# 10.1 復習 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/section01.html) **10.11 我們在哪兒？** **數字是數字。再次閱讀有關它們的部分。** **函數是一組（參數，值）數字對**。它們通常由公式描述，這些公式告訴我們如何從參數計算值。每個參數只允許一個值。您將經常遇到的公式以標識函數，指數函數和正弦函數開始，并通過以某種方式對它們應用算術運算，替換和反轉來定義。 **任何參數的函數的導數是它在該參數附近的直線的斜率，如果該斜率是有限的。** 它在該參數附近的直線稱為**該參數**處函數的切線，描述該線的函數稱為該參數函數的**線性逼近** ]。如果函數看起來不像參數附近的直線，（在那里有扭結或跳躍或瘋狂行為），那么該參數就不可區分。 存在用于計算同一性，正弦和指數函數的導數以及通過以某種方式對它們應用算術運算，替換和反轉而獲得的這些的組合的導數的直接規則。 因此，我們有方法獲得上述類型的所有函數的導數的公式。規則如下所示。如果您對它們感到不舒服，請練習！ 使用電子表格，您可以非常精確地繪制函數并在很大程度上精確地確定它們的導數。 **此時我還應該知道什么？** 首先，您應該對以數字方式計算或計算導數感到滿意。 到目前為止，我們所說的關于指數函數的所有語句都是它在參數中的值是的語句，并且它在各處都是它自己的導數。并且正弦函數在參數處是并且具有導數，其是對其補充的參數的正弦。 建議您查看正弦和其他三角函數以及指數的屬性。這些在 T 部分中描述。 **好的，我們能做些什么呢？** 微分的兩個主要應用是建模現象和求解方程。 **我真的希望做這些事嗎？** 如果你不知道怎么做，你就不可能被要求去做這些事情。同樣，如果你從未學過如何走路，你很少會被要求過馬路。一旦你了解了這些事情，你就可以開始處理各種各樣的可能性。 一旦構建了一個現象模型，您就希望能夠推斷出該模型的后果。這涉及從涉及導數的導數或方程式返回到其導數的函數。 從導數回歸到函數的過程有時（很少）稱為**反分化**，通常稱為**積分**或**正交**（也是一個罕見的名稱） ）。從涉及導數的方程到原始函數被稱為**求解**（或積分）**微分方程。** 在下一節中，我們將描述一種使用微分來解決涉及一個變量的非線性方程的方法，以及其他方法。然后我們將討論集成，您將在可能的情況下，通過數字和公式學習如何進行集成。然后，我們將舉例說明在實際情況建模中使用導數。最后，我們將研究如何以數字方式求解微分方程，從而發現這些模型的含義。 **關于微積分，這是我必須要知道的嗎？** 答案取決于你的目標。 如果你只是尋求關于什么是微積分的定性概念，你可以在你對自己的微積分感到滿意??時辭職。在這一點上，我們只討論了微分。采用函數導數的逆運算具有相同的意義，尚未到來。 如果你的目標是理解科學的語言，變化的模型隨處可見，這是一個良好的開端，但在兩個方向上還有更多。 首先，我們生活在一個世界中，它用三個數字來描述一個空間點的位置;用六個數字來描述兩點的位置，依此類推;人們常常想要在太空中模擬運動。因此，當我們一次處理幾個或多個變量時，我們需要能夠檢查變化。因此，我們需要能夠將區分的概念擴展到依賴于多個變量的函數的模擬。這樣做意味著將導數的概念擴展為參數和/或值的數組，而參數和/或值是數字序列而不是單個數字。對這類事物的研究稱為多變量微積分。 幸運的是，可以通過一種方式進行所需的擴展，從而可以利用您在一個維度上進行區分以獲得更高維度的結果。你必須學習一些新的概念，但區分的工作是一樣的。該主題主要包括引入新的多維概念，以及如何通過一維微積分技術計算或計算它們的描述。 其次，隨著人們研究在現實世界應用中出現的方程，多年來已經形成了關于微分方程的大量知識。在過去，數值方法，如您現在可以應用的那些，是完全不切實際的，并且發現了特殊方法來解決許多類方程。這些方法對于讓人們在不實際求解它們的情況下了解更復雜方程的解決方案也是有價值的。 事實上，這些方法足以解決許多領域中非常重要的問題，并且它們提供了許多其他方程式的直覺，這意味著它們仍然是有趣的，值得研究。 也許值得追求的第一個目標是獲得理解科學文獻的可能性。科學和工程學的論文不斷使用導數和積分的概念和符號，如果這些水牛你，你可以無處閱讀文獻。一旦你對微積分及其符號的概念感到滿意，這種困難就會消失。 足夠模糊的廢話！ **10.12 用于區分的代數規則。** （以及如何推斷它們） **事實 0：**直線函數的導數是它所代表的線的斜率，它是。常數函數具有導數。這意味著從原始公式中，被取代，并且省略了任何常數項。根據定義，我們有，我們有。 **基本規則 1：**為了計算具有多次出現變量的函數的導數（讓它為），分別取每次出現的導數貢獻，將其他出現的貢獻視為常數，并添加所有這些 后果： **求和規則：**  **產品規則：**  **功率規則：** （不同分別被替換并求和） **商數規則：** 。 （區分等式的兩邊。） **基本規則 2：**函數函數的導數是和評估的的產物。這被稱為**鏈規則**，它直接來自導數的定義，當表示為變化的比率時。 Consequences: **反向規則。** 逆定義如下：如果則， 由于，意味著（在切換變量名后），因此在進行評估。 **基本定理：關于其上限的定積分的導數是在那里評估的被積函數。** 如果你對這些事實感到滿意，不要被數值計算所困擾，并努力研究你的錯誤，以便你有希望不再重復它們，你就是想要在一個維度上進行微分計算的地方。 **練習：想象一下，你正在教授微積分課程。列出前 10 章中關于材料最難回答的 10 個問題。我認為，提出問題比回答問題更具挑戰性。**