# 15.3 行列式的屬性 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section03.html) 第一個屬性，我們從行列式的定義和我們已經知道的面積和體積中推斷出來的，是一個數組的行列式的值，其中**所有**是主對角線上的非零項。這樣的陣列描述了一個矩形或長方體的圖形，其邊與和和以及任何軸平行。我們已經知道這個行列式的大小必須是其對角線條目的乘積。我們定義的標志是該產品的標志。  因此，上述三個陣列的決定因子分別是，和。 **這太棒了？** 還沒有。我們真的希望能夠評估更多的一般行列式。給定行**的行列式符號取決于您選擇列出代表圖形邊緣的行的順序，我們將會看到。** 我們感興趣的是傾斜的平行四邊形面積，使得側面彼此不垂直或者旋轉，使得側面不平行于軸。 這是一個很好的事實：如果你固定平行四邊形的底邊（它的一邊），那么它的面積就是平行四邊形頂部高于該底邊的高度乘以底邊的長度。平行四邊形傾斜多少并不重要，它只是頂部和底部之間垂直的距離。 類似的屬性保持在任何維度：n 維圖形的大小是其維度基礎的大小，乘以圖形頂部垂直于其基礎的高度。 這告訴我們：**我們可以將數組中一行的任意倍數添加到任何其他行，而不更改其行列式。** 這是因為在任何方面我們都可以選擇**包含原點**的任何面作為基礎，**以及從原點到其鄰居的所有線條之外的所有線條，它們定義行陣列，位于那個基地**。通過面部中的任何矢量更改不在臉部的線條將不會改變圖形的高度;它只能改變人物傾斜的方式。 （順便說一下，這表明了計算行列式的通常方法。我們將行的多個行添加到其他行以消除所有傾斜，以便行列式是其對角元素的乘積。這稱為行減少。） 從前兩個開始的另一個奇妙事實是：行列式在其數組的任何行（或列）中是**線性的。** 這意味著如果將某行乘以，則行列式的值會增加。這也意味著如果你采用兩個不同的**一行**的數組，就像下面的兩個，它們的第一行不同：  然后通過在不同的行中求和并保持其他行相同來得到數組的行列式（第一行和第二行）是兩個數組的行列式之和開始于。 該陳述表示這樣一個事實，即基數上方的總和數字的高度是兩個加數數字的高度之和。 **練習 17.5 通過適當地相互添加行來顯示交換兩行數組會改變其行列式的符號。 （提示向另一行添加一行，減去另一種方式并添加第一種方式;或類似的東西）** **這一切有什么好處？**