# 1.4 可數集（消遣） > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section04.html) **如果你可以列出其成員名單**，那么據說這是一個可數。通過**列表，我們的意思是你可以找到第一個成員，第二個成員，等等，并最終為每個成員分配一個自己的整數**，也許永遠存在。 **自然數本身是可數的 - 您可以將每個整數分配給自身。** 整數的集合是可數的 - 使列表中的奇數項為正整數，其余為偶數項，偶數和奇數項從最小幅度向上排序。以下是這個特定數字序列的開始：  （如果一個集是可數的，你可以用很多方式列出它。） **正的有理數，也是可數的**，這就是為什么。首先取所有分子和分母總和為，然后然后，等等。當有幾個這樣做時，按尺寸排序。以下是此列表的開始方式。 \（\ frac {0} {1}，\ frac {1} {1}，\ frac {1} {2}，\ frac {2} {1}，\ frac {1} {3}，\ frac { 2} {2}，\ frac {3} {1}，\ frac {1} {4}，\ frac {2} {3}，\ frac {3} {2}，\ frac {4} {1} \）， 等等。每個正有理數都出現在這個列表的某個地方，實際上經常出現在它上面。 （這是因為顯示為以及和等等。）但所有分數最終都會出現，并且反復出現。 **正有理數和負有理數的數量也是可數的，**我們可以通過從上面對每個單獨的列表中單獨列出整數來列出所有數據。  有理數由整數對描述，上面的參數概括為暗示可數集的任何成員對的任何集合都是可數的。這可以推廣到可數集的可數集合是可數的聲明。 **接著是代數數**，它們都是具有整數系數的有限度多項式方程的解是可數的。有一定數量的有限度數，每個度數的可計數系數系數和每個方程的可數數量的解，因此可數集的可數集的可數集的代數數仍然是可數的。 **另一方面，所有小數擴展的集合都是不可數的。** **怎么樣？** 好吧，如果我們有一個所有小數擴展的列表，我們可以輕松地構建一個不能在其上的數字。只是**使其條目超出小數點，與列表**中的數字位置的條目不同。然后，我們創建的數字與列表中的每個數字不同，因此不能在其上。所有這些意味著我們無法列出所有實數或小數擴展！ 你和我都不能真正做出構造這樣一個數字所必需的無限數量的行為，但我們可以想象它已經完成了。 想象一下，想象一下你名單上的前三個數字是    給定結構不在列表中的數字將由開始，因為該序列首先與的第一個數字不同，第二個地方的第二個數字與不同，第二個數字與第三個數字不同成員由 2 位排在第 3 位。我們最終得到的數字肯定會與上面的三個數字不同。其余的數字類似地參考列表中的下一個數字來確定，我們可以推斷出這個數字不能在列表中的任何地方，只要其數字的數量與列表的長度相同。 這意味著無法列出所有小數擴展的集合。小數擴展是不可數的。 **小數擴展是否與實數相同？** 實際上，0 到 1 之間的每個實數都有一個十進制擴展，但有些，即以所有結尾的有理數，出現兩倍的十進制擴展。原因是與真的相同。由于這些是有理數的一個子集，因此這種差異并不特別重要。 **練習：從中減去。你得到了什么**？如果在某個地方停了下來，你可以在下一個地方減去并獲得而在其他地方減去。但是當從未停止時會發生什么？