# 機器學習向量的溫和介紹 > 原文： [https://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-vectors-machine-learning/](https://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-vectors-machine-learning/) 向量是線性代數的基本元素。 在訓練算法時，在算法和過程（例如目標變量（y））的描述中，在整個機器學習領域中使用向量。 在本教程中，您將發現用于機器學習的線性代數向量。 完成本教程后，您將了解： * 什么是向量以及如何使用 NumPy 在 Python 中定義一個向量。 * 如何執行加法，減法，乘法和除法等向量運算。 * 如何使用標量執行點積和乘法等附加操作。 讓我們開始吧。  機器學習向量的溫和介紹 [Lachlan Donald](https://www.flickr.com/photos/lox/9407402400/) 的照片，保留一些權利。 ## 教程概述 本教程分為 5 個部分;他們是： 1. 什么是向量？ 2. 定義向量 3. 向量算術 4. 向量點產品 5. 向量標量乘法 ## 什么是向量？ 向量是一個或多個稱為標量的值的元組。 > 向量由組件構建，組件是普通數字。您可以將向量視為數字列表，將向量代數視為對列表中的數字執行的操作。 - 第 69 頁，[無線性代數廢話指南](http://amzn.to/2k76D4C)，2017 年 向量通常用小寫字符表示，例如“v”;例如： ``` v = (v1, v2, v3) ``` 其中 v1，v2，v3 是標量值，通常是實數值。 向量也使用垂直表示或列顯示;例如： ``` v1 v = ( v2 ) v3 ``` 在描述機器學習算法的訓練時，通常將目標變量表示為具有小寫“y”的向量。 通常使用幾何類比引入向量，其中向量表示 n 維空間中的點或坐標，其中 n 是維數的數量，例如 2。 向量也可以被認為是來自向量空間的原點的線，具有方向和幅度。 這些類比作為一個起點很好，但不應該太緊，因為我們經常考慮機器學習中非常高的維度向量。我發現向量坐標是機器學習中最引人注目的類比。 現在我們知道了一個向量是什么，讓我們來看看如何在 Python 中定義一個向量。 ## 定義向量 我們可以將 Python 中的向量表示為 NumPy 數組。 可以從數字列表創建 NumPy 數組。例如，下面我們定義一個長度為 3 且整數值為 1,2 和 3 的向量。 ``` # create a vector from numpy import array v = array([1, 2, 3]) print(v) ``` 該示例定義了具有 3 個元素的向量。 運行該示例將打印定義的向量。 ``` [1 2 3] ``` ## 向量算術 在本節中將演示簡單的向量向量算法，其中所有操作在兩個相等長度的向量之間以元素方式執行，以產生具有相同長度的新向量 ### 向量加法 可以將兩個相等長度的向量相加在一起以創建新的第三向量。 ``` c = a + b ``` 新向量與其他兩個向量具有相同的長度。新向量的每個元素被計算為在相同索引處添加其他向量的元素;例如： ``` a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) ``` 或者，換句話說： ``` c[0] = a[0] + b[0] c[1] = a[1] + b[1] c[2] = a[2] + b[2] ``` 我們可以通過添加 NumPy 數組直接在 Python 中添加向量。 ``` # add vectors from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) b = array([1, 2, 3]) print(b) c = a + b print(c) ``` 該示例定義了兩個向量，每個向量具有三個元素，然后將它們相加。 首先運行該示例打印兩個父向量然后打印一個新向量，該向量是兩個向量的相加。 ``` [1 2 3] [1 2 3] [2 4 6] ``` ### 向量減法 可以從另一個相等長度的向量中減去一個向量以創建新的第三向量。 ``` c = a - b ``` 與加法一樣，新向量具有與父向量相同的長度，并且新向量的每個元素被計算為相同索引處的元素的減法。 ``` a - b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3) ``` Or, put another way: ``` c[0] = a[0] - b[0] c[1] = a[1] - b[1] c[2] = a[2] - b[2] ``` 可以在 Python 中直接減去 NumPy 數組。 ``` # subtract vectors from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) b = array([0.5, 0.5, 0.5]) print(b) c = a - b print(c) ``` 該示例定義了兩個向量，每個向量包含三個元素，然后從第二個向量中減去第一個向量。 首先運行該示例打印兩個父向量，然后打印第一個減去第二個的新向量。 ``` [1 2 3] [ 0.5 0.5 0.5] [ 0.5 1.5 2.5] ``` ### 向量乘法 兩個相等長度的向量可以相乘。 ``` c = a * b ``` 與加法和減法一樣，該操作以元素方式執行以產生相同長度的新向量。 ``` a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3) ``` 要么 ``` ab = (a1b1, a2b2, a3b3) ``` Or, put another way: ``` c[0] = a[0] * b[0] c[1] = a[1] * b[1] c[2] = a[2] * b[2] ``` 我們可以直接在 NumPy 中執行此操作。 ``` # multiply vectors from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) b = array([1, 2, 3]) print(b) c = a * b print(c) ``` 該示例定義了兩個向量，每個向量具有三個元素，然后將向量相乘。 首先運行該示例打印兩個父向量，然后打印新向量。 ``` [1 2 3] [1 2 3] [1 4 9] ``` ### 向量分部 可以劃分兩個相等長度的向量。 ``` c = a / b ``` 與其他算術運算一樣，此操作以元素方式執行，以產生相同長度的新向量。 ``` a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3) ``` or ``` a / b = (a1b1, a2b2, a3b3) ``` Or, put another way: ``` c[0] = a[0] / b[0] c[1] = a[1] / b[1] c[2] = a[2] / b[2] ``` We can perform this operation directly in NumPy. ``` # divide vectors from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) b = array([1, 2, 3]) print(b) c = a / b print(c) ``` 該示例定義了兩個向量，每個向量具有三個元素，然后將第一個除以第二個。 首先運行該示例打印兩個父向量，然后是向量分割的結果。 ``` [1 2 3] [1 2 3] [ 1\. 1\. 1.] ``` ## 向量點產品 我們可以計算兩個相同長度向量的相乘元素之和，得到一個標量。 這稱為點積，由于在描述操作時使用的點運算符而命名。 > 點積是計算向量投影，向量分解和確定正交性的關鍵工具。名稱點積來自用于表示它的符號。 - 第 110 頁，[無線性代數廢話指南](http://amzn.to/2k76D4C)，2017 年 ``` c = a . b ``` 該操作可用于機器學習以計算向量的加權和。 點積計算如下： ``` a . b = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) ``` or ``` a . b = (a1b1 + a2b2 + a3b3) ``` 我們可以使用 NumPy 數組上的 dot（）函數計算 Python 中兩個向量之間的點積。 ``` # dot product vectors from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) b = array([1, 2, 3]) print(b) c = a.dot(b) print(c) ``` 該示例定義了兩個向量，每個向量包含三個元素，然后計算點積。 運行該示例首先打印兩個父向量，然后打印標量點積。 ``` [1 2 3] [1 2 3] 14 ``` ## 向量標量乘法 向量可以乘以標量，實際上縮放向量的大小。 為了使符號簡單，我們將使用小寫“s”來表示標量值。 ``` c = s * v ``` or ``` c = sv ``` 對向量的每個元素執行乘法，以產生相同長度的新縮放向量。 ``` s * v = (s * v1, s * v2, s * v3) ``` Or, put another way: ``` c[0] = a[0] * s c[1] = a[1] * s c[2] = a[2] * s ``` 我們可以直接使用 NumPy 數組執行此操作。 ``` # vector-scalar multiplication from numpy import array a = array([1, 2, 3]) print(a) s = 0.5 print(s) c = s * a print(c) ``` 該示例首先定義向量，然后標量將向量乘以標量。 首先運行示例打印父向量，然后打印標量，然后將兩者相乘的結果。 ``` [1 2 3] 0.5 [ 0.5 1\. 1.5] ``` 類似地，向量標量加法，減法和除法可以以相同的方式執行。 ## 擴展 本節列出了一些擴展您可能希望探索的教程的想法。 * 使用您自己的數據使用每個操作創建 5 個示例。 * 為定義為列表的向量手動實現每個向量操作。 * 搜索機器學習論文并找到每個正在使用的操作的示例。 如果你探索任何這些擴展，我很想知道。 ## 進一步閱讀 如果您希望深入了解，本節將提供有關該主題的更多資源。 ### 圖書 * 第 1.15 節，向量。 [線性代數無廢話指南](http://amzn.to/2k76D4)，2017 年。 * 第 2.2 節，向量運算。 [線性代數無廢話指南](http://amzn.to/2k76D4)，2017 年。 * [線性代數](http://amzn.to/2j2J0g4)簡介，2016 年。 * 第 2 章，線性代數，[深度學習](http://amzn.to/2j4oKuP)，2016。 ### API * [numpy.array（）API](https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/generated/numpy.array.html) * [numpy.dot（）API](https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/generated/numpy.dot.html) ### 用品 * 維基百科上的[向量空間](https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space) * 維基百科上的 [Dot 產品](https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product) ## 摘要 在本教程中，您發現了用于機器學習的線性代數向量。 具體來說，你學到了： * 什么是向量以及如何使用 NumPy 在 Python 中定義一個向量。 * 如何執行加法，減法，乘法和除法等向量運算。 * 如何使用標量執行點積和乘法等附加操作。 你有任何問題嗎？ 在下面的評論中提出您的問題，我會盡力回答。