# 7.2 三角學和導數以及加法定理 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section02.html) **簡介** 在 7.1 中，我們引入了大量的三角函數而沒有實際提及它。 對于真正有趣的主題，三角函數是一個冗長而令人討厭的名稱。 **Trigon** 是三角形的奇特名稱;類似于八角形或五邊形，Metry 指的是測量。因此，三角學意味著要么測量三角形，要么使用三角形測量其他東西，我不確定哪個;也許兩者。 我們將描述剩余的重要三角函數結果。三角學的一個謎團是：為什么右三角形中六個邊長比率中的每一個都有自己的特殊名稱？為什么例如有自己的名字？當我在學校研究三角學時，（在史前時期），我們面對所有六個名字，并進行了測驗，并期望記住哪個沒有任何線索的意思。這讓我們許多人失去了三角學。  假設我們的角度，如圖所示位于軸和線之間。古人畫了一條線段，它將**從點切線到單位圓延伸到點的軸。這段的長度稱為角度的正切**。 （當線具有正斜率時，切線被認為是負的。）切線是拉丁詞，意思是“觸摸”，這就是這條線對圓圈的作用，點。 **切線與軸相交的點的坐標稱為** 的割線（我們假設原點位于單位的中心）正確的是一個拉丁詞，意思是“切割”，這就是這條線對圓圈的作用。 他們還將**定義為小于直角的角度的補碼，使其成為直角與它之間的差值。** 這使得他們將**的余弦，余切和余割定義為原始角度的補數的正弦，正切和正割。** 對我們來說幸運的是，所有這六個函數都很容易與正弦函數相關，這意味著我們只需要真正熟悉正弦函數，然后我們就可以弄清楚其他函數是什么。 以下是這些函數之間的關系，所有這些函數都來自**相似三角形的相應角度相等的事實的定義。** 根據定義， **** 是 **。** **從斜邊是的三角形和不相反的一側是，得到** **** 意思是 **** **補充版本是：** **** 從三角形 我們同樣得到 **** which means **** 補充版本是 **** 所以這一切都解釋了為什么右三角形的每個邊長比例都有自己的名稱。 我非常喜歡這張照片，這里再次作為一個數學小說。 <iframe frameborder="0" height="760" src="../mathlets/trigonometric-functions.html" width="100%"></iframe> **練習：** **7.21。自己畫一張這張照片，而不是看這個，一個小于的角度顯示所有這些實體。** **7.22。你看到多少個相似的三角形？請記住，除了直角三角形中的直角之外的兩個角度是互補的。** **7.23。如果你在三角形中使用正弦的定義，你會得到什么奇怪的關系？** 在上一節中，我們已經討論過你應該知道的三角函數的三個基本定理。還有三角函數的有用“加法定理”，它描述了參數和的正弦和余弦。我們還描述了正弦和余弦的導數，以及它們與指數的關系。 **三角學的基本定理是什么？** **1.畢達哥拉斯定理**：這個著名的結果表明**直角三角形的斜邊的平方是其他兩邊的平方和。** 翻譯成我們的定義它說，無論任何角度，我們都有  這意味著，我們有有符號  2\. **正弦定律**：這表明在任何三角形中，處的角度與處的角度之比是邊長的比率與相反的一側。如果我們將這些長度分別描述為和，我們就有了  我們在 7.1C 節證明了這一點 3\. **余弦定律**：該陳述根據和的長度及其在處的角度給出三角形邊的長度。 **** 也在 7.1C 中得到證實 **正弦和余弦的導數** 考慮單位圓上的點，該圓以點為中心。設為從線段到軸順時針的角度。 然后我們有和。我們知道對于單位圓上的任何都是，因為這是對于的是的陳述，這是單位圓的定義。 這意味著當我們在單位圓周圍移動時，的導數是是。這告訴我們  這意味著具有組分和的載體具有點積，其載體的成分是它們相應的導數。 幸運的是，很容易找到具有給定的點積的二維中的所有向量：反轉組件，改變其中一個符號，并乘以任何常數。因此（寫入的較短方式）具有的點積。 這告訴我們和，對于某些常數。 我們可以通過在的點檢查這些陳述來確定常數。 如果我們的角度是以弧度為單位測量的，我們觀察到在單位圓上，從角度移動距離會將正弦從變為幾乎。因此，上面的常數在角度處是，并且是常數，總是。 我們總結。 （后者的關系實際上來自前者，因為是。 **練習 7.25：從這些事實中推斷割線的導數和切線。** **為什么不告訴我們答案？** **如果我們這樣做，你將無法記住它們。如果你自己弄明白，你會忘記它們。** 通過查看組合得到一個有趣的結果。 （這里是的平方根。）請注意，它的導數是次。它在的價值是。我們知道這意味著什么。衍生自倍的函數，其的值為，是。 因此我們找到：。 通常我們可以將任何函數分成奇數部分和偶數部分;偶數部分是，奇數部分是。兩部分的總和是。 由于是偶數且是奇數，我們可以將識別為的偶數部分，并將識別為奇數部分。 正式表達是 **** 和 **** **正弦和余弦的電源系列擴展** 我們已經看到是。由于正弦的導數是余弦，，當寫為的冪之和時，必須在該導數中有一個項，其導數為。這必須是，因此的冪級數擴展的第一項是。余弦具有導數，因此它必須在其冪級數展開中有一個項，其導數為，該項必須為。 同樣必須有一個術語，其導數是;這迫使余弦系列中的一個術語為等。 **那我們得到了什么？** 正弦有所有奇數力量的貢獻，它們的符號交替出現： **** 而余弦同樣具有來自偶數冪的交替符號項： **** 順便說一句，和是的偶數和奇數部分。它們的冪級數擴展類似于余弦和正弦的擴展，除了所有項都是正的。 所有三角函數都有冪級數表達式，但如果你想這樣做，你可以自己解決它們，從它們的關系到正弦和角度的余弦 **加法定理** **什么是加法定理？** 我們已經注意到，以度或弧度表示的角度的標準度量是相加的：這兩個角度之和的度量是每個求和的相同度量的總和。這種說法不適用于正弦或余弦。兩個角度之和的正弦值是**而不是**它們的正弦之和。加法定理告訴我們如何根據求和的兩個角的正弦和余弦來計算兩個角之和的正弦和余弦。 找到或證明正弦和余弦的加法定理的最簡單方法是使用它們與指數的關系。我們已經知道指數的加法定理： **** 由于是，我們發現是  是的 **** **最后一個表達式的實部是，虛部是，這些是我們的加法定理。** 倉促：  從 7.2 節頂部圖片中的三角形，我們發現最后一個是。