# 8.1 反函數 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section01.html) 函數的反函數是另一個定義的函數，因此和都成立。 換句話說，作用于的反函數產生同一性函數。 作用于其反函數也是同一性函數。 我們之前遇到過這個概念。反演的典型例子是平方根。平方根函數是平方函數的倒數。 這個概念有三個必須學會處理的復雜函數。首先，是符號問題。我們很想使用符號作為的反函數，我們經常這樣做。但是我們不應該且經常不使用這種表示法，因為它有時用于表示倒數函數，其參數的值為。 最常見的反函數是，**反轉像** 那樣被稱為**根**并表示為并且與**指數函數相反， ，**，其被稱為  的自然對數，表示為 **。** **反正弦函數**被稱為**反正弦**并表示為 **。** 在大多數電子表格中，它被寫為= asin（B6），（如果你想要方框 B6 中的反正弦。）類似地，，等等。 第二個復雜因素是**反函數一般不在任何地方定義。** 像指數，或平方，**這樣的函數，其值總是非負的，**，在交換值和參數時，**只能定義非否定論點。** 到目前為止我們一直在考慮的所有其他函數，幾乎可以在任何地方定義;但是，反函數通常具有受限域，除非我們想擴展我們的數字系統。 最后的復雜因素是**，我們想要反轉的許多函數對于多個參數都采用相同的值。** 函數，與，正方形，將帶到，就是一個很好的例子。 和具有相同的平方。哪個應該被稱為的平方根？ 正弦函數是周期性的，當你圍繞一個圓周圍時，它會無限重復，周期為（以弧度為單位測量角度）。正弦值具有相同值的眾多參數中的哪一個應該作為正弦函數的反函數的值？ 這些問題的答案是，在反轉函數不止一次采用相同的值時，我們必須**首先限制的域，這樣就不會發生這種情況，**所以**如果我們希望它的逆是單值函數，那么在這個受限域中最多只取一次值。** 平方函數可以限制為非負數，也可以限制為非正數（或適當的混合）。 **在這種限制之后，這個問題消失了，**，因為在受限域中是單值的。 對于根，我們通常將被反轉的冪的域限制為非負數，這意味著我們寫為的平方根總是正的。原則上我們可以選擇為負值，或者對其部分域進行否定，對其余部分為正。我們不這樣做有兩個原因：首先，這是不自然的事情;第二，正平方根具有很好的性質，即產品的平方根，例如是它們的平方根的乘積;對于負平方根，這不是正確的，因為它們中的兩個的乘積是正的，并且從不是負平方根。 一般來說，我們所說的意味著當不是單值時，的反函數需要一個明確定義的附加條件。要獲得唯一的反函數，必須將的域限制為為單值的域。 關于逆函數有三個觀察結果，兩個很好，另一個不太好。 第一個不錯的是，**非常容易找到原始函數**的反函數圖，因此決定的域（它成為的范圍在電子表格上繪制同樣容易。 找到反函數圖形的一種方法是在主對角線周圍以弧度（度）旋轉紙張（其上有圖形）（以角度通過原點的線或從軸逆時針旋轉。） 然后你會發現你必須在函數中查看你的論文，但這通常可以完成，如果你從的圖表開始，你正在查看的反函數圖。 對于電子表格，您可以設置用于繪制函數圖形的電子表格，并將參數列復制到值列之外，然后突出顯示并執行舊的 xy 散點圖和新的專欄。您將看到與函數相反的圖形。 **練習：** **8.1 設置一個電子表格，繪制從到的域中的指數函數。將參數列復制到其值列之后，突出顯示值列和復制的列，并將反函數繪制為指數，這是自然函數。  的論點是什么？它的論點是什么？ ？** **8\. 2 下面的數學運算允許您輸入函數并繪制它們的反轉以及它們自己。通過使用 mathlet 查找給定域中的反轉來檢查的答案。** <iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/operations-on-functions.html" width="100%"></iframe> 不太好的觀察結果是，在特定的參數中找不到反函數的值沒有標準的明顯方法。我們討論過的所有其他函數都可以通過執行簡單的標準操作來找到，例如添加，除法，乘法，減法和替換。但逆轉沒有這樣的程序。 一般來說，不可能有一個。這是因為通常你必須為原始函數選擇域以使其成為單值，并且計算逆的方法必須事先知道你將做出什么決定，如果要得到相應的逆。這是一般不能做的事情。 當然，您可能會遇到的大多數反函數，也許所有反函數都可以作為電子表格或計算器上的函數來訪問。您可以通過按下按鈕來計算它們。這是因為您的機器及其程序的制造商已經決定了您為原始函數選擇哪個域，以及因此對其使用反函數的范圍，并使用了一些偷偷摸摸的程序來計算它它已經確定。