和
- 檢查給定數組是否包含彼此之間 k 距離內的重復元素
- 使用最少的比較次數搜索未排序數組中的元素
- 連續元素排序數組中僅重復元素的計數
- 在頻率大于或等于 n / 2 的排序數組中查找元素。
- 圓形數組中相鄰元素的最小絕對差
- 在數組中找到第一個，第二個和第三個最小元素
- 程序來查找數組的最小（或最大）元素
- 每個數組元素中另一個數組中最接近的較大元素
- 計算O(1)額外空間和O(n)時間中數組中所有元素的頻率
- 與給定的總和和距末端的最大最短距離配對
- 從數組中刪除一個元素（使用兩次遍歷和一次遍歷）
- 計算給定數組中大小為 3 的反轉
- 計算給定總和的對
- 對排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替換元素會使數組元素連續
- 排序數組中的第 k 個缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的兩個排序數組的中位數
- 從兩個排序的數組中打印不常見的元素
- 非重復元素
- 數組中最頻繁的元素
- 數組中最少的元素
- m 個元素的兩個子集之間的最大差
- n 個數組中升序元素的最大和
- 配對使得一個是其他的冪倍
- 查找數組中對的數量，以使它們的 XOR 為 0
- 兩次最大出現之間的最小距離
- 如果我們在數組中每次成功搜索后加倍，則找到最終值
- 排序數組中的最后一個重復元素
- 找到一個數組元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始順序查找數組的 k 個最大元素
- 數組中的最大值，至少是其他元素的兩倍
- 連續步驟到屋頂
- 兩個大小的組之間的最大差異
- 兩個大小的組之間的最小差異
- 未排序整數列表中最接近的數字
- 值和索引和的最大絕對差
- 數組中局部極值的數量
- 檢查數組是否具有多數元素
- 查找數組中最接近的數字
- 最大和的對數
- 按原始順序打印給定數組中的 n 個最小元素
- 查找給定數組中缺少的前 k 個自然數
- 數組中的高尚整數（大于等于的元素數等于 value）
- 兩個數組對的絕對差的最小和
- 查找數組中非重復（不同）元素的總和
- 檢查是否可以從給定數組形成算術級數
- 數組的最小乘積子集
- 計算選擇差異最大的對的方法
- 每次成功搜索后通過將元素加倍來重復搜索
- 允許負數的數組中成對乘積的最大和
- 矩陣
- 旋轉矩陣元素
- 將方形矩陣旋轉 90 度| 系列 1
- 將矩陣旋轉 90 度，而無需使用任何額外空間| 系列 2
- 將矩陣旋轉 180 度
- 用 K 元素逆時針旋轉矩陣的每個環
- 將圖像旋轉 90 度
- 檢查矩陣的所有行是否都是彼此旋轉
- 排序給定矩陣
- 查找最大數量為 1 的行
- 在按行排序的矩陣中找到中位數
- 矩陣乘法| 遞歸的
- 程序將兩個矩陣相乘
- 矩陣的標量乘法程序
- 程序打印數組的下三角和上三角矩陣
- 查找矩陣所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印給定的矩陣
- 查找矩陣中每一行的最大元素
- 在矩陣中查找唯一元素
- 將矩陣元素逐行移動 k
- 矩陣的不同運算
- 以逆時針螺旋形式打印給定矩陣
- 交換方矩陣的主要和次要對角線
- 矩陣中的最大路徑總和
- 矩陣對角元素的正方形
- 沿給定方向移動矩陣元素并添加具有相同值的元素
- 按升序對矩陣行進行排序，然后按降序對列進行排序
- 矩陣中間行和列的總和
- 矩陣的按行遍歷與按列遍歷
- 向右旋轉矩陣 K 次
- 檢查冪等矩陣的程序
- 程序檢查對合矩陣
- 矩陣中第一行和最后一行的交換元素
- zag-zag 方式打印矩陣
- 二維數組中的按行排序
- 馬爾可夫矩陣程序
- 檢查對角矩陣和標量矩陣的程序
- 按行和列對矩陣進行排序
- 查找島嶼數| 系列 1（使用 DFS）
- 魔術廣場| 偶數訂單
- 魔術廣場
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 檢查給定矩陣是否為幻方
- 兩種矩陣的 Kronecker 積
- 計數總和可分為“ k”的子矩陣
- 對角占優矩陣
- 使矩陣的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 計算大小為 n 的矩陣中 k 的頻率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 給定 1、2、3……k 以之字形打印它們。
- 皇后可以在棋盤上移動的障礙物數量
- 矩陣中 4 個相鄰元素的最大積
- 使二進制矩陣對稱所需的最小翻轉
- 程序檢查矩陣是否為下三角
- 程序檢查矩陣是否為上三角
- 矩陣中偶數和奇數的頻率
- 矩陣的中心元素等于對角線的一半
- 身份矩陣程序
- 程序用矩陣的下對角元素交換上對角元素。
- 稀疏矩陣表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩陣以使所有行和所有列的乘積等于 1 的方式
- 矩陣對角線的鏡像
- 查找二進制矩陣中是否有一個角為 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩陣或網格中兩個單元之間的最短距離
- 計算二進制矩陣中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩陣
- 創建具有 O 和 X 的交替矩形的矩陣
- 矩陣的鋸齒形（或對角線）遍歷
- 原位（固定空間）M x N 大小的矩陣轉置| 更新
- 排序從 0 到 n ^ 2 – 1 的數字矩陣的最低成本
- 二進制矩陣中的唯一像元
- 計算特殊矩陣中等于 x 的條目
- 檢查給定矩陣是否稀疏
- 方矩陣的兩個對角線中的行式公共元素
- 檢查矩陣中第 i 行和第 i 列的總和是否相同
- 查找最大數為 1 的二進制矩陣的行號
- 程序檢查矩陣是否對稱
- 通過遵循單元格值來查找二維數組是否被完全遍歷
- 程序以 Z 格式打印矩陣
- 在矩陣中從左上到右下打印所有回文路徑
- 騎士的可能舉動
- 有效地計算矩陣的對角線總和
- 矩陣的邊界元素
- 從點開始以螺旋形式打印矩陣
- 以蛇形圖案打印矩陣
- 矩陣對角線互換程序
- 找出兩個對角線之和之間的差
- 從給定的二叉樹構造祖先矩陣
- 從祖先矩陣構造樹
- 圓形矩陣（以螺旋方式構造數字 1 到 m * n 的矩陣）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戲計劃
- 矩陣中沙漏的最大和
- 方陣中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩陣
- 查找矩陣的法線和跡線的程序
- 以各種方式對矩陣進行排序
- 設置二進制矩陣的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印給定的矩陣
- C 程序檢查矩陣是否傾斜對稱
- 矩陣元素的總和，其中每個元素是行和列的整數除法
- 稀疏矩陣及其表示| 系列 2（使用列表和鍵字典）
- 查找使兩個矩陣相等的變換數
- 形成矩陣線圈
- 每個元素是其行號和列號的絕對差的矩陣總和
- 檢查二進制矩陣中的水平和垂直對稱性
- 每個值為 0 或 n 的矩陣的最大行列式
- 螺旋奇數階方陣的兩個對角線之和
- 在二進制矩陣中找到具有最大位差的行對
- 查找矩陣中給定行的所有置換行
- 在二進制矩陣中查找以 1s 形成的形狀的周長
- 在矩陣中打印具有相同矩形和的單元格
- 以對角線圖案打印矩陣
- 矩陣中兩行元素之和的最大差
- 查找具有給定總和的對，以便該對的元素位于不同的行中
- 二進制矩陣中所有零的總覆蓋率
- 用行或列的最大 GCD 替換每個矩陣元素
- 計算矩陣中所有排序的行
- 矩陣查詢
- 矩陣中的最大 XOR 值
- 可以從下到右傳輸光線的最大反射鏡
- 最后一個方塊的方向
- 以矩陣的螺旋形式打印第 K 個元素
- 查找給定的矩陣是否為 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩陣中計數零
- 在列明智和行明智排序矩陣中計算負數
- 在二進制矩陣中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回擴展矩陣中的前一個元素
- 使用O(1)額外空間打印 n x n 螺旋矩陣
- 二進制迷宮中的最短路徑
- 查找矩陣中圖案的方向
- 在矩陣中查找特定對
- 打印給定大小的最大和平方子矩陣
- 給定矩陣的所有行中的公共元素
- 按特定順序就地轉換矩陣
- 布爾矩陣問題
- 給定布爾矩陣，找到 k，使第 k 行中的所有元素均為 0，第 k 列為 1。
- 在給定的布爾矩陣中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允許交換列
- 給定井字棋盤配置的有效性
- 子矩陣總和查詢
- 矩陣排名程序
- 全為 1 的最大尺寸矩形二進制子矩陣
- 全為 1 的最大尺寸正方形子矩陣
- 查找矩陣中除給定單元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的總和？
- 計算每個島按行和列分隔的島數
- 在給定的按行排序的矩陣的所有行中找到一個公共元素
- 給定矩陣“ O”和“ X”，如果被“ X”包圍，則將“ O”替換為“ X”
- 給定矩陣“ O”和“ X”，找到被“ X”包圍的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中實現 fill（）？
- 從行和列的排序矩陣中按排序順序打印所有元素
- 給定一個 n x n 方陣，求出大小為 k x k 的所有子方和
- 查找矩陣轉置的程序
- 用于添加兩個矩陣的程序
- 矩陣減法程序
- 使用兩次遍歷收集網格中的最大點
- 在死胡同之前收集最多硬幣
- 正好有 k 個硬幣的路徑數
- 查找從給定起始字符開始的最長連續路徑的長度
- 在給定約束條件下找到矩陣中的最長路徑
- 到達目的地的最低初始點
- 分而治之| 第 5 組（Strassen 的矩陣乘法）
- 2D 矩陣中的最大和矩形| DP-27
- 雜項
- 子數組/子字符串與子序列以及生成它們的程序
- 產品數組難題
- 具有給定乘積的子數組數
- 鏈表與數組
- 檢查數組元素是否連續 新增方法 3
- 查找一個數組是否是另一個數組的子集 新增方法 3
- 在一個數組中實現兩個堆棧
- 查找兩個排序數組的相對補碼
- 通過 k 次運算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三個不同排序數組的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））