# 5.1 有理函數的導數 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/section01.html) 以下是有關導數的一些事實。 1.導數有兩個**偉大的屬性**，如果我們有我們想要區分的函數的公式，它們允許我們找到它們的公式。 2.我們可以計算和繪制各種函數的和本身的導數，并且在電子表格上沒有太多工作（事實上，找到導數和函數需要做些什么工作只需要完成一次，你可以幾乎完全切換函數，就像你只繪制函數一樣，并得到兩者的圖。我們很快就會明確看到這一點。） **什么是“偉大的財產”？** 我們已經知道**線性函數的導數。** 它的**斜率。** 線性函數是它自己的線性近似。因此的導數是; 的導數是。導數會殺死常數項，并在任何線性項中將 x 替換為 1。 第一個偉大的屬性是：**如果一個參數，在參數的值的公式中出現不止一次**，那么**你可以找到它的導數通過分別查看每次事件引起的導數，將其他事件視為僅僅是常數;然后添加所有這些。我們稱之為“多重發生規則”。** 例如，考慮二次方。參數在其中出現三次。取一個單一事件的導數，即單獨的任何單個的導數，將改變為。如果我們分別對每次出現這樣做，忽略其他事件，我們會得到三個術語：或，這個和是我們的二次方的導數。 請注意，常數項對導數沒有影響。 這個屬性允許我們直接從多項式本身的公式計算任何多項式的導數的公式，我們很快就會看到。 這個基本規則的一個特例是**取導數是一個線性運算。** 這意味著如果由兩個術語組成，您可以通過分別添加每個術語的派生詞來找到的派生詞，在兩種情況下計算，就好像另一個術語不存在一樣。 該聲明可寫為： **** 另一個特例是**兩個因子乘積的導數公式。** 如果我們有，那么的變化和的變化將對的變化做出貢獻，這些可以單獨計算。結果是聲明： **** 被稱為**產品規則**用于分化。 作為**產品規則的特殊情況，我們可以推導出** **的導數的倒數**是什么。 **函數的倒數是除以該函數;** 通常寫為或。 通過的倒數的定義，在的整個域中。 的導數是，它是一個數字，在這里是右手邊。我們可以推斷出左手邊的導數也是。 根據產品規則，我們得到：。 我們可以除以并重新排列告訴我們：  我們的第一個偉大的屬性實際告訴我們所有我們需要找到任何多項式的導數或任何**有理函數，**我們指的是兩個多項式的比率。這些都是我們通過對身份函數應用加法，減法，乘法和除法運算得到的所有函數。 任何正整數冪的導數，例如，是通過注意到的每個 n 次出現的導數的貢獻是通過用替換該出現來獲得的，或換句話說，獲得通過這里除以：因子的所有的總結果，的導數，然后是，或者如果您愿意，。 （這個陳述適用于負權力和正面權力，并且對于任何權力都是分數的，實際上是任何權力，我們很快就會看到。） 這個以及用于區分給定導數的導數的和的規則，告訴您如何區分任何多項式。 上面最后一個等式的倒數規則**告訴我們如何區分任何有理函數，**說其中和是多項式。我們應用產品規則和互惠規則來獲得  **練習：** **5.1 求以下多項式的導數：** **a。 ** **b。 ** **c。 ** **d。 ** **e。 ** **5.2 找出以下有理函數的導數：** **a。 ** **b。 ** **c。 ** 您應該使用這些規則練習找到多項式和有理函數的導數，直到您對它們感到滿意為止。事實上，你應該練習，直到你可以區分任何理性函數與％的準確度。 **但是沒有人可以對％的準確度做任何事情，我當然不能。** 在計算機時代，任何小小的錯誤都會搞砸一切。學習使用％準確度做的事情非常重要。這聽起來毫無希望，但事實并非如此。并不是說你必須完美地完成所有事情;離得很遠。你只需要學會發現你的錯誤并修復它們。如果您不厭其煩地解決所有問題，您可以通過十幾個來制作它們。 你用計算機犯的大多數錯誤都是如此嚴重，以至于你可以立即看到你做錯了什么，找到并修復它是什么。一些錯誤是微妙的，你可能會想念他們。獲得完美答案的關鍵是檢查你做了什么，看它是否正確，直到它是正確的。 順便說一句，到目前為止最常見的細微錯誤包括使用不正確的輸入，這意味著，試圖解決錯誤的問題。檢查是否已將輸入信息正確復制到計算中是絕對必要的。 假設您找到了導數的公式。不要停止使用公式，你應該檢查它是否正確。計算機為您提供了一種簡單的方法：您可以用數字計算導數，并查看是否得到相同的答案。如果你這樣做，你知道你的答案是對的。 如果你沒有從公式中得到相同的答案，你必須找到出錯的地方。第一次，甚至第七次，你不必是完美的。但最后，如果你正在處理機器，你必須是完美的。 **如何輕松檢查我的差異？** 一種方法是將您計算的函數作為導數與 [**派生小程序**](../chapter04/section02.html#DerivativeTangentLine) 找到的導數進行比較，方法是輸入您自己的函數。請記住，在這樣做時，時間符號是*，指數前面是^所以輸入為 x ^ 3。 您還可以使用電子表格檢查衍生產品以設置自己的 applet。 [**第 3A 節**](../chapter03/section03.html#SubSection3A) 中描述的用于繪制函數的設置可以增強，不僅可以繪制函數，還可以繪制其數值導數和區分它的答案，沒有你花費太多精力。 完成此設置后，您只需在一個地方輸入您的函數，在另一個地方輸入導數的答案，適當地復制每個部分，然后您可以在圖表上查看答案和數字。如果它們相同，那么你的答案是正確的。如果不是，您必須對您的區別和/或電子表格計算進行解決。成為一名專家意味著通過豐富的經驗熟練掌握解決方案。 **好的，我怎么設置它？** 有關明確說明，請參閱 [**第 9 章**](../chapter09/contents.html) 。