9.3 凸優化 · 如何在 Python 中利用 CVXOPT 求解二次規劃問題 · Python 量化交易教程

# 9.3 凸優化 · 如何在 Python 中利用 CVXOPT 求解二次規劃問題 > 來源：https://uqer.io/community/share/55c9a55df9f06c91f818c675 ## 問題描述：在實際生活中，我們經常會遇到一些優化問題，簡單的線性規劃可以作圖求解，但是對于目標函數包含二次項時，則需要另覓它法在金融實踐中，馬科維茨均方差模型就有實際的二次優化需求作為金融實踐中常用的方法，本篇將對CVXOPT中求解二次規劃的問題進行舉例詳細說明，關于該方法在均方差優化中的實踐應用，參見后續發帖 ## 1、二次規劃問題的標準形式 ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3b5f39.jpg) 上式中，`x`為所要求解的列向量,`xT`表示`x`的轉置接下來，按步驟對上式進行相關說明： + 上式表明，任何二次規劃問題都可以轉化為上式的結構，事實上用cvxopt的第一步就是將實際的二次規劃問題轉換為上式的結構，寫出對應的`P`、`q`、`G`、`h`、`A`、`b` + 目標函數若為求`max`，可以通過乘以?1，將最大化問題轉換為最小化問題 + `Gx≤b`表示的是所有的不等式約束，同樣，若存在諸如`x≥0`的限制條件，也可以通過乘以?1轉換為`≤`的形式 + `Ax=b`表示所有的等式約束 ## 2、以一個標準的例子進行過程說明 ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3c7d35.jpg) 例子中，需要求解的是`x`,`y`，我們可以把它寫成向量的形式，同時，也需要將限制條件按照上述標準形式進行調整，用矩陣形式表示，如下所示： ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3d8c59.jpg) + 如上所示，目標函數和限制條件均轉化成了二次規劃的標準形式，這是第一步，也是最難的一步，接下來的事情就簡單了 + 對比上式和標準形式，不難得出： ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3ee597.jpg) 接下來就是幾行簡單的代碼，目的是告訴計算機上面的參數具體是什么 ```py from cvxopt import solvers, matrix P = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]]) # matrix里區分int和double，所以數字后面都需要加小數點 q = matrix([3.0,4.0]) G = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]]) h = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0]) sol = solvers.qp(P,q,G,h) # 調用優化函數solvers.qp求解 print sol['x'] # 打印結果，sol里面還有很多其他屬性，讀者可以自行了解 pcost dcost gap pres dres 0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found. [ 7.13e-07] [ 5.00e+00] ``` + 看了上面的代碼，是不是覺得很簡單。因為難點不在代碼，而是在于將實際優化問題轉化為標準形式的過程 + 在上面的例子中，并沒有出現等號，當出現等式約束時，過程一樣，找到`A`,`b`，然后運行代碼 `sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)` 即可求解擴展：上述定義各個矩陣參數用的是最直接的方式，其實也可以結合Numpy來定義上述矩陣 ```py from cvxopt import solvers, matrix import numpy as np P = matrix(np.diag([1.0,0])) # 對于一些特殊矩陣，用numpy創建會方便很多（在本例中可能感受不大） q = matrix(np.array([3.0,4])) G = matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]])) h = matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80])) sol = solvers.qp(P,q,G,h) pcost dcost gap pres dres 0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found. ``` 先寫到這吧，關于二次規劃在均方差優化中的實踐應用，參見后續發帖，歡迎交流~~