[TOC] ## 矩陣 個矩形的數組,按照行(row)、列排列( column),里面可以是數字符號或者表達式 通用形式:  ### 加減法 具有相同size的矩陣可以做加(減)法運算 加法 `$ \begin{bmatrix}1,2,3\\4,5,6\\7,8,9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1,2,3\\6,5,4\\9,8,7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+1,2+2,3+3 \\ 6+4,5+5,4+6\\7+9,8+8,9+7\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2,4,5\\10,10,10\\16,16,16 \end{bmatrix} $` 減法 `$ \begin{bmatrix}1,2,3\\4,5,6\\7,8,9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1,2,3\\6,5,4\\9,8,7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-1,2-2,3-3 \\ 4-6,5-5,6-4\\7-9,8-8,9-7\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0,0,0\\-2,0,2\\-2,0,2 \end{bmatrix} $` ### 乘以常數 `$ 100\times\begin{bmatrix} 1,2,3\\4,5,6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 100*1,100*2,100*3\\100*3,100*5,100*6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}100,200,300\\400,500,600 \end{bmatrix} $` ### 矩陣轉置( transpose)后行列交換 `$ \begin{bmatrix} 1,2,3 \\ 4,5,6 \end{bmatrix}^{T} =\begin{bmatrix} 1,4 \\ 2,5 \\ 3,6\end{bmatrix} $` ### 矩陣相乘 - 一個`m*n`的矩陣乘以一個`n*q`的矩陣,可以得到一個`m*q`的矩陣 1. 一個`1*1`的矩陣乘以一個`1*1`的矩陣得到一個`1*1`的矩陣 2. 一個`2*3`的矩陣乘以一個`2*3`的矩陣—非法操作 3. 一個`2*3`的矩陣乘以一個`3*2`的矩陣得到一個`2*2`的矩陣 4. 一個`3*1`的矩陣乘以一個`1*3`的矩陣得到一個`3*3`的矩陣 具體的乘法 `$ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj} , 0\leqslant i \leqslant m,o\leqslant j\leqslant p $`  ### 矩陣乘法的意義 - 線性變換的本質 - 矩陣乘法揭示著線性變換的本質 - 點P和矩陣M的乘積P×M是點P的一種線性變換  ## 單位矩陣 `n*n`的矩陣,且主對角線為1,其他為0。記做`$ I_{n} $` 如:`$ I_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $` 如: `$ I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $` ### 單位矩陣乘以矩陣 單位矩陣乘以任何矩陣都保持該矩陣的值不變 `$ I_{3}\times\begin{bmatrix}1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \\ \end{bmatrix} $` ## 交換律不成立 `$ AB \neq BA $` 如: `$ \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} $` 不等于 `$ \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} $` ## 分配律 `$ A(B+C)=AB+AC $` `$ (B+C)D=BD+CD $` `A~m*n B~n*p C~n*p D~(p*q)` ## 結合律 `$ (AB)C=A(BC) $` `A~m*n B~n*p C~p*q` ## 矩陣的逆 用途:如果你平移30度,那么可以在乘以30度再乘以他的逆,就可以轉回來 `$ AB=BA=I_{n} $` `$ A=B^{-1} $` `$ B=A^{-1} $` A是B 的逆,B是A的逆 求矩陣的逆 - `$ A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A) $` - `$ det(A) $` 是A的行列式(determinant) - `$ adj(A) $` 是A的伴隨矩陣(adjugate matrix)