# 19.3 二階微分方程 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section03.html) 二階微分方程是表示因變量的二階導數作為變量及其一階導數的函數的方程。 （更一般地說，它是涉及該變量及其二階導數的方程式，也許是它的一階導數。） 也許處理這種方程的最簡單方法是給出一階導數的名稱。然后原始方程變為因變量及其導數的一對耦合方程。你這樣做的是一對一階微分方程，如 [Predator Prey](../chapter18/section01.html) 問題中的耦合方程對。 給定方程，我們設置并得到兩個方程式：  從和的初始值開始，我們可以通過跟蹤和 增加一些小的增量來產生這些方程的左手規則近似解。我們可以用三種方式繪制解決方案，例如使用和作為軸的“軌道”，或將和/或繪制為的函數。 強制諧波運動的例子：  產生耦合方程;  牛頓運動定律產生物體位置的二階微分方程。每個粒子有三個運動維度。它們通常被重新表示為一階微分方程的兩倍，幾乎以相同的方式。我們將在一個維度上描述這種重新制定。可以用任意數量的維度來完成同樣的事情。 在許多有趣的情況下，能量得以保存。能量不會出現在牛頓方程中。我們首先要定義它。 質量以一定速度移動的物體的動能為。它的動力是。 而不是是將方程式簡化為一階導入的第二個變量。 那么動能是。粒子上的力被定義為勢能相對于因變量的導數的負值（保持所有其他因變量和力矩固定）。因此，在地球表面上的重力的情況下，由地球施加的重物上的力是，并且勢能是。 能量也稱為系統的哈密頓量，寫為，是動能和勢能的總和。 （順便提一下，符號最初是希臘首都 eta，因為能量以 E 開頭而被選中） 因此，對于地球表面的引力，哈密頓量由下式給出。  相當于的運動方程式變為：  這里出現的古怪符號意味著你將的導數與相對應，將另一個因變量視為常數。這種導數被稱為相對于的偏導數。 （在復雜的情況下，當有幾個可能的其他因變量時，它的含義取決于你保持不變的那些。這里定義得很好。） **練習 19.4 無阻尼和非受迫諧振子的哈密頓量是什么（力是？** <iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/second-order-ode.html" width="100%"></iframe>