# 15.5 用于求解電子表格中的行列式的愛麗絲夢游仙境方法 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section05.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section05.html) 你可能知道，愛麗絲夢游仙境的作者劉易斯卡羅爾是一位數學家，我們的方法使用他著名的行列式定理。該定理如下： 假設我們有一個方陣，其頂行和底行稱為和，其左右列是和。我們定義了以下附加數組。 和，通過刪除頂部的行和左側的列，右側的行和右側的列獲得的數組，左邊的行，左邊的，右邊的，最后，位于頂部，位于底部，左邊是，右邊是。 如果是陣列的那么接下來的四個是陣列的，最后一個是陣列的。 那么下面的等式成立：  **這意味著陣列的行列式可以寫成一個較小的數組的行列式的乘積除以兩個較小的的數組的行列式。 ** **這一切有什么好處？** 我們將數組的任何的行列式定義為，并且由數字組成的逐個數組是它自己的行列式。我們的兩個兩個塊由四個一個一個陣列組成，（和）在每個角落\（\ begin {pmatrix} a＆amp; b \\ c＆amp; d \ end {pmatrix} \ ） 將該定理應用于這種情況，是，是，是，是。 什么都沒有，我們定義為具有行列式。 因此陣列的劉易斯卡羅爾定理表明 **A 的行列式，即** ，可以寫成相同的東西除以 1.這是我們已經觀察到的。 現在假設我們從一個三乘三的數組開始：  該陣列有四個二乘二子陣列，相鄰的行和列，一個滿足每個角，這些是，，和。該定理告訴我們，數組的行列式由這些數組的左上角和右下角的行列式的乘積給出，減去它們的右上角和左下角的行列式的乘積，全部除以中間元素是 d。這里是從左上角開始到順時針方向繞，，和。   計算這些對于左上角的條目的每個行列式，給出了一個二乘二的數組，其元素是這四個數組的兩個兩個行列式。這里的第一件好事是，所有四個都可以通過復制第一個的計算，一個向右然后向下復制來計算。 在這種情況下，是原始陣列的中間元素，而，，和是緊靠上方的陣列的四個，順時針方向從左上角的那個開始。 如果我們用行列式將這四個寫成  我們可以通過劉易斯卡羅爾方法計算決定因子。 更好的是，我們可以進行設置，以便我們可以計算這個數組的兩個行列式除以，使用相同的指令來計算這些只復制了一個地方到右邊，四個地方。通過劉易斯卡羅爾的定理，結果是我們原來的三乘三陣列的三乘三的行列式。 甚至更好的是，如果我們開始使用更大的初始方陣，比如 ，首先適當地復制會使我們通過 的陣列產生  ]行列式，更多的復制由由  決定因子產生，直到我們通過數組得到單個，其條目為通過原始數組的行列式。 （我們也在這些之間產生一排垃圾） 我們很快就會看到您必須輸入的一條指令是什么，以及如何設置它。 關于這個還有另外兩個好處。首先，一旦設置為任何大小，您可以以任何方式更改初始數組，電子表格將立即為您提供新數組的行列式。 其次，使用 Cramer 的規則，您可以使用相同的方法通過線性方程立即求解系統，同樣能夠隨意更改方程并立即獲得解。 （我們稍后會討論這個問題。） 我不確定你能做多大并且確實有效。但或絕對可以。 但是有一個問題。這個過程涉及一個分工。為了處理三個三個數組，我們將數組的中間元素除以上面的。為了處理四個四分之一，沿著我們劃分原始數組的四個中間元素中的每一個，然后通過這四個元素形成的數組的行列式，其中任何一個可能是。除以是否定的。我們將會看到這個問題很容易處理。 **好的，你怎么能做到這一切？** 我們將通過為四乘四陣列設置行列式查找器來說明這一點。 假設我們有一個四乘四陣列，你想要它的行列式，我們將它定位在 A6 B6 C6 D6 到 A9 B9 C9 D9 的位置。 然后將放在 B3 位置，從 B3 到 B5 向下填充到 D3 到 D5，將放在所有這些位置。這些線在這里代表陣列的每個平凡的行列式，我們將除以。 現在這是關鍵的一步。 **將=（A6 * B7-A7 * B6）/ B3 放入 A10。** 將其復制到 B 列和 C 列中，C 中的結果為=（C6 * D7-C7 * D6）/ D3。然后將第 10 行復制到第 18 行。 **你得到了什么？** A10 B10 C10 包含原始陣列的決定子的數組的第一行。 A11 B11 C11 包含第二行相同。 A12 B12 C12 包含第三排相同。 第 13 行是垃圾。 A14 B14 包含原始陣列的決定簇的陣列的的第一行。 A15 B15 包含第二行相同的行（其余的行 14 和 15 都是垃圾）。 第 16 和第 17 行都是垃圾。 **A18 包含原始數組的四乘四行列式，除非沿著除以 0 的方式（該行中的所有其他條目都是垃圾）。** **如果數組條目 A22 或 B22 或 A23 或 B23 是，或者它們的二乘二矩陣是，則此電子表格將除以，您將無法獲得評估。要解決這個問題，只需將 _ 的原始條目 _ 替換為微小和正數的，（當條目為整數時，如）。如果你也看到 A22 * B23 - B22 * A23 不是，A18 將是陣列的的行列式。** **一旦四個中心陣列條目不為零，如果你有 A22 * B23 - B22 * A23 = 0，那么幾乎任何更小的東西添加到這四個條目中的任何一個將使該組合非零，因此 A18 將是行列式。除非行列式實際上是，否則可以通過答案中無法看到的方式輕松刪除零。** **注意：如果有任何劃分，則通過更改原始陣列使所有更改消除相同。永遠不要在計算的后期階段進行更改！** 以下是電子表格輸出的外觀。可以修改第 6 行到第 9 行的條目，并自動計算 A18 中的行列式。如果使用非數字，則單元格的邊框將變為紅色，計算將中止。藍色條目必須為非零。 <button aria-controls="determinant-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#determinant-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button">顯示表</button>[](../download/determinant.xlsx) | | 一個 | 乙 | C | d | | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | 行列式計算 | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 2 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 3 | | 1 | 1 | 1 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 4 | | 1 | 1 | 1 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 五 | | 1 | 1 | 1 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 6 | <input aria-label="a11" class="form-control" id="a00" placeholder="a11" type="text"> | <input aria-label="a12" class="form-control" id="a01" placeholder="a12" type="text"> | <input aria-label="a13" class="form-control" id="a02" placeholder="a13" type="text"> | <input aria-label="a14" class="form-control" id="a03" placeholder="a14" type="text"> | | --- | --- | --- | --- | --- | | 7 | <input aria-label="a21" class="form-control" id="a10" placeholder="a21" type="text"> | <input aria-label="a22" class="form-control" id="a11" placeholder="a22" type="text"> | <input aria-label="a23" class="form-control" id="a12" placeholder="a23" type="text"> | <input aria-label="a24" class="form-control" id="a13" placeholder="a24" type="text"> | | --- | --- | --- | --- | --- | | 8 | <input aria-label="a31" class="form-control" id="a20" placeholder="a31" type="text"> | <input aria-label="a32" class="form-control" id="a21" placeholder="a32" type="text"> | <input aria-label="a33" class="form-control" id="a22" placeholder="a33" type="text"> | <input aria-label="a34" class="form-control" id="a23" placeholder="a34" type="text"> | | --- | --- | --- | --- | --- | | 9 | <input aria-label="a41" class="form-control" id="a30" placeholder="a41" type="text"> | <input aria-label="a42" class="form-control" id="a31" placeholder="a42" type="text"> | <input aria-label="a43" class="form-control" id="a32" placeholder="a43" type="text"> | <input aria-label="a44" class="form-control" id="a33" placeholder="a44" type="text"> | | --- | --- | --- | --- | --- | | 10 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 11 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 12 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 13 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 14 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 15 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 16 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 17 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 18 | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | **練習：** **15.7 為行列式評估設置相同的東西。 （不同之處在于頂部的數組必須是，你的輸入數據將是。你除以頂部通過行列式左上方，并將其復制到第一個列中。如果左上角在 B3 中，那么 行列式在哪里？ HTG15]** Cramer 的規則給出了一組線性方程中變量解的公式。它表示通過用方程中的常數代替包含方程中變量系數的列，除以系數原始數組的行列式得到的數組的行列式是的解。 如果在系數數組之后添加常量列，則可以通過此方法與行列式一起計算這些行列式中的每一個，并在它們之后復制系數數組。從第二列開始的數組將是那些參與 Cramer 規則分子的數組，除了符號。這意味著線性方程的解將是包含行列式的行中的條目的適當比率，具有適當的符號。 （的行必須向右擴展，你必須進一步復制到右邊。） **如果此過程導致劃分，我該怎么辦？** 僅當 A22 或 A33 或 A23 或 A32 為或具有行（A22 A23）和（A32 A33）的陣列的行列式是時才會發生這種情況。您可以在開始之前檢查這一點，如果發生任何這些事情，請為每個添加類似的東西;如果沒有將添加到其中任何一個;如果都將添加到其中三個，將添加到另一個。如果數組的的一行或一列是且其他行或列條目相同，則添加到一個并從另一個中減去相同的內容。這將始終導致程序避免除以。