# 1.1 什么是數字？有理數 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section01.html) 我們有很多種數字，但它們都以**自然數**開頭，它們是，依此類推。 如果算上你的數字和腳趾，你會來（大多數人會），這是一個自然數。在我們的想象中，我們可以認為這些自然數字會永遠持續，超過一百萬，十億，萬億等等。 在小學，你不僅研究了這些數字，還研究了如何對它們進行操作。 **什么操作？** 有**加法，減法，乘法**和**分裂**。 你可以**將**兩個自然數加在一起，你總會得到另一個自然數，就像著名的事實那樣，一個和一個是兩個。 另一方面，減法比較棘手。如果你從一個數字中減去一個數字，例如數字，你會得到一些新東西，這根本不是一個自然數。我們稱它為或**零**。如果你減去一個數字，再說，從較小的數字，比如說，那么你得到的是新的東西，即負整數，在這種情況下是，稱為 **“減二”**。 您可以使用數字來計算口袋里的便士數量。因此，你的口袋里可能有五便士。如果你的口袋里有一個洞，你就會得到便士的數量，你所放入的所有東西都會立即掉出來。 現在假設你去商店，店主很傻到可以給你信用。進一步假設你有五便士，你買了一些價值 11 便士的昂貴物品。然后負整數表示這樣一個事實，你不僅沒有便士，而且如果你還有六個，你將有義務交出它們來支付這個項目。這里六是你欠你的債權人的便士數，如果你付給他你的便士并且他給了你這個對象，并借給你剩下的錢。 因此，為了適應減法，并且能夠用數字表示“欠款”，我們擴展自然數以包括數字和自然數的負數。這整組數字，正自然數，它們的負數和 0 被稱為**整數**的集合，并由字母 **表示。** 我們可以接受 **** 的任何兩個成員并加上它們或減去它們，并且在任何一種情況下都得到 **的另一個成員。** **我知道這一切，但我對實際的加法和減法都非常生疏。我嘗試做的時候很多時候都弄錯了。** 大多數人在他們執行的任何十次加法或減法中大致會犯一次錯誤。這意味著如果他們添加或減去具有多個數字的數字，如和，他們很有可能得到錯誤的答案。 幸運的是，今天沒有意義。您可以在計算器或電子表格上輕松檢查添加和減少，看看您是否在幾個不同的時間得到相同的答案。不幸的是，我通常會在輸入或減去數字時鍵入錯誤，或者添加而不是減去或做其他同樣荒謬的事情。今天所有這一切意味著我必須至少進行三次計算，以便有正確的合理機會。確實，我的努力量是它可能的三倍，但是三次努力仍然很少。 如果您遇到此問題，最好在電子表格中添加或減少。然后你可以看看你的計算，并判斷它是否有意義。以下是檢查感覺的一些規則。 當你添加正數時，結果應該大于你添加的兩個**“加法器”**。如果其中一個數字是正數而一個數字是負數，則總和的大小（如果忽略任何減號的值）應該小于兩者中較大者的大小，并且符號應該是加數的符號。更大的幅度。 此外，如果忽略其余數字，則數字的最低有效數字應正確加或減。例如，如果從中減去，那么答案的最后一位數最好是，即減去。 如果您的檢查產生了可疑的東西，請再次嘗試計算，更加小心，尤其是輸入數據。 從另一個數字中減去 5 的操作，**撤銷**將添加到另一個數字的操作。因此，如果您同時執行這兩項操作，請添加五項，然后減去五項，反之亦然，您將回到起點：。 添加和減去被認為是彼此的**反**操作，因為這個屬性：**一個接一個地執行它們相當于什么都不做。** **那么，為什么不是自然數？** 我不知道。這就是人們很久以前定義自然數的方式，沒有人關心改變這個定義。 回到小學你也遇到了**乘法的概念。** 這是你可以對兩個整數做的事情，它會產生第三個叫做**產品的整數。** 你（我希望）你被迫學習一個乘法表，它給出了每對單位數的乘積，然后學會了如何使用這個表來乘以更多的數字。 **我從來都不擅長** **。** 在過去，你必須能夠做這些事情，增加和增加，如果只是為了能夠處理錢和進行普通購買而不被欺騙。 現在，您可以使用計算器或計算機電子表格來執行這些操作，如果您知道如何輸入整數并按下或或和=按鈕。 （_ 不幸的是，這一事實導致教師們相信他們不必強迫學生經歷學習乘法表的苦差事。_ _ 由于我們的大腦運作方式，這對那些不愿意這樣做的人有很大的傷害。事實證明，我們花在兒童身上的任何活動的時間越多，甚至作為成年人，大腦的面積越大，專門用于該活動，并且越大，我們就越好地參與該活動。_ _ 因此，花費更少的時間學習乘法表可以減少用于計算的大腦區域，從而阻礙您進一步的數學發展。_ _ 你的數學技能將與你選擇投入思考它的時間成正比。這取決于你。_ ） 一旦我們熟悉乘法，一個自然的問題是：我們如何才能解除乘法？什么是逆操作，比如乘以，這樣乘法然后再做什么就像什么都不做？該操作稱為**除法。** 所以你學會了如何劃分整數。乘以的**逆操作除以** ，（除非是）。 現在出現了一個問題：如果我們嘗試將除以，我們就不會得到一個整數。所以，就像我們必須將自然數擴展到整數以適應減法操作一樣，**我們必須從整數擴展我們的數字以包括整數比率**，如，如果我們想要為每對非零整數定義明確的劃分。我們希望能夠在任何可能的地方定義分工。 整數的比率稱為有理數，只要第二個整數（稱為分母）不為零，就可以獲得任意一對整數。 之間的比率本身不是整數，稱為**分數。** 一旦我們引入了分數，我們就想提供添加和減去它們以及乘以和除以它們的規則。這些開始變得復雜，但幸運的是，對于我們來說，我們有計算器和電子表格可以做這些事情而不用抱怨，如果我們有智慧進入我們想做的事情。 我們的有理數有一件事我們無法做到，那就是除以。畢竟，分裂是撤消乘法的動作。但是將任何數字乘以 0 都會得到結果。沒有辦法從這個產品中取回你乘以來得到它。 當然，添加和乘法（以及減去和除法）分數比對整數這樣做更復雜。比如說乘以，新分子是舊分子的產物（即），新分母是舊分子的產物（），所以產品是 ]：。 乘以的逆運算乘以，并且該逆定義為除以的運算。任何數字及其倒數的乘積總是。這意味著對于以外的任何總是。 因此除以是乘以的倒數，即乘以。答案是。 添加有點棘手。在以下意義上，添加的概念可以應用于對象以及數字。例如，我們知道是。這意味著如果我們有 3 個蘿卜并且更多地挖掘，我們將有蘿卜（假設沒有人吃過第一個）。對于代替蘿卜的任何其他物體也是如此。這告訴我們如何添加具有相同分母的分數。因此是，其中已經取代了蘿卜。我們正在應用一般規則來添加類似的東西到對象。 要添加具有不同分母的分數，您必須先更改分數以使分母相同，然后添加分子，就像添加數字一樣。最簡單的方法是使新分母成為舊分母的產物。因此，要找到，首先將第一項乘以，將第二項乘以，得到，答案為。你可以為減法做同樣的事情。 您可能被迫在學校的答案中分析分子和分母中的常用術語，但在電子表格中輸入答案時不必這樣做，這使得在使用電子表格時更容易添加分數。