浮點算術：爭議和限制 · Python3.7.3官方文檔簡體中文

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15.1. 表示性錯誤本小節將詳細解釋 "0.1" 的例子，并說明你可以怎樣親自對此類情況進行精確分析。假定前提是已基本熟悉二進制浮點表示法。 *表示性錯誤* 是指某些（其實是大多數）十進制小數無法以二進制（以 2 為基數的計數制）精確表示這一事實造成的錯誤。這就是為什么 Python（或者 Perl、C、C++、Java、Fortran 以及許多其他語言）經常不會顯示你所期待的精確十進制數值的主要原因。為什么會這樣？ 1/10 是無法用二進制小數精確表示的。目前（2000年11月）幾乎所有使用 IEEE-754 浮點運算標準的機器以及幾乎所有系統平臺都會將 Python 浮點數映射為 IEEE-754 “雙精度類型”。 754 雙精度類型包含 53 位精度，因此在輸入時，計算會盡量將 0.1 轉換為以 *J*/2\*\**N* 形式所能表示的最接近分數，其中 *J* 為恰好包含 53 個二進制位的整數。重新將 ``` 1 / 10 ~= J / (2**N) ``` 寫為 ``` J ~= 2**N / 10 ``` 并且由于 *J* 恰好有 53 位 (即 `>= 2**52` 但 `< 2**53`)，*N* 的最佳值為 56: ``` >>> 2**52 <= 2**56 // 10 < 2**53 True ``` 也就是說，56 是唯一的 *N* 值能令 *J* 恰好有 53 位。這樣 *J* 的最佳可能值就是經過舍入的商: ``` >>> q, r = divmod(2**56, 10) >>> r 6 ``` 由于余數超過 10 的一半，最佳近似值可通過四舍五入獲得: ``` >>> q+1 7205759403792794 ``` 這樣在 754 雙精度下 1/10 的最佳近似值為: ``` 7205759403792794 / 2 ** 56 ``` 分子和分母都除以二則結果小數為: ``` 3602879701896397 / 2 ** 55 ``` 請注意由于我們做了向上舍入，這個結果實際上略大于 1/10；如果我們沒有向上舍入，則商將會略小于 1/10。但無論如何它都不會是 *精確的* 1/10！因此計算永遠不會“看到”1/10：它實際看到的就是上面所給出的小數，它所能達到的最佳 754 雙精度近似值: ``` >>> 0.1 * 2 ** 55 3602879701896397.0 ``` 如果我們將該小數乘以 10\*\*55，我們可以看到該值輸出為 55 位的十進制數: ``` >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55 1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 ``` 這意味著存儲在計算機中的確切數值等于十進制數值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。許多語言（包括較舊版本的 Python）都不會顯示這個完整的十進制數值，而是將結果舍入為 17 位有效數字: ``` >>> format(0.1, '.17f') '0.10000000000000001' ``` [`fractions`](../library/fractions.xhtml#module-fractions "fractions: Rational numbers.") 和 [`decimal`](../library/decimal.xhtml#module-decimal "decimal: Implementation of the General Decimal Arithmetic Specification.") 模塊可令進行此類計算更加容易: ``` >>> from decimal import Decimal >>> from fractions import Fraction >>> Fraction.from_float(0.1) Fraction(3602879701896397, 36028797018963968) >>> (0.1).as_integer_ratio() (3602879701896397, 36028797018963968) >>> Decimal.from_float(0.1) Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625') >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17') '0.10000000000000001' ``` ### 導航 - [索引](../genindex.xhtml "總目錄") - [模塊](../py-modindex.xhtml "Python 模塊索引") | - [下一頁](appendix.xhtml "16. 附錄") | - [上一頁](interactive.xhtml "14. 交互式編輯和編輯歷史") | - ![](https://box.kancloud.cn/a721fc7ec672275e257bbbfde49a4d4e_16x16.png) - [Python](https://www.python.org/) ? - zh\_CN 3.7.3 [文檔](../index.xhtml) ? - [Python 教程](index.xhtml) ? - $('.inline-search').show(0); | ? 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