## 11.3 計算物理學 計算物理學（computational physics）研究利用計算機來解決物理問題，是計算機科學、 計算數學和物理學相結合而形成的交叉學科。如今，計算物理已經與理論物理、實驗物理一 起構成了物理學的三大支柱。 物理學旨在發現、解釋和預測宇宙運行規律，而為了更準確地做到這一點，今天的物理 學越來越依賴于計算。首先，很多物理問題涉及海量的實驗數據，依靠手工處理根本無力解決。例如在高能物理實驗中，由于實驗技術的發展和測量精度的提高，實驗規模越來越大， 實驗數據也大幅增加，只能利用計算機來處理實驗數據。其次，很多物理問題涉及復雜的計 算，解析方法或手工數值計算無法解決這樣的計算問題。例如電子反常磁矩修正的計算，對 四階修正的手工解析技術已經相當繁雜，而對六階修正的計算已經包含了 72 個費曼圖，手 工解析運算已不可能完成。同樣只能利用計算機來解決問題。 在物理學中運用計算思維，使我們可以利用數值計算、符號計算和模擬等方法來發現和 預測物理系統的特性和規律。 解決物理問題時，通常在獲得描述物理過程的數學公式后，需要進行數值分析以便與實 驗結果進行對照。對于復雜的計算，手工數值分析是不可能的，只能采用數值方法利用計算 機來計算。 有些物理問題不是數值計算問題，需要利用計算機的符號處理能力來解決。例如，理論 物理中的公式推導，就是純粹的符號變換。有時即使是數值計算問題，由于精度要求很高， 導致計算耗時很長甚至無法達到所需精度，這時可以利用符號計算來推導出解析形式的問題 解。又如，有時數值方法是病態的，如果能將數值計算改成解析計算，則可以得到有意義的 結果。 統計物理中有個自回避隨機遷移問題，它是在隨機漫步中加上了一個限制，即以后的步 子不能穿過以前各步所走過的路徑。這樣的問題不像一般的遷移問題那樣可以用微分方程來 描寫系統的統計行為，計算機模擬幾乎是唯一的研究方法。計算機模擬不受實驗條件、時間 和空間的限制，只要建立了模型，就能進行模擬實驗，因而具有極大的靈活性。下面通過一 個實例來介紹模擬方法在計算物理學中的應用。 熱平衡系統的模擬 為了研究一個包含 N 個粒子的熱系統，原則上只要了解每個粒子的運動，就能弄清楚 粒子和粒子之間的每一次相互作用。但由于粒子數目太大，要想計算 N 個粒子的軌跡以及 N(N-1)對相互作用，是非常困難的。 然而，對于處于平衡態的熱系統，雖然系統的微觀特性總是在變動，但其宏觀特性則是 恒定不變的，體現為具有恒定的溫度。系統的微觀狀態由每個粒子的速度等物理量來刻劃， 粒子間的相互作用會導致微觀狀態改變；而系統的宏觀狀態是微觀狀態的集體特性，表現為 系統的總能量（或溫度等）。統計物理學認為，雖然微觀狀態可能沒有規則，但宏觀狀態服 從統計規律。對于處于平衡態的理想氣體而言，雖然微觀相互作用可導致粒子能量的重新分 配，但系統的總能量保持不變。 考慮一個由三個粒子組成的小系統 S。假設共有 4 份能量在這三個粒子之間交換，則能 量分布可以有以下 15 種狀態：(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)、(3,1,0)、(3,0,1)、(1,3,0)、(0,3,1)、(1,0,3)、(0,1,3)、(2,2,0)、(2,0,2)、(2,1,1)、(0,2,2)、(1,2,1)、(1,1,2)。這里元組(a,b,c)表示三個粒子各 自獲得的能量。每種微觀狀態都有自己的出現概率，例如從這 15 種微觀狀態可見，一個粒 子占有全部能量的概率為 3/15 = 0.2。S 的平衡特性由概率較高的微觀狀態決定，而通過隨 機抽樣方法（蒙特卡洛方法）可以有效地產生高可能性微觀狀態，從而可以用來評估 S 的 平衡特性。 我們引入一個“demon”來與系統 S 發生相互作用。作用方式是：令 demon 與 S 中某 個隨機選擇的粒子進行相互作用，并試著隨機改變該粒子的狀態（對氣體來說就是改變粒子 的速度）；如果這個改變導致粒子能量減少，則執行這個改變，并將少掉的能量傳遞給 demon； 如果這個改變導致粒子能量增加，則僅當 demon 有足夠能量傳遞給粒子時才執行這次改變。 按這種方式，每次產生新的微觀狀態時，系統 S 的能量加上 demon 的能量保持不變。 具體地，將 demon 加入到 S（包含三個微觀粒子）中后，宏觀狀態仍為 4 份能量。新系統“S+demon”的 demon 為 0 能量的狀態共有 15 個，正對應于原始系統 S 的那 15 個狀態。 如果嘗試改變一個微觀狀態使得某個粒子減少一份能量，則將那份能量轉給 demon，這樣就 使原始系統變成了具有 3 份能量的系統，而 demon 具有 1 份能量。與這種情況對應的微觀 狀態有 10 個，即(3,0,0)、(0,3,0)、(0,0,3)、(2,1,0)、(2,0,1)、(1,2,0)、(0,2,1)、(1,0,2)、(0,1,2)和(1,1,1)。由此可見，如果實施一系列的微觀狀態隨機改變，將發現 demon 具有 1 份能量與 具有 0 份能量的相對概率為 10/15 = 2/3。也就是說，當 demon 擾亂小系統 S 時，S 仍然處于 原來的宏觀能量的可能性更大，而不是處于某個較低能量。 同理，如果 demon 具有 2 份能量，則 S+demon 系統具有 6 個微觀狀態；如果 demon 具 有 3 份能量，則組合系統具有 3 種微觀狀態；如果 demon 擁有全部 4 份能量，則組合系統 只有一種微觀狀態。這幾種情形對應的相對概率分別為 6/15、3/15 和 1/15。 一般地，對于一個宏觀系統，當產生大量的微觀狀態改變之后，其中 demon 擁有能量 E 的微觀狀態，與 demon 擁有 0 能量的微觀狀態數目之比是隨 E 的升高而呈指數形式下降的， 具體公式為  其中 k 是玻爾茲曼常數，T 是宏觀系統的溫度。以我們的小系統 S 為例，p(Ed=1) / p(Ed = 0) 約為 2/3。 總之，計算物理學依據理論物理提供的物理原理和數學方程，針對實驗物理提供的實驗 數據，進行數值計算或符號計算，從而為理論研究提供數據、幫助分析實驗數據和模擬物理 系統。