# 19.4 行星運動 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section04.html) 行星和太陽之間的引力相互作用由反平方中心力定律描述。 為方便起見，我們將太陽置于坐標的原點，并在點開始我們的行星，其位置的初始一階導數由給出。 我們將假設行星比太陽輕得多（因為地球與太陽相比），太陽不會移動。 （實際上，行星運動中固定的是系統的質心。木星和土星足夠大，當它們在我們天空的同一部分時，所有行星的質心都不在太陽內，這樣太陽就會移動，但不是很多。） 利用這些坐標和這個假設的運動方程，行星的位置矢量服從方程  由于行星上的力指向太陽，我們在平面上開始行星，我們的坐標將始終為，我們可以忽略它。 這是一個二階微分方程，有兩個因變量，和。我們可以在一個電子表格上設置它，每個列都有和和的導數。在坐標方面，運動方程是  由于出現在這兩個方程中且為，因此也可以方便地將列專用于。設置定義的比例，但不定義。這意味著我們可以選擇我們的時間單位，以便為。 有了這個選擇，我們可以按如下方式設置電子表格： 我們將時間變量放在 A 列中，并從第 7 行開始，A7 設置為 0.我們必須為選擇一個增量，您可以確定最喜歡的那個。它必須足夠小，以便很小，但足夠大，你可以繪制軌道。您可以從開始，如果不能正常工作則更改它。我們可以將字母 d 放在 A2 中，將其值放在 B2 中。我們需要指定的其他參數是和的導數的初始值。因此，在 A3 中輸入“初始 x 速度”，在 B3 中輸入其值（比如 0），在 A4 中輸入“初始 y 速度”，在 B4 中輸入其值（比如 1）。 把 t 放在 A6 中，x 放在 B6 中，y 放在 C6 中，r 放在 D6 中，x'放在 E6 中，y'放在 F6 中。我們將和放在 B 和 C 列中，因此在 B7 中放置 1，在 C7 中放置 0。我們將放在 D 列中，將 D7 設置為=（B7 ^ 2 + C7 ^ 2）^ 0.5。我們將（稱之為）放在 E 列中，將 E7 設置為= B3 并將（稱之為）放入 F 列 F7 設置為= B4。 我們接下來將 A8 設置為= A7 + $ B $ 2 B8 到= B7 + $ B $ 2 * E7 C8 到= C7 + B $ 2 * F7（你可以將 B8 復制到 C8） 將 D7 復制到 D8 將 E8 設為= E7- $ B $ 2 * B7 / $ D7 ^ 3 將 E8 復制到 F8 現在從列中復制 A8 到 F8 這將為您的參數值提供最粗略的解決方案。 **完成后，列 B 和 C 的圖將給出空間軌道。根據需要調整參數。** &lt;button aria-controls="planetary-motion-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#planetary-motion-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;顯示表&lt;/button&gt;[](../download/planetary-motion.xlsx) Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#) **練習 19.5：設置它。 和的哪些值在這些坐標中給出圓周運動？** 在過去，以數字方式處理這些方程式是非常可怕的。相反，來自牛頓的物理學家通過引入數量來解決方程式，即能量和角動量，這些量不會隨著這種運動而改變，并且通過推理而不是數值計算推導出軌道。 幾個世紀以來，天文學家一直在仔細觀察行星的實際行為，并在開普勒的三個定律中進行了清晰的總結，如下： **1.受相同力量影響的行星和其他物體的運動位于“圓錐截面”的軌道上：橢圓或雙曲線或非常特殊的拋物線（全部以太陽為焦點）或直線。** **2.在任何軌道上每單位時間掃出的面積是不變的。** 3.橢圓軌道的周期與其半徑的度量之間存在某種特定的關系，我們不再進一步討論這種關系。 **最后注釋：**最后幾章包含許多未包含在任何正常單變量微積分課程中的材料。這些材料的目的是為了您的享受而不是恐嚇您。問題在于，這里的 applet 和方法可以讓你比定期的微積分課程更快地學習微積分。但是你學到和保留的東西很大程度上取決于你花多少時間去做。如果最終的結果是你花了很少的時間學習微積分，那對你來說就不好了。因此，您可能花費相同的時間，并了解更多！