# 線性代數的溫和介紹 > 原文： [https://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-linear-algebra/](https://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-linear-algebra/) ### 什么是線性代數？ 線性代數是一個數學領域，普遍認為它是更深入理解機器學習的先決條件。 雖然線性代數是一個具有許多深奧理論和發現的大型領域，但從該領域獲得的螺母和螺栓工具和符號對于機器學習從業者來說是實用的。憑借線性代數的堅實基礎，可以專注于良好或相關的部分。 在本教程中，您將從機器學習的角度發現究竟線性代數是什么。 完成本教程后，您將了解： * 線性代數是數據的數學。 * 線性代數對統計學領域產生了顯著影響。 * 線性代數是許多實用數學工具的基礎，例如傅里葉級數和計算機圖形學。 讓我們開始吧。  線性代數的溫和介紹 [Steve Corey](https://www.flickr.com/photos/stevecorey/13939447959/) 的照片，保留一些權利。 ## 教程概述 本教程分為 4 個部分;他們是： 1. 線性代數 2. 數值線性代數 3. 線性代數與統計 4. 線性代數的應用 ## 線性代數 線性代數是數學的一個分支，但事實是線性代數是數學的數學。矩陣和向量是數據的語言。 線性代數是線性組合。也就是說，對稱為向量的數字列和稱為矩陣的數字數組使用算術，以創建新的列和數字數組。線性代數是線性變換所需的線和平面，向量空間和映射的研究。 這是一個相對年輕的研究領域，最初在 19 世紀正式化，以便在線性方程組中找到未知數。線性方程只是一系列術語和數學運算，其中一些術語是未知的;例如： ``` y = 4 * x + 1 ``` 像這樣的方程是線性的，因為它們描述了二維圖上的線。該線來自于將不同的值插入到未知 x 中，以找出等式或模型對 y 值的影響。 我們可以將具有兩個或更多未知數的相同形式的方程組排列在一起;例如： ``` y = 0.1 * x1 + 0.4 * x2 y = 0.3 * x1 + 0.9 * x2 y = 0.2 * x1 + 0.3 * x2 ... ``` y 值列可以作為等式的輸出的列向量。兩列浮點值是數據列，比如 a1 和 a2，可以作為矩陣 A.兩個未知值 x1 和 x2 可以作為等式的系數，一起形成未知數的向量 b 待解決。我們可以使用線性代數表示法緊湊地編寫這個： ``` y = A . b ``` 這種形式的問題通常難以解決，因為有更多的未知數（這里我們有 2 個）比要求解的方程（這里我們有 3 個）。此外，通常沒有單行可以無錯誤地滿足所有方程。描述我們經常感興趣的問題的系統（例如線性回歸）可以具有無限數量的解決方案。 這給了我們作為機器學習從業者感興趣的線性代數的核心品味。其余大部分操作都是關于解決這個問題以及更容易理解和解決的問題。 ## 數值線性代數 線性代數在計算機中的應用通常被稱為數值線性代數。 > “數值”線性代數實際應用于線性代數。 - Page ix，[數值線性代數](http://amzn.to/2kjEF4S)，1997。 它不僅僅是代碼庫中線性代數運算的實現;它還包括仔細處理應用數學問題，例如使用數字計算機的有限浮點精度。 計算機擅長執行線性代數計算，而現代機器學習方法（如深度學習）對圖形處理單元（GPU）的依賴很大程度上是因為它們能夠快速計算線性代數運算。 向量和矩陣運算的有效實現最初是在 20 世紀 70 年代和 80 年代的 FORTRAN 編程語言中實現的，許多代碼或從這些實現移植的代碼是使用現代編程語言（如 Python）執行的大部分線性代數的基礎。 實現這些功能的三個流行的開源數值線性代數庫是： * 線性代數包，或 LAPACK。 * 基本線性代數子程序，或 BLAS（線性代數庫的標準）。 * 自動調諧線性代數軟件，或 ATLAS。 通常，當您通過高階算法直接或間接計算線性代數運算時，您的代碼很可能會使用其中一個或類似的線性代數庫。如果您已安裝或編譯任何 Python 的數字庫（如 SciPy 和 NumPy），則您可能很熟悉這些底層庫中的一個的名稱。 ## 線性代數與統計 線性代數是其他數學分支中的一個有價值的工具，尤其是統計學。 > 通常，學習統計學的學生預計至少會在本科階段看到一個學期的線性代數（或應用代數）。 - 第 xv 頁，[線性代數和統計矩陣分析](http://amzn.to/2A9ceNv)，2014 年。 考慮到兩個領域與應用機器學習領域的基礎關系，線性代數的影響是重要的考慮因素。 線性代數在統計和統計方法上的一些清晰指紋包括： * 使用向量和矩陣表示法，尤其是多變量統計。 * 最小二乘和加權最小二乘的解，例如線性回歸。 * 估計數據矩陣的均值和方差。 * 協方差矩陣在多項高斯分布中起關鍵作用。 * 數據減少的主成分分析將許多這些元素結合在一起。 如您所見，現代統計和數據分析，至少就機器學習從業者的興趣而言，取決于線性代數的理解和工具。 ## 線性代數的應用 由于線性代數是數據的數學，線性代數的工具被用于許多領域。 在他關于題為“[線性代數導論](http://amzn.to/2j2J0g4)”主題的經典著作中，Gilbert Strang 提供了一章專門討論線性代數的應用。在其中，他展示了植根于線性代數的特定數學工具。簡而言之，他們是： * 工程中的矩陣，例如一系列彈簧。 * 圖形和網絡，例如分析網絡。 * 馬爾可夫矩陣，人口和經濟學，如人口增長。 * 線性規劃，單純形優化方法。 * 傅立葉級數：用于函數的線性代數，廣泛用于信號處理。 * 用于統計和概率的線性代數，例如回歸的最小二乘法。 * 計算機圖形學，例如圖像的各種翻譯，重新縮放和旋轉。 線性代數的另一個有趣的應用是它是阿爾伯特愛因斯坦在他的相對論部分中使用的數學類型。特別是張量和張量微積分。他還介紹了一種新的線性代數符號，稱為愛因斯坦符號或愛因斯坦求和慣例。 ## 擴展 本節列出了一些擴展您可能希望探索的教程的想法。 * 搜索書籍和網絡以獲得定義線性代數領域的 5 種語錄。 * 研究并列出 5 個應用或線性代數在場概率和統計中的應用。 * 列出并編寫線性代數描述中使用的 10 個術語的簡短定義。 如果你探索任何這些擴展，我很想知道。 ## 進一步閱讀 如果您希望深入了解，本節將提供有關該主題的更多資源。 ### 圖書 * [線性代數](http://amzn.to/2j2J0g4)簡介，2016 年。 * [數值線性代數](http://amzn.to/2kjEF4S)，1997。 * [線性代數和統計矩陣分析](http://amzn.to/2A9ceNv)，2014。 ### 用品 * [維基百科上的線性代數](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra) * [維基百科上的線性代數類別](https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Linear_algebra) * [線性代數維基百科上的主題列表](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_linear_algebra_topics) * 維基百科上的 [LAPACK](https://en.wikipedia.org/wiki/LAPACK) * [維基百科上的基本線性代數子程序](https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms) * [維基百科上的自動調諧線性代數軟件](https://en.wikipedia.org/wiki/Automatically_Tuned_Linear_Algebra_Software) * [維基百科上的愛因斯坦符號](https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation) * [維基百科上的廣義相對論數學](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_general_relativity) ### 相關文章 * [用于機器學習的線性代數](https://machinelearningmastery.com/linear-algebra-machine-learning/) ## 摘要 在本教程中，您從機器學習的角度發現了對線性代數的溫和介紹。 具體來說，你學到了： * 線性代數是數據的數學。 * 線性代數對統計學領域產生了顯著影響。 * 線性代數是許多實用數學工具的基礎，例如傅里葉級數和計算機圖形學。 你有任何問題嗎？ 在下面的評論中提出您的問題，我會盡力回答。