# 向量空間回顧 > 原文：[https://www.textbook.ds100.org/ch/19/vector_space_review.html](https://www.textbook.ds100.org/ch/19/vector_space_review.html) ``` # HIDDEN # Clear previously defined variables %reset -f # Set directory for data loading to work properly import os os.chdir(os.path.expanduser('~/notebooks/19')) ``` * [矢量定義](#Definition-of-a-vector) * [縮放和添加向量](#Scaling-and-adding-vectors) * [矢量符號](#Vector-notations) * [矢量$\vec 1$vector](#The-$\vec{1}$-vector) * [一組向量的跨度](#Span-of-a-set-of-vectors) * [向量空間](#Vector-spaces) * [向量子空間](#Vector-subspaces) * [向量之間的角度](#Angles-between-vectors) * [矢量長度](#Vector-lengths) * [兩個向量之間的距離](#Distance-between-two-vectors) * [正交向量](#Orthogonal-vectors) * [矢量投影](#Projections-of-vectors) ### 向量的定義[?](#Definition-of-a-vector) 矢量由長度和方向定義。  注意，$\vec x 和$\vec y 具有相同的長度和方向。它們是相等的向量。 ### 縮放和添加向量 縮放向量就是改變向量的長度。  注意$\vec 2x$和$\vec y$有方向但長度不同。他們不平等。 若要添加兩個向量$\vec y+\vec z$，請根據$\vec y 的長度執行一步，然后立即根據\vec z 的長度執行一步（反之亦然）。這也被稱為三角形方法，將向量的初始點放在另一個向量的端點上。  ### 矢量符號 向量通常用笛卡爾坐標表示。  $$ \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} , \quad \vec{y} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \vec{z} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$ 在這個符號中，我們前面看到的算術運算變得非常簡單。 $$ \vec{2x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 8 \end{bmatrix} , \quad \vec{-0.5z} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \vec{2x + -0.5z} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \end{bmatrix} $$  可以添加向量并按比例縮放元素： $$a \vec{x} + b \vec{y} = \begin{bmatrix} a \ x_1 & + & b \ y_1 \\ & \vdots & \\ a \ x_n & + & b \ y_n \end{bmatrix} $$ ### $\vec 1$vector[?](#The-$\vec{1}$-vector) 在任何$d$維空間中，$\vec 1 是所有$1$的向量：$\begin bmatrix 1 \\vdots\\1 \end bmatrix$ ### 一組向量的跨度 一組向量的跨度$\ \ vec v、\vec v、\dots、\vec v p 是所有可能的線性組合的集合。對于這些$P$向量： $$ \{ c_1 \ \vec{v_1} + c_2 \ \vec{v_2} + \dots + c_p \ \vec{v_p} \ : \ \forall c_i \in F\}$$ 其中$F$是向量空間的字段（超出范圍）。 ### 向量空間 向量空間$v$是一組向量的跨度，$n\ vec \ vec \ v，\vec \ v，\dots，\vec v \ p，其中每個$\ vec v，$是$n\乘以 1$維列向量。 ### 向量子空間 $v$的子空間$u$是一組向量的跨度（$v\ vec \ vec u、\dots、\vec u \ u），其中每個向量（$vec u i）以 v$表示。這意味著$U$中的每一個向量也都是$V$中的。 ### 向量間的角度 當您將任意兩個向量端到端放置而不改變它們的方向時，可以測量它們之間的角度。  ### 向量長度[?](#Vector-lengths) 直覺在$\mathbb r ^2$中： 回想一下加上兩個向量的三角形方法。如果我們在$\mathbb 2$中添加兩個垂直向量$\vec vec 在這種情況下，我們還知道，$\vec a+\vec b$的長度將遵循勾股定理：$\sqrt a^2+b^2$。  馬蹄布 r \\\125\125\\124\123;\\124\124\124\\\124\124; 124\124\124; \124\124\124\\\\\\\\\\\\\；V \端對齊$$ 其中，最后一個運算符是點積。 $$ \begin{aligned} \vec{x} \cdot \vec{y} \quad &= \quad x_1 \ y_1 + x_2 \ y_2 + \dots + x_n \ y_n \\ &= \quad||x|| \ ||y|| \ \cos{\theta} \end{aligned} $$ 第一個表達式稱為點積的代數定義，第二個表達式稱為幾何定義。注意，點積是為$\mathbb r ^n$中的向量定義的內積。 ### 兩個向量之間的距離 $$dist(\vec{x},\vec{y}) \quad = \quad || \vec{x} - \vec{y} ||$$  ### 正交向量 要使兩個非零向量正交，它們必須滿足$\vec x \cdot\vec y=0$的屬性。因為它們的長度不是零，所以兩個向量正交的唯一方法是當$\cos \theta=0$時。一個令人滿意的角度是 90 度，我們熟悉的直角。 ### 向量投影 要將一個向量$\vec x 投射到另一個向量$\vec y 上，我們需要找到最接近于\vec x 的$K\\vec y$  根據畢達哥拉斯定理，我們知道$k$必須是標量，這樣，$vec x-k\\vec y 就垂直于$vec-y，所以$k\\vec y 是$vec x 到$vec y 的（正交）投影。 同樣地，為了將一個矢量\\\\\\123 \ 123，點，\\123\123\123\\\\123\\\\123\\123\\\\\\\\123；v_p 美元，最接近于\vec x 美元。