9.1.3 編程案例：乒乓球比賽模擬 · 程序設計思想與方法

### 9.1.3 編程案例：乒乓球比賽模擬眾所周知，中國乒乓球項目的技術水平世界第一，以至于所有比賽的冠軍幾乎都由中國球員包辦。為了增強乒乓球運動的吸引力，提高其他國家的人對這項運動的興趣，國際乒聯想了很多辦法來削弱中國球員的絕對優勢，例如擴大乒乓球的直徑、禁用某些種類的球拍、改變賽制等等。在本節中，我們將編寫程序來模擬乒乓球比賽，以便研究一項針對中國球員的規則改革是否真的有效。這項改革是：從 2001 年 9 月 1 日起，乒乓球比賽的每一局比分從 21 分改為 11 分。球員技術水平的表示乒乓球是兩個球員之間的比賽，比賽開始后由一個球員發球，另一個球員將球接回來，然后兩人交替擊球，直至一方沒能將球回到對方臺上，這時另一方就得一分。一個球員有幾次發球機會，用完這些發球機會后將換發球。比賽勝負由球員的技術水平決定，我們用兩個球員對陣時各自的得分概率來表示他們的技術水平。如果球員 A 與 B 水平相當，則 A 拿下 1 分的概率是 50%，B 拿下 1 分的概率也是 50%；如果 A 水平較高，拿下 1 分的概率是 55%，則 B 拿下 1 分的概率就只有 45%了。順便指出，球員技術水平的表示方法并無一定之規，是由編程者自己主觀確定的，關鍵是表示方法要比較符合實際。我們這里采用的得分概率表示方法很簡單，但沒有考慮球員作為發球方和接發球方的區別。讀者可以考慮其他的表示方法，如：將球員的世界排名換算成獲勝概率，或者用球員作為發球方時的得分概率，或者用綜合考慮發球得分概率和接發球得分概率的某個概率計算公式，等等。模擬一回合比賽與得分設 A、B 兩球員比賽時，各自得分的概率為 prob 和 1-prob。利用蒙特卡洛方法，下面的代碼即模擬了得到 1 分的一回合比賽，這是整個模擬程序的核心功能。 ``` if random() < prob: pointA = pointA + 1 else: pointB = pointB + 1 ``` 我們可以立刻來測試這個核心功能。假設 A 的得分概率是 0.55，讓 A、B 進行 10000分的較量，看看各自得分情況如何。測試代碼如下： ``` >>> from random import random >>> pointA = pointB = 0 >>> for i in range(10000): if random() < 0.55: pointA = pointA + 1 else: pointB = pointB + 1 >>> print pointA,pointB 5430 4570 ``` 最后得分差不多就是 55%比 45%，可見模擬比賽的結果確實反映了 A、B 雙方的實力。模擬一局比賽乒乓球比賽不是按比賽回合來判定勝負的，而是采用將若干回合組成一局的方式，以局為單位來判定勝負。老規則采用每局 21 分制，新規則采用每局 11 分制。我們利用上述模擬一回合比賽及得分的代碼，改成以局為單位進行比賽（假設采用 21 分制）。 ``` >>> def oneGame(): pointA = pointB = 0 while pointA != 21 and pointB != 21: if random() < 0.55: pointA = pointA + 1 else: pointB = pointB + 1 return pointA, pointB ``` 函數 oneGame 模擬了 21 分制的一局比賽：只要還沒人達到 21 分，就繼續進行回合較量；否則退出循環，并返回本句中 A 和 B 各自的得分 pointA 和 pointB。調用 oneGame 的人可以比較這兩個返回值的大小，以判斷是誰贏了這一局。下面我們來測試 oneGame 函數，讓兩個球員進行 1000 局較量，看看勝負如何。 ``` >>> gameA = gameB = 0 >>> for i in range(1000): pointA, pointB = oneGame() if pointA > pointB: gameA = gameA + 1 else: gameB = gameB + 1 >>> print gameA,gameB 751 249 ``` 出人意料的是，雖然 A、B 在每一回合的獲勝概率相差不大（55%比 45%），但如果按每局21 分制進行比賽的話，A 的勝局數遙遙領先于 B（75%比 25%）！這里面的道理是顯然的，每回合的勝負偶然性對 21 分一局的勝負來說影響減小了，得分能力稍強的人更加可能贏得一局。可以想象，如果將一局的得分減少，就像國際乒聯所做得那樣改成每局 11 分，那么每回合的勝負偶然性對一局的勝負就會有較大影響。稍后我們將在程序中驗證這一點。模擬一場比賽一場乒乓球比賽也不是無限制地打很多局才能定勝負，一般都是采取 3 局 2 勝、5 局 3 勝或 7 局 4 勝的方式來完成比賽。下面我們采用 21 分制、3 局 2 勝的賽制，來編寫模擬一場比賽的程序 oneMatch，并通過模擬 100 場比賽來測試 oneMatch。 ``` >>> def oneMatch(): gameOver = [(3,0),(0,3),(3,1),(1,3),(3,2),(2,3)] gameA = gameB = 0 while not (gameA,gameB) in gameOver: pointA, pointB = oneGame() if pointA > pointB: gameA = gameA + 1 else: gameB = gameB + 1 return gameA, gameB >>> matchA = matchB = 0 >>> for i in range(100): gameA, gameB = oneMatch() if gameA > gameB: matchA = matchA + 1 else: matchB = matchB + 1 >>> print matchA,matchB 89 11 ``` 可見按 3 局 2 勝來計算勝負，導致 A 和 B 的勝負更加懸殊了（89%比 11%），這是因為 3 局 2 勝的規則將每一局勝負偶然性的影響削弱了。完整程序通過以上設計過程，我們的模擬乒乓球比賽的程序越來越完善了。接下去我們可以進一步改善程序的功能，例如將球員的技術水平改成由用戶輸入而不是固定的 0.55，允許采取不同的比賽規則（21 分或 11 分），增加對比賽結果的分析，等等。這些新增特性就不詳細解釋了，請讀者自行閱讀下面的完整程序代碼。【程序 9.2】pingpong.py ``` from random import random def getInputs(): p = input("Player A's winning prob: ") n = input("How many matches to simulate? ") return p, n def simNMatches(n,prob,rule): matchA = matchB = 0 for i in range(n): gameA, gameB = oneMatch(prob,rule) if gameA > gameB: matchA = matchA + 1 else: matchB = matchB + 1 return matchA, matchB def oneMatch(prob,rule): gameOver = [(3,0),(0,3),(3,1),(1,3),(3,2),(2,3)] gameA = gameB = 0 while not (gameA,gameB) in gameOver: pointA, pointB = oneGame(prob,rule) if pointA > pointB: gameA = gameA + 1 else: gameB = gameB + 1 return gameA, gameB def oneGame(prob,rule): pointA = pointB = 0 while not gameOver(pointA,pointB,rule): if random() < prob: pointA = pointA + 1 else: pointB = pointB + 1 return pointA, pointB def gameOver(a,b,rule): return (a>=rule or b>=rule) and abs(a-b)>=2 def printSummary(a,b): n = float(a + b) print "Wins for A: %d (%0.1f%%)" % (a, a/n*100) print "Wins for B: %d (%0.1f%%)" % (b, b/n*100) def main(): p, n = getInputs() matchA, matchB = simNMatches(n,p,21) print "\nRule: 21 points, best of 3 games." printSummary(matchA,matchB) matchA, matchB = simNMatches(n,p,11) print "\nRule: 11 points, best of 3 games." printSummary(matchA,matchB) main() ``` 本程序的核心代碼在前面介紹了，其他如 getInputs 和 printSummary 的功能都是顯然的，只有判斷一局比賽結束的 gameOver 中有個條件 abs(a-b)>=2 需要說明一下。乒乓球比賽規則規定，贏得一局比賽的球員至少要比對手多得 2 分，即 20:20（或 10:10）之后，一定要連得 2 分才能贏得此局。下面是本程序的一次運行結果： ``` Player A's winning prob: 0.52 How many matches to simulate? 100 Rule: 21 points, best of 3 games. Wins for A: 74 (74.0%) Wins for B: 26 (26.0%) Rule: 11 points, best of 3 games. Wins for A: 68 (68.0%) Wins for B: 32 (32.0%) ``` 結果表明，假設球員 A 對球員 B 的得分概率為 52%，當采用每局 21 分、3 局 2 勝的規則時，A 有 74%的機會贏得比賽；當采用每局 11 分、3 局 2 勝的規則時，A 的獲勝概率降到了 68%。這說明，國際乒聯對規則的修改確實能削弱強手的優勢程度。不過即便如此，強手獲勝的概率還是相當高，何況中國球員的得分概率恐怕遠不止 52%。或許要將每局分數再減少點，或者用其他方法，才能增加外國選手獲勝機會吧:-)。讀者可以試著修改程序 9.2，比如采取發球方得分概率作為技術水平的表示，并且將發球、換發球等因素添加到模擬程序中。