# 1.2 小數和實數 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html) 我們有一種很好的方式來表示包括分數在內的數字，這就是十進制擴展。假設我們考慮的數字如，，（與相同），等等。 我們把它們寫成，依此類推。小數點是一個代碼，告訴我們超出它的數字除以 10。 我們可以通過在小數點后添加第二個數字將其擴展為除以 100 的整數。因此表示。我們可以繼續保持正確的狀態，用小數點后的較長和較長的整數串來描述整數除以千或百萬等等。 但是，如果我們停下來，我們就不會以這種方式得到所有有理數我們只會得到分數為十的冪的有理數。像 1/3 這樣的數字將成為，三分球將永遠存在。 （這通常被寫為，這個星形表示它前面的東西是無休止地重復） 為了使用這種十進制表示法得到所有有理數，你必須愿意永遠繼續下去。如果你這樣做，你會得到比有理數更多的東西。以小數點開頭的所有數字序列的集合為您提供 0 到 1 之間的所有有理數，甚至更多。你得到的被稱為**實數**在 0 和 1 之間。有理數的結果是無窮無盡的，如，，或，（又名 ]）。 現在你和我以及任何計算機都沒有真正繼續寫下一個數字，所以對于這個實數的概念存在一種不真實的感覺，但那又是什么呢？在你的想象中，你可以直觀地看到一連串的數字。這將代表一個實數。 如果在有限位數后停止實數，則會得到一個有理數（因為在停止之后的所有條目都是零）。因此，對有理數起作用的加法，減法，乘法和除法的規則也可用于對實數進行相同的處理。幸運的是，當數字非常接近小數點的非零數字時，數字中小數點右側的數字對計算幾乎沒有影響。 既然我們不能在現實生活中繼續描述一個非理性的實數，那么我們必須以其他方式描述它。以下是描述數字的不同方式的示例。 我們定義了具有十進制擴展的數字;在**每個連續的對之間，有一些比前一個連續的 1 對更多。** 這個數字不合理;它不會重演。 我們不必，但只是為了它的樂趣，我們將更進一步，再次擴展我們的數字，復雜的數字。如果要定義一個數字平方操作的反轉，則需要這樣做。 （復數是形式的實體，其中和是實數，平方是。）