# 16.4 Lebesgue 積分 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html) 在給定間隔內具有被積函數的黎曼積分被定義為當接近的大小的子區間的總和，乘以的值時的極限。該子區間中的任意點，當該限制存在時，并且對于所有區間中的每個點選擇都是相同的。否則，該函數被稱為在該間隔內不可積。 所有有理數上的和所有其他數上的的函數在這個意義上顯然不可積，因為任何非零大小的每個區間都包含有理數和無理數，因此這兩個函數的值都是和。有許多非有理數而不是有理數，這表明我們可能忘記有理數，并說積分是。另一方面，如果我們在計算機上執行數值計算，由于計算機將每個點都舍入到理性點，我們會找到每個區間的值。 還有另一種方法來定義函數的積分，剛才描述的函數是可積的。 我們可以通過平行于軸的切片分割成碎片，而不是通過平行于軸的切片來分割由積分計算的面積。 假設，為方便起見，被積函數是非負的，我們在有限的區間內進行積分。然后，對于每個切片，我們將發現對于域內的某些點，切片在被積函數之下，對于某些切片在其上方，并且對于一些而言，被積函數位于切片內。隨著切片的大小減小，來自最后一個的貢獻變得可以忽略不計，并且積分將是切片低于被積函數的貢獻的總和。 對于連續的被積函數，對于每個切片，它下面的點將在實線上形成一些區間集。我們很快就會注意到有很多種積分。在每一個中，我們為切片低于被積函數的點集的每個切片定義“度量”，并且所有切片上的這些度量的總和必須收斂到積分。 什么構成措施？主要必要條件是不相交集的度量之和（這些是沒有共同點的集合）是它們并集的度量（并集是任何一個中的點集）。這必須適用于任何有限數量的相互不相交的集合的聯合：它們的聯合必須具有與其度量的總和相等的度量。由于可數列表中的任何點都位于可數列表的有限初始段中，因此任何可數數量的集合的并集度量必須是其度量的總和才有意義。 在通常的積分的情況下，間隔的度量是其長度。單個點是長度的間隔，并且具有度量。 這告訴我們，任何可計數的點集的度量必須是的可數和，因此必須是以及此度量（和它們一樣的度量。） 我們可以得出結論，對于通常的積分，有理數上的和其余實數上的的奇怪函數是可積的。有理數的數字是可數的，它是的可數和，因此是。因此，其余部分的度量是積分的區間的長度，并且這個奇怪的函數確實是可積的。 **還有哪些措施？** 我們已經遇到了一些其他措施;如果我們處理，即，我們使用定義的度量來積分。例如，如果是，則間隔的度量不是其長度，而是在間隔的端點處其值之間的的差異。 此外，普通總和，例如，也可以寫成 Lebesgue 積分，在這種情況下使用點上的，以及和其他地方的量度。 自物理學家世紀以來一直使用這種積分，并且有一段時間被數學家所厭惡。物理學家引入了“δ函數”，它是，除非是，但其積分是。然后可以將表示前一段總和的積分寫為  delta 函數的明顯問題是當為時它必須是無限的。幸運的是，允許它作為的函數在周圍具有不可測量的小寬度的后果，在這種情況下它可以保持有限，對于所有用途都是不可檢測的，在最終應用時，它被集成過度。從勒貝格積分的角度來看，這只是另一種衡量標準。 如果您發現任何這些東西很有趣，請了解更多信息！